Страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Может ли точка пересечения медиан треугольника находиться вне этого треугольника?

Нет, точка пересечения медиан треугольника, также называемая центроидом или центром тяжести, не может находиться вне этого треугольника. Она всегда располагается строго внутри него, независимо от вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).

Это утверждение следует из определения медианы и свойств выпуклых фигур.

1. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Например, медиана $AM_a$ соединяет вершину $A$ с точкой $M_a$, которая является серединой стороны $BC$.

2. Расположение медианы. Вершина $A$ является частью треугольника. Середина противоположной стороны $M_a$ также принадлежит треугольнику (лежит на его границе). Треугольник — это выпуклая фигура. Свойство выпуклой фигуры заключается в том, что любой отрезок, концы которого принадлежат фигуре, целиком располагается внутри этой фигуры. Следовательно, вся медиана $AM_a$ лежит внутри треугольника. Это справедливо для всех трех медиан.

3. Точка пересечения. Поскольку все три медианы полностью находятся внутри треугольника, их общая точка пересечения также обязана находиться внутри треугольника.

Более строгое доказательство можно привести с помощью векторов или координат. Если поместить начало координат в точку $O$, а вершины треугольника обозначить радиус-векторами $\vec{r}_A$, $\vec{r}_B$ и $\vec{r}_C$, то радиус-вектор точки пересечения медиан (центроида) $G$ будет равен:

$\vec{r}_G = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C}{3}$

Эта формула показывает, что центроид является центром масс вершин треугольника. Такой центр масс всегда находится внутри выпуклой оболочки точек, которой в данном случае является сам треугольник.

В отличие от центроида, другие замечательные точки, например, ортоцентр (точка пересечения высот) или центр описанной окружности, могут оказаться вне треугольника, если он тупоугольный.

Ответ: Нет, точка пересечения медиан треугольника всегда находится внутри этого треугольника.

5. Может ли точка пересечения высот треугольника или их продолжений находиться вне этого треугольника?

Да, точка пересечения высот треугольника или их продолжений, называемая ортоцентром, может находиться вне этого треугольника. Это происходит в том случае, когда треугольник является тупоугольным.

Рассмотрим положение ортоцентра в зависимости от вида треугольника:

1. В остроугольном треугольнике, где все углы меньше $90^\circ$, все три высоты полностью лежат внутри треугольника. Следовательно, их точка пересечения (ортоцентр) также всегда находится внутри треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике, где один угол равен $90^\circ$, две высоты совпадают с его катетами, а третья высота проведена из вершины прямого угла к гипотенузе. Все три высоты пересекаются в вершине прямого угла. Таким образом, ортоцентр лежит на границе треугольника (в одной из его вершин).

3. В тупоугольном треугольнике, где один из углов больше $90^\circ$, ситуация иная. Пусть в треугольнике $ABC$ угол при вершине $A$ — тупой. Высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, будет лежать внутри треугольника. Однако высота из вершины $B$ будет опущена не на саму сторону $AC$, а на ее продолжение за вершину $A$. Аналогично, высота из вершины $C$ будет опущена на продолжение стороны $AB$. В результате две из трех высот оказываются вне треугольника, и их продолжения пересекаются с третьей высотой в одной точке, которая расположена за пределами треугольника.

Таким образом, именно для тупоугольных треугольников точка пересечения высот (ортоцентр) находится вне треугольника.

Ответ: Да, может, если треугольник тупоугольный.

6. Где расположена точка пересечения высот прямоугольного треугольника?

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром. Чтобы определить, где находится ортоцентр в прямоугольном треугольнике, необходимо проанализировать его высоты. Высота треугольника — это перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором угол $\angle C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Стороны $AC$ и $BC$ — это катеты, а $AB$ — гипотенуза.

Найдем три высоты этого треугольника:

1. Высота из вершины $A$ к стороне $BC$. Поскольку угол $\angle C$ прямой, катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$. Следовательно, сам катет $AC$ является высотой, проведенной из вершины $A$.

2. Высота из вершины $B$ к стороне $AC$. Аналогично, катет $BC$ перпендикулярен катету $AC$. Таким образом, катет $BC$ является высотой, проведенной из вершины $B$.

3. Высота из вершины $C$ к гипотенузе $AB$. Это перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу. Обозначим его $CH$.

Теперь найдем точку, в которой пересекаются все три высоты. Две высоты, совпадающие с катетами $AC$ и $BC$, пересекаются в их общей точке — вершине $C$. Третья высота, $CH$, по определению также исходит из вершины $C$. Следовательно, все три высоты пересекаются в вершине $C$.

Таким образом, точка пересечения высот (ортоцентр) прямоугольного треугольника совпадает с вершиной его прямого угла.

