Номер 26, страница 61 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Как, используя тригонометрию, измерить расстояние между точками A и B (рис. 13.12) ?

Рис. 13.12

Чтобы измерить расстояние между точками A и B, которые разделены препятствием (например, рекой, как на рисунке), можно использовать тригонометрический метод, основанный на решении треугольника. Этот метод называется триангуляцией.

Для этого необходимо выполнить следующие шаги:
1. Выбрать третью точку C, расположенную на местности так, чтобы из нее были видны точки A и B, и чтобы можно было измерить расстояние от нее до одной из исходных точек (например, до A). Отрезок AC будет являться базисом (основанием) для измерений.
2. Измерить длину базиса AC с помощью рулетки или дальномера. Обозначим эту длину как $b$.
3. С помощью угломерного инструмента (например, теодолита или астролябии) измерить углы треугольника ABC, которые можно измерить с доступной стороны. Это будут угол $\angle BAC$ (обозначим его $\alpha$) и угол $\angle ACB$ (обозначим его $\gamma$).
4. Точки A, B и C образуют треугольник. Зная два его угла ($\alpha$ и $\gamma$), можно найти третий угол, $\angle ABC$ (обозначим его $\beta$), поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\beta = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$
5. Теперь у нас есть треугольник, в котором известна длина одной стороны ($AC = b$) и все три угла. Искомое расстояние AB (обозначим его $c$) можно найти, применив теорему синусов, которая гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла является величиной постоянной для всех сторон данного треугольника:
$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$
В наших обозначениях это выглядит так:
$\frac{c}{\sin\gamma} = \frac{b}{\sin\beta}$
6. Из этого соотношения выражаем искомую сторону AB:
$AB = \frac{AC \cdot \sin(\angle ACB)}{\sin(\angle ABC)}$
Подставив численные значения длины базиса и синусов измеренных углов, можно рассчитать расстояние между точками A и B.

Ответ: Необходимо выбрать на местности третью точку C, измерить расстояние AC (базис) и углы $\angle BAC$ и $\angle ACB$. Затем, используя теорему синусов, рассчитать расстояние AB по формуле $AB = \frac{AC \cdot \sin(\angle ACB)}{\sin(180^\circ - \angle BAC - \angle ACB)}$.