Номер 5, страница 47 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Среди отрезков $a, b, c, d, e$ выберите пары пропорциональных отрезков, если $a = 2 \text{ см}, b = 17,5 \text{ см}, c = 16 \text{ см}, d = 35 \text{ см}, e = 4 \text{ см}.

Две пары отрезков называются пропорциональными, если отношение длин отрезков в первой паре равно отношению длин отрезков во второй паре. То есть, для четырех отрезков $x, y, z, w$ пары $(x, y)$ и $(z, w)$ будут пропорциональны, если выполняется равенство $\frac{x}{z} = \frac{y}{w}$, или, что эквивалентно, $\frac{x}{y} = \frac{z}{w}$.

В задаче даны длины пяти отрезков: $a = 2$ см, $b = 17,5$ см, $c = 16$ см, $d = 35$ см, $e = 4$ см.

Чтобы найти пропорциональные пары, будем вычислять отношения длин различных пар отрезков и искать среди них равные.

1. Найдем отношение длины отрезка $a$ к длине отрезка $e$.
$\frac{a}{e} = \frac{2 \text{ см}}{4 \text{ см}} = \frac{1}{2}$

2. Теперь найдем отношение длины отрезка $b$ к длине отрезка $d$.
$\frac{b}{d} = \frac{17,5 \text{ см}}{35 \text{ см}} = \frac{175}{350} = \frac{1}{2}$

Поскольку отношения получились равными, $\frac{a}{e} = \frac{b}{d}$, то пары отрезков $(a, e)$ и $(b, d)$ являются пропорциональными.

Равенство $\frac{a}{e} = \frac{b}{d}$ является пропорцией. Используя свойство пропорции (крайние и средние члены можно менять местами), мы можем записать ее в другом виде: $\frac{a}{b} = \frac{e}{d}$. Это означает, что пара отрезков $(a, b)$ также пропорциональна паре отрезков $(e, d)$. Проверим это вычислением:

$\frac{a}{b} = \frac{2}{17,5} = \frac{20}{175} = \frac{4 \cdot 5}{35 \cdot 5} = \frac{4}{35}$

$\frac{e}{d} = \frac{4}{35}$

Равенство $\frac{a}{b} = \frac{e}{d}$ также выполняется.

При проверке всех других возможных комбинаций пар отрезков ($a, c$), ($c, e$), ($b, c$) и т.д. не находится других равных отношений. Таким образом, пропорциональность существует только для отрезков $a, b, d, e$.

Ответ: Пропорциональные пары отрезков можно сформировать из отрезков $a, b, d, e$.
Пропорциональными являются пары $(a, e)$ и $(b, d)$, так как $\frac{a}{e} = \frac{b}{d} = \frac{1}{2}$.
Также пропорциональными являются пары $(a, b)$ и $(e, d)$, так как $\frac{a}{b} = \frac{e}{d} = \frac{4}{35}$.