Ответ: Точка пересечения высот прямоугольного треугольника расположена в вершине его прямого угла.

7. Постройте точку пересечения медиан треугольника, изображенного на рисунке 12.6.

а)

б)

Рис. 12.6

а)

Точка пересечения медиан треугольника (также называемая центроидом) — это точка, в которой пересекаются все три его медианы. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения точки пересечения достаточно построить две любые медианы.

1. Введем систему координат, приняв левый нижний узел сетки за начало координат $(0,0)$. Тогда вершины треугольника $ABC$ имеют координаты: $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(3, 5)$.

2. Найдем середину стороны $AB$. Обозначим эту точку $M_C$. Так как сторона $AB$ горизонтальна, ее середина находится ровно посередине между $A$ и $B$. Координаты $M_C$ можно вычислить как среднее арифметическое координат точек $A$ и $B$: $M_C = (\frac{1+5}{2}, \frac{1+1}{2}) = (3, 1)$.

3. Проведем медиану $CM_C$, соединив вершину $C(3, 5)$ с точкой $M_C(3, 1)$. Эта медиана является вертикальным отрезком.

4. Найдем середину стороны $BC$. Обозначим эту точку $M_A$. Ее координаты: $M_A = (\frac{5+3}{2}, \frac{1+5}{2}) = (\frac{8}{2}, \frac{6}{2}) = (4, 3)$.

5. Проведем вторую медиану $AM_A$, соединив вершину $A(1, 1)$ с точкой $M_A(4, 3)$.

6. Точка пересечения медиан $CM_C$ и $AM_A$ является искомой точкой $O$. Поскольку медиана $CM_C$ лежит на вертикальной прямой $x=3$, то и абсцисса точки $O$ равна 3. По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Длина медианы $CM_C$ равна $5-1=4$. Точка $O$ делит ее так, что $CO:OM_C=2:1$. Таким образом, точка $O$ находится на расстоянии $\frac{1}{3}$ длины медианы от основания $M_C$. Координата $y$ точки $O$ равна $y_{M_C} + \frac{1}{3}|y_C-y_{M_C}| = 1 + \frac{1}{3}(5-1) = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.

Координаты точки пересечения медиан можно также найти по формуле как среднее арифметическое координат всех вершин: $x_O = \frac{x_A+x_B+x_C}{3} = \frac{1+5+3}{3} = \frac{9}{3} = 3$. $y_O = \frac{y_A+y_B+y_C}{3} = \frac{1+1+5}{3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.

Ответ: Для построения точки нужно найти середины двух сторон (например, $AB$ и $BC$), а затем провести отрезки (медианы) из противоположных вершин ($C$ и $A$) к этим серединам. Точка, где эти отрезки пересекутся, и будет искомой. Ее точные координаты в принятой системе отсчета: $(3, 2\frac{1}{3})$.

б)

Для построения точки пересечения медиан во втором треугольнике используем тот же алгоритм.

1. Введем систему координат, где левый нижний узел сетки — точка $(0,0)$. Координаты вершин треугольника будут: $A(1, 3)$, $B(3, 0)$, $C(6, 5)$.

2. Найдем середину стороны $AB$, точку $M_C$: $M_C = (\frac{1+3}{2}, \frac{3+0}{2}) = (2, 1.5)$.

3. Проведем медиану $CM_C$, соединяющую вершину $C(6, 5)$ с точкой $M_C(2, 1.5)$.

4. Найдем середину стороны $BC$, точку $M_A$: $M_A = (\frac{3+6}{2}, \frac{0+5}{2}) = (4.5, 2.5)$.

5. Проведем медиану $AM_A$, соединяющую вершину $A(1, 3)$ с точкой $M_A(4.5, 2.5)$.

6. Точка пересечения $O$ медиан $CM_C$ и $AM_A$ — искомая точка. Для точного определения ее положения найдем ее координаты как среднее арифметическое координат вершин:

$x_O = \frac{x_A+x_B+x_C}{3} = \frac{1+3+6}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.

$y_O = \frac{y_A+y_B+y_C}{3} = \frac{3+0+5}{3} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$.

Ответ: Для построения точки нужно найти середины двух сторон (например, $AB$ и $BC$), а затем провести отрезки (медианы) из противоположных вершин ($C$ и $A$) к этим серединам. Точка, где эти отрезки пересекутся, и будет искомой. Ее точные координаты в принятой системе отсчета: $(3\frac{1}{3}, 2\frac{2}{3})$.

8. Постройте точку пересечения высот треугольника $ABC$ или их продолжений (рис. 12.7).

