Номер 2, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Может ли точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника находиться вне этого треугольника?

Да, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника может находиться вне этого треугольника. Эта точка является центром описанной около треугольника окружности, то есть точкой, равноудаленной от всех трех его вершин. Положение этой точки относительно треугольника напрямую зависит от его углов.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Остроугольный треугольник. Если все углы треугольника острые (то есть меньше $90^\circ$), то центр описанной окружности всегда находится внутри треугольника.

2. Прямоугольный треугольник. Если один из углов треугольника прямой (равен $90^\circ$), то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, то есть на границе (на стороне) треугольника.

3. Тупоугольный треугольник. Если один из углов треугольника тупой (больше $90^\circ$), то центр описанной окружности всегда находится вне треугольника.

Чтобы доказать это для тупоугольного треугольника, рассмотрим треугольник $ABC$, в котором угол $C$ — тупой ($\angle C > 90^\circ$). Пусть $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров, то есть центр описанной окружности. По определению, $OA = OB = OC = R$, где $R$ — радиус этой окружности.

Рассмотрим центральный угол $\angle AOB$ и вписанный угол $\angle ACB$. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу $AB$. Существует теорема о том, что величина центрального угла вдвое больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Однако эта формулировка ($\angle AOB = 2\angle ACB$) верна только тогда, когда центр окружности $O$ и вершина вписанного угла $C$ лежат по одну сторону от хорды $AB$, что соответствует случаю остроугольного треугольника.

Если предположить, что в нашем тупоугольном треугольнике точка $O$ лежит внутри, то мы придем к противоречию: так как $\angle C > 90^\circ$, то $2\angle C > 180^\circ$. Угол $\angle AOB$ в треугольнике $AOB$ не может быть больше $180^\circ$. Следовательно, наше предположение неверно.

Для тупоугольного треугольника центр описанной окружности $O$ и вершина тупого угла $C$ лежат по разные стороны от противолежащей стороны $AB$. Это и означает, что точка $O$ находится вне треугольника $ABC$.

Ответ: Да, может. Это происходит в том случае, если треугольник является тупоугольным.