Страница 47 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Определите, пропорциональны ли пары отрезков $a$, $b$ и $c$, $d$, если:

а) $a = 0,8$ см, $b = 0,3$ см, $c = 2,4$ см, $d = 0,9$ см;

б) $a = 50$ мм, $b = 6$ см, $c = 10$ см, $d = 2$ см.

а) Чтобы определить, пропорциональны ли пары отрезков $a, b$ и $c, d$, необходимо проверить, выполняется ли равенство их отношений: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
Даны значения: $a = 0,8$ см, $b = 0,3$ см, $c = 2,4$ см, $d = 0,9$ см.
Все длины даны в одной единице измерения (сантиметрах), поэтому можно приступать к вычислениям.
1. Найдем отношение длин отрезков в первой паре ($a$ и $b$):
$\frac{a}{b} = \frac{0,8}{0,3} = \frac{0,8 \times 10}{0,3 \times 10} = \frac{8}{3}$
2. Найдем отношение длин отрезков во второй паре ($c$ и $d$):
$\frac{c}{d} = \frac{2,4}{0,9} = \frac{2,4 \times 10}{0,9 \times 10} = \frac{24}{9} = \frac{24 \div 3}{9 \div 3} = \frac{8}{3}$
3. Сравним полученные отношения:
$\frac{a}{b} = \frac{8}{3}$ и $\frac{c}{d} = \frac{8}{3}$
Поскольку $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, данные пары отрезков пропорциональны.
Ответ: да, пары отрезков пропорциональны.

б) Даны значения: $a = 50$ мм, $b = 6$ см, $c = 10$ см, $d = 2$ см.
Для проверки пропорциональности необходимо, чтобы все длины были выражены в одинаковых единицах измерения. Переведем длину отрезка $a$ из миллиметров в сантиметры. Зная, что в $1$ см содержится $10$ мм, получаем:
$a = 50 \text{ мм} = \frac{50}{10} \text{ см} = 5 \text{ см}$
Теперь все длины выражены в сантиметрах: $a = 5$ см, $b = 6$ см, $c = 10$ см, $d = 2$ см.
Проверим равенство отношений $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.
1. Найдем отношение длин отрезков в первой паре ($a$ и $b$):
$\frac{a}{b} = \frac{5}{6}$
2. Найдем отношение длин отрезков во второй паре ($c$ и $d$):
$\frac{c}{d} = \frac{10}{2} = 5$
3. Сравним полученные отношения:
$\frac{5}{6} \neq 5$
Поскольку отношения не равны, данные пары отрезков не являются пропорциональными.
Ответ: нет, пары отрезков не пропорциональны.

5. Среди отрезков $a, b, c, d, e$ выберите пары пропорциональных отрезков, если $a = 2 \text{ см}, b = 17,5 \text{ см}, c = 16 \text{ см}, d = 35 \text{ см}, e = 4 \text{ см}.

Две пары отрезков называются пропорциональными, если отношение длин отрезков в первой паре равно отношению длин отрезков во второй паре. То есть, для четырех отрезков $x, y, z, w$ пары $(x, y)$ и $(z, w)$ будут пропорциональны, если выполняется равенство $\frac{x}{z} = \frac{y}{w}$, или, что эквивалентно, $\frac{x}{y} = \frac{z}{w}$.

В задаче даны длины пяти отрезков: $a = 2$ см, $b = 17,5$ см, $c = 16$ см, $d = 35$ см, $e = 4$ см.

Чтобы найти пропорциональные пары, будем вычислять отношения длин различных пар отрезков и искать среди них равные.

1. Найдем отношение длины отрезка $a$ к длине отрезка $e$.
$\frac{a}{e} = \frac{2 \text{ см}}{4 \text{ см}} = \frac{1}{2}$

2. Теперь найдем отношение длины отрезка $b$ к длине отрезка $d$.
$\frac{b}{d} = \frac{17,5 \text{ см}}{35 \text{ см}} = \frac{175}{350} = \frac{1}{2}$

Поскольку отношения получились равными, $\frac{a}{e} = \frac{b}{d}$, то пары отрезков $(a, e)$ и $(b, d)$ являются пропорциональными.

Равенство $\frac{a}{e} = \frac{b}{d}$ является пропорцией. Используя свойство пропорции (крайние и средние члены можно менять местами), мы можем записать ее в другом виде: $\frac{a}{b} = \frac{e}{d}$. Это означает, что пара отрезков $(a, b)$ также пропорциональна паре отрезков $(e, d)$. Проверим это вычислением:

$\frac{a}{b} = \frac{2}{17,5} = \frac{20}{175} = \frac{4 \cdot 5}{35 \cdot 5} = \frac{4}{35}$

$\frac{e}{d} = \frac{4}{35}$

Равенство $\frac{a}{b} = \frac{e}{d}$ также выполняется.

При проверке всех других возможных комбинаций пар отрезков ($a, c$), ($c, e$), ($b, c$) и т.д. не находится других равных отношений. Таким образом, пропорциональность существует только для отрезков $a, b, d, e$.

Ответ: Пропорциональные пары отрезков можно сформировать из отрезков $a, b, d, e$.
Пропорциональными являются пары $(a, e)$ и $(b, d)$, так как $\frac{a}{e} = \frac{b}{d} = \frac{1}{2}$.
Также пропорциональными являются пары $(a, b)$ и $(e, d)$, так как $\frac{a}{b} = \frac{e}{d} = \frac{4}{35}$.

6. Стороны угла с вершиной $O$ пересечены двумя параллельными прямыми в точках $A$, $B$ и $C$, $D$ соответственно. Найдите:

a) $CD$, если $OA = 8 \text{ см}$, $AB = 4 \text{ см}$, $OD = 6 \text{ см}$;

б) $OC$ и $OD$, если $OA : OB = 3 : 5$ и $OD - OC = 8 \text{ (см)}$;

в) $OA$ и $OB$, если $OC : CD = 2 : 3$ и $OA + OB = 14 \text{ (см)}$.

Для решения задачи используется обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках). Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам на другой стороне. В данном случае это означает, что выполняется соотношение $ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} $. Из этого следует также, что $ \frac{OA}{AB} = \frac{OC}{CD} $.

а)

Дано: $OA = 8$ см, $AB = 4$ см, $OD = 6$ см. Найти $CD$.

Сначала найдем длину отрезка $OB$. Так как точки A и B лежат на одной стороне угла, исходящей из вершины O, и точка A находится между O и B, то $OB = OA + AB$.

$OB = 8 + 4 = 12$ см.

Согласно теореме Фалеса, имеем пропорцию:

$ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} $

Подставим известные значения и найдем $OC$:

$ \frac{8}{12} = \frac{OC}{6} $

$ OC = \frac{8 \cdot 6}{12} = \frac{48}{12} = 4 $ см.

Отрезок $CD$ является разностью длин отрезков $OD$ и $OC$:

$CD = OD - OