Номер 9, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Высоты, проведенные из вершины ромба, образуют угол $100^\circ$. Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами:

A. $80^\circ$, $100^\circ$.

B. $50^\circ$, $130^\circ$.

C. $40^\circ$, $50^\circ$.

D. $25^\circ$, $65^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся свойством высот ромба, проведенных из одной вершины. Угол между такими высотами равен одному из углов ромба. В частности:
- Угол между высотами, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу ромба.
- Угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

По условию, угол между высотами равен $100^\circ$. Так как этот угол является тупым ($100^\circ > 90^\circ$), он может быть равен только тупому углу ромба. Следовательно, тупой угол ромба составляет $100^\circ$.

Сумма смежных углов в ромбе равна $180^\circ$. Найдем острый угол ромба:
$180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Таким образом, углы ромба равны $80^\circ$ и $100^\circ$.

Теперь найдем углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то есть делят каждый угол при вершине пополам.
- Диагональ, проведенная между острыми углами, делит тупые углы ($100^\circ$) на два угла по: $100^\circ / 2 = 50^\circ$.
- Диагональ, проведенная между тупыми углами, делит острые углы ($80^\circ$) на два угла по: $80^\circ / 2 = 40^\circ$.

Следовательно, углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, равны $40^\circ$ и $50^\circ$.
Среди предложенных вариантов правильным является вариант C.
Ответ: 40°, 50°.