Номер 21, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Постройте угол, синус которого равен:

а) 0,4;

б) 0,6.

а) Для построения угла, синус которого равен 0,4, мы воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} $.
Сначала представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби: $ 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $.
Это значит, что нам нужно построить прямоугольный треугольник, у которого катет, противолежащий искомому углу, равен 2 условным единицам, а гипотенуза — 5 таким же единицам.
Алгоритм построения:
1. Построим прямой угол. Обозначим его вершину буквой C.
2. На одной из сторон угла отложим от вершины C отрезок CB длиной 2 единицы (например, 2 см). Это будет катет, противолежащий искомому углу.
3. Установим раствор циркуля равным 5 единицам (длине гипотенузы).
4. Поместим острие циркуля в точку B и проведем дугу так, чтобы она пересекла вторую сторону прямого угла. Точку пересечения назовем A.
5. Соединим точки A и B отрезком. Мы получили прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.
В этом треугольнике угол A — острый, противолежащий ему катет — CB, а гипотенуза — AB. По построению, $ \sin(\angle A) = \frac{CB}{AB} = \frac{2}{5} = 0,4 $.
Следовательно, угол A (или $ \angle CAB $) — это искомый угол.
Ответ: Искомым является угол $A$ в построенном прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $C$), у которого катет $CB$, противолежащий углу $A$, равен 2 единицам, а гипотенуза $AB$ равна 5 единицам.

б) Аналогично выполним построение для угла, синус которого равен 0,6.
Представим 0,6 в виде дроби: $ 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
В этом случае нам нужно построить прямоугольный треугольник, в котором катет, противолежащий искомому углу, равен 3 условным единицам, а гипотенуза — 5 таким же единицам.
Алгоритм построения:
1. Построим прямой угол с вершиной в точке C.
2. На одной из его сторон отложим катет CB, равный 3 единицам.
3. Из точки B, как из центра, проведем дугу окружности радиусом 5 единиц (длина гипотенузы).
4. Точку пересечения этой дуги со второй стороной прямого угла обозначим буквой A.
5. Соединим точки A и B. Получим прямоугольный треугольник ABC.
В построенном треугольнике $ \sin(\angle A) = \frac{CB}{AB} = \frac{3}{5} = 0,6 $.
Значит, угол A (или $ \angle CAB $) является искомым.
Ответ: Искомым является угол $A$ в построенном прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $C$), у которого катет $CB$, противолежащий углу $A$, равен 3 единицам, а гипотенуза $AB$ равна 5 единицам.