а)

б)

Рис. 12.7

а)

Точка пересечения высот треугольника (или их продолжений) называется ортоцентром. Для его нахождения достаточно построить две высоты и найти их точку пересечения.

1. Построим высоту $h_C$, опущенную из вершины $C$ на сторону $AB$. Так как сторона $AB$ горизонтальна (лежит на линии сетки), высота $h_C$ будет перпендикулярна ей и будет являться вертикальным отрезком, проведенным из точки $C$ до пересечения со стороной $AB$.

2. Построим высоту $h_A$, опущенную из вершины $A$ на сторону $BC$. Сначала определим угловой коэффициент прямой, содержащей сторону $BC$. Двигаясь по сетке от точки $B$ к точке $C$, мы смещаемся на 1 клетку влево и на 4 клетки вверх. Таким образом, угловой коэффициент прямой $BC$ равен $k_{BC} = \frac{4}{-1} = -4$.

3. Высота $h_A$ перпендикулярна стороне $BC$, поэтому ее угловой коэффициент $k_{h_A}$ является величиной, обратной и противоположной по знаку к $k_{BC}$: $k_{h_A} = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{1}{-4} = \frac{1}{4}$. Чтобы провести прямую с таким коэффициентом из точки $A$, нужно отложить от нее 4 клетки вправо и 1 клетку вверх и соединить полученную точку с точкой $A$.

4. Точка пересечения высот $h_C$ и $h_A$ является ортоцентром треугольника. Так как треугольник остроугольный, ортоцентр находится внутри него.

Ответ: Для нахождения точки пересечения высот необходимо: 1. Провести вертикальный отрезок из точки $C$ до пересечения со стороной $AB$. 2. Провести из точки $A$ прямую так, чтобы она проходила через узел сетки, находящийся на 4 клетки правее и 1 клетку выше. Точка пересечения этих двух линий и есть искомый ортоцентр.

б)

1. В данном случае треугольник является тупоугольным (угол при вершине $B$ тупой), поэтому ортоцентр будет лежать вне треугольника, на пересечении прямых, содержащих высоты (продолжений высот).

2. Построим прямую, содержащую высоту $h_C$, опущенную из вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Так как сторона $AB$ горизонтальна, прямая, содержащая высоту $h_C$, будет вертикальной прямой, проходящей через точку $C$.

3. Построим прямую, содержащую высоту $h_A$, опущенную из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Сначала определим угловой коэффициент прямой $BC$. Двигаясь от точки $B$ к точке $C$, мы смещаемся на 1 клетку вправо и на 3 клетки вверх. Угловой коэффициент равен $k_{BC} = \frac{3}{1} = 3$.

4. Прямая, содержащая высоту $h_A$, перпендикулярна прямой $BC$, и ее угловой коэффициент $k_{h_A}$ равен $k_{h_A} = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{1}{3}$. Чтобы провести прямую с таким коэффициентом из точки $A$, нужно отложить от нее 3 клетки вправо и 1 клетку вниз и соединить полученную точку с точкой $A$.

5. Точка пересечения построенных прямых, содержащих высоты, является ортоцентром треугольника.

Ответ: Для нахождения точки пересечения продолжений высот необходимо: 1. Провести вертикальную прямую через точку $C$. 2. Провести из точки $A$ прямую так, чтобы она проходила через узел сетки, находящийся на 3 клетки правее и 1 клетку ниже. Точка пересечения этих двух прямых и есть искомый ортоцентр.

9. Докажите, что если $AA_1$, $BB_1$– высоты треугольника $ABC$, то угол $A_1AC$ равен углу $B_1BC$ (рис. 12.8).

Рис. 12.8

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AA_1$ и $BB_1$ являются высотами, проведенными к сторонам $BC$ и $AC$ соответственно. По определению высоты, отрезок $AA_1$ перпендикулярен стороне $BC$, а отрезок $BB_1$ перпендикулярен стороне $AC$.

Это означает, что $∠AA_1C = 90^\circ$ и $∠BB_1C = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1C$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, значит, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для треугольника $AA_1C$ имеем: $∠A_1AC + ∠A_1CA = 90^\circ$. Угол $∠A_1CA$ является общим углом $C$ для всего треугольника $ABC$. Следовательно, $∠A_1AC = 90^\circ - ∠C$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BB_1C$. Аналогично, сумма его острых углов равна $90^\circ$: $∠B_1BC + ∠B_1CB = 90^\circ$. Угол $∠B_1CB$ также является общим углом $C$ треугольника $ABC$. Отсюда получаем, что $∠B_1BC = 90^\circ - ∠C$.

Сравнивая полученные выражения для углов $∠A_1AC$ и $∠B_1BC$, мы видим, что оба они равны одной и той же величине $90^\circ - ∠C$.

