Номер 6, страница 53 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Высота, проведенная из вершины тупого угла параллелограмма, делит этот угол в отношении $1:2$. Найдите углы параллелограмма:

A. $30^\circ, 150^\circ$.

B. $60^\circ, 120^\circ$.

C. $45^\circ, 135^\circ$.

D. $45^\circ, 90^\circ$.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — смежные углы параллелограмма, где $\alpha$ — острый угол, а $\beta$ — тупой. По свойству параллелограмма, сумма его углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать соотношение:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Проведем высоту из вершины тупого угла $\beta$ на прилежащую сторону. Эта высота образует прямоугольный треугольник. Один из острых углов этого треугольника — это угол $\alpha$ параллелограмма, а другой — это часть тупого угла $\beta$. Обозначим эту часть как $\beta_1$. Поскольку сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, мы получаем второе соотношение:

$\alpha + \beta_1 = 90^\circ$

По условию задачи, высота делит тупой угол $\beta$ в отношении $1:2$. Это означает, что угол $\beta$ состоит из двух частей, которые мы можем обозначить как $x$ и $2x$. Следовательно, полный тупой угол равен $\beta = x + 2x = 3x$. Часть угла $\beta_1$, которая является углом в прямоугольном треугольнике, может быть равна либо $x$, либо $2x$. Рассмотрим оба варианта.

Вариант 1: Меньшая часть тупого угла является частью прямоугольного треугольника, то есть $\beta_1 = x$.
Из второго уравнения $\alpha = 90^\circ - \beta_1 = 90^\circ - x$.
Подставим выражения для $\alpha$ и $\beta$ в первое уравнение:
$(90^\circ - x) + 3x = 180^\circ$
$90^\circ + 2x = 180^\circ$
$2x = 90^\circ$
$x = 45^\circ$.
Теперь мы можем найти углы параллелограмма:
Острый угол $\alpha = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Тупой угол $\beta = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.
Эта пара углов ($45^\circ, 135^\circ$) является корректным решением.

Вариант 2: Большая часть тупого угла является частью прямоугольного треугольника, то есть $\beta_1 = 2x$.
Из второго уравнения $\alpha = 90^\circ - \beta_1 = 90^\circ - 2x$.
Подставим выражения для $\alpha$ и $\beta$ в первое уравнение:
$(90^\circ - 2x) + 3x = 180^\circ$
$90^\circ + x = 180^\circ$
$x = 90^\circ$.
В этом случае тупой угол $\beta = 3x = 3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$. Угол в параллелограмме не может быть равен $270^\circ$, поэтому этот вариант не подходит.

Таким образом, единственно возможные значения углов параллелограмма — это $45^\circ$ и $135^\circ$.

Ответ: C. $45^\circ, 135^\circ$.