Номер 23, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Вычислите длину неизвестного отрезка на рисунке 13.9.

a)

В треугольнике $\triangle AEF$ угол $\angle F = 90^\circ$. По теореме Пифагора:

$AE^2 = AF^2 + EF^2$

$AE^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$

$AE = \sqrt{13}$

Так как $E$ лежит на $AB$, $AB = AE + EB = \sqrt{13} + 1$.

Так как $EF \perp AC$ и $BC \perp AC$, то $EF \parallel BC$.

Следовательно, треугольники $\triangle AEF$ и $\triangle ABC$ подобны.

Из подобия следует соотношение сторон:

$\frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AB}$

$\frac{2}{BC} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13} + 1}$

$BC = \frac{2(\sqrt{13} + 1)}{\sqrt{13}} = 2 \left(1 + \frac{1}{\sqrt{13}}\right) = 2 + \frac{2}{\sqrt{13}}$

$BC = 2 + \frac{2\sqrt{13}}{13}$

б)

В треугольнике $\triangle LKM$ угол $\angle L = 90^\circ$.

Так как $N$ - середина $KM$ (отмечено равными штрихами $KN = NM$) и $PN \perp KM$, то $PN$ является и медианой, и высотой треугольника $\triangle PKM$. Следовательно, $\triangle PKM$ - равнобедренный, и $PM = PK$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle LKM$:

$\sin(\angle M) = \frac{LK}{KM} = \frac{3}{KM}$

В прямоугольном треугольнике $\triangle PNM$:

$\sin(\angle M) = \frac{PN}{PM} = \frac{2}{PM}$

Следовательно:

$\frac{3}{KM} = \frac{2}{PM}$

$PM = \frac{2 \cdot KM}{3}$

Так как $N$ - середина $KM$, то $KM = 2 \cdot NM$.

Подставим это в предыдущее уравнение:

$PM = \frac{2 \cdot (2 \cdot NM)}{3} = \frac{4 \cdot NM}{3}$

В прямоугольном треугольнике $\triangle PNM$ по теореме Пифагора:

$PM^2 = PN^2 + NM^2$

$PM^2 = 2^2 + NM^2 = 4 + NM^2$

Теперь подставим выражение для $PM$:

$\left(\frac{4 \cdot NM}{3}\right)^2 = 4 + NM^2$

$\frac{16 \cdot NM^2}{9} = 4 + NM^2$

$16 \cdot NM^2 = 36 + 9 \cdot NM^2$

$7 \cdot NM^2 = 36$

$NM^2 = \frac{36}{7}$

$NM = \sqrt{\frac{36}{7}} = \frac{6}{\sqrt{7}}$

Теперь найдем $PM$:

$PM = \frac{4 \cdot NM}{3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{\sqrt{7}} = \frac{8}{\sqrt{7}}$

$PM = \frac{8\sqrt{7}}{7}$

а) Рассмотрим треугольники $AEF$ и $ABC$. Так как отрезки $EF$ и $BC$ перпендикулярны одной и той же прямой $AC$, они параллельны друг другу ($EF \parallel BC$). Следовательно, треугольники $AEF$ и $ABC$ подобны по двум углам (угол $A$ — общий, а углы $\angle AEF$ и $\angle ABC$ равны как соответственные при параллельных прямых $EF$ и $BC$ и секущей $AB$).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{AE}{AB} = \frac{EF}{BC}$.
Длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AE$ и $EB$: $AB = AE + EB = 3 + 1 = 4$.
Подставим известные значения в пропорцию: $\frac{3}{4} = \frac{2}{BC}$.
Отсюда находим $BC$: $3 \cdot BC = 4 \cdot 2$, $3 \cdot BC = 8$, $BC = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$.

б) По условию, отрезок $PN$ перпендикулярен отрезку $KM$ ($PN \perp KM$) и точка $N$ является серединой отрезка $KM$ ($KN = NM$). Это означает, что в треугольнике $KPM$ отрезок $PN$ является одновременно высотой и медианой. Треугольник, в котором высота к стороне совпадает с медианой к этой же стороне, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $KPM$ — равнобедренный с основанием $KM$, и его боковые стороны равны: $PK = PM$.
Обозначим искомую длину $PM = x$, тогда и $PK = x$. Обозначим длину отрезка $LP = p$. В прямоугольном треугольнике $KLP$ (с прямым углом $L$) по теореме Пифагора имеем $PK^2 = KL^2 + LP^2$, что дает $x^2 = 3^2 + p^2$ или $x^2 - p^2 = 9$ (1).
Найдем площадь треугольника $KPM$ ($S_{KPM}$) двумя способами. Во-первых, $S_{KPM} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot PN = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot 2 = KM$. Во-вторых, площадь $S_{KPM}$ можно найти как разность площадей треугольников $KLM$ и $KLP$ (предполагая, что точка $P$ лежит между $L$ и $M$): $S_{KPM} = S_{KLM} - S_{KLP} = \frac{1}{2}KL \cdot LM - \frac{1}{2}KL \cdot LP = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (p+x) - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot p = \frac{3}{2}(p+x-p) = \frac{3}{2}x$. Приравнивая два выражения для площади, получаем $KM = \frac{3}{2}x$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $KLM$. По теореме Пифагора: $KM^2 = KL^2 + LM^2$. Подставим известные величины: $(\frac{3}{2}x)^2 = 3^2 + (p+x)^2$. Раскроем скобки: $\frac{9}{4}x^2 = 9 + p^2 + 2px + x^2$.
Теперь решим систему из двух уравнений. Из уравнения (1) выразим $p^2 = x^2 - 9$ и подставим в полученное уравнение: $\frac{9}{4}x^2 = 9 + (x^2-9) + 2px + x^2$, что упрощается до $\frac{9}{4}x^2 = 2x^2 + 2px$. Перенесем члены с $x^2$ влево: $(\frac{9}{4}-2)x^2 = 2px \Rightarrow \frac{1}{4}x^2 = 2px$. Так как $x$ — это длина, $x \neq 0$, мы можем разделить обе части на $x$: $\frac{1}{4}x = 2p$, откуда $x = 8p$.
Подставим $x=8p$ в уравнение (1): $(8p)^2 - p^2 = 9 \Rightarrow 64p^2 - p^2 = 9 \Rightarrow 63p^2 = 9 \Rightarrow p^2 = \frac{9}{63} = \frac{1}{7}$.
Тогда $x^2 = (8p)^2 = 64p^2 = 64 \cdot \frac{1}{7} = \frac{64}{7}$. Искомая длина $x = \sqrt{\frac{64}{7}} = \frac{8}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7}$.
Ответ: $\frac{8\sqrt{7}}{7}$.