Следовательно, $∠A_1AC = ∠B_1BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В прямоугольных треугольниках $AA_1C$ и $BB_1C$ острые углы $∠A_1AC$ и $∠B_1BC$ дополняют общий угол $C$ до $90^\circ$, поэтому они равны между собой.

10. К какой из сторон треугольника ближе расположен центр описанной окружности?

Чтобы определить, к какой из сторон треугольника ближе расположен центр описанной окружности, необходимо найти формулу для расстояния от центра до каждой из сторон и сравнить их.

Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Центр описанной окружности, обозначим его $O$, — это точка, равноудаленная от всех трех вершин треугольника. Расстояние от центра $O$ до любой вершины равно радиусу описанной окружности $R$.

Рассмотрим расстояние от центра $O$ до стороны $a$. Пусть концы этой стороны — вершины $B$ и $C$. Тогда треугольник $BOC$ является равнобедренным, так как боковые стороны $OB$ и $OC$ равны радиусу $R$. Расстояние от точки $O$ до стороны $BC$ — это длина высоты $OM$, опущенной из вершины $O$ на сторону $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, точка $M$ — середина стороны $BC$, и длина отрезка $BM$ равна $\frac{a}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OMB$. По теореме Пифагора:$OM^2 + BM^2 = OB^2$

Пусть $d_a$ — это искомое расстояние от центра $O$ до стороны $a$ (то есть длина $OM$). Подставив известные значения в формулу, получаем:$d_a^2 + (\frac{a}{2})^2 = R^2$

Выразим отсюда $d_a$:$d_a = \sqrt{R^2 - \frac{a^2}{4}}$

Аналогичные формулы можно записать для расстояний до двух других сторон, $b$ и $c$:$d_b = \sqrt{R^2 - \frac{b^2}{4}}$$d_c = \sqrt{R^2 - \frac{c^2}{4}}$

Теперь необходимо сравнить эти три расстояния. Радиус $R$ для данного треугольника является постоянной величиной. Из формул видно, что расстояние до стороны зависит от ее длины. Чем больше длина стороны (например, $a$), тем большее значение ($a^2/4$) вычитается из $R^2$ под корнем. Следовательно, чем больше сторона, тем меньше будет результат, а значит, и расстояние до нее.

Таким образом, центр описанной окружности расположен ближе всего к самой длинной стороне треугольника.

Вывод

Чтобы найти, к какой стороне центр описанной окружности находится ближе, нужно сравнить длины сторон треугольника. Расстояние будет наименьшим до той стороны, которая имеет наибольшую длину.

Ответ: Центр описанной окружности ближе всего расположен к наибольшей стороне треугольника.

11. К какой из вершин треугольника ближе расположен центр вписанной окружности?

Центр вписанной окружности, также известный как инцентр, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Чтобы определить, к какой из вершин он расположен ближе, необходимо сравнить расстояния от инцентра до каждой из вершин.

Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$ и $C$, а величины углов при этих вершинах как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Пусть $I$ — это центр вписанной окружности. Наша задача — сравнить длины отрезков $IA$, $IB$ и $IC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AIB$. Поскольку инцентр $I$ лежит на пересечении биссектрис, отрезки $AI$ и $BI$ являются биссектрисами углов $\alpha$ и $\beta$. Следовательно, углы в треугольнике $\triangle AIB$ при вершинах $A$ и $B$ равны:
$\angle IAB = \frac{\alpha}{2}$
$\angle IBA = \frac{\beta}{2}$

Воспользуемся свойством треугольника: против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $\triangle AIB$ сторона $IB$ лежит напротив угла $\angle IAB$, а сторона $IA$ — напротив угла $\angle IBA$.

Предположим, что в исходном треугольнике угол $\alpha$ больше угла $\beta$, то есть $\alpha > \beta$. Тогда и половина этого угла будет больше: $\frac{\alpha}{2} > \frac{\beta}{2}$. Это означает, что в треугольнике $\triangle AIB$ угол $\angle IAB$ больше угла $\angle IBA$.

Согласно свойству треугольника, сторона, лежащая напротив большего угла, длиннее. Значит, $IB > IA$. Это доказывает, что если угол при вершине $A$ больше угла при вершине $B$, то инцентр $I$ находится ближе к вершине $A$, чем к вершине $B$.

Обобщая этот вывод на все три вершины, мы можем заключить, что расстояние от инцентра до вершины тем меньше, чем больше угол при данной вершине. Таким образом, инцентр будет расположен на наименьшем расстоянии от вершины с самым большим углом в треугольнике.

Ответ: Центр вписанной окружности расположен ближе к вершине треугольника с наибольшим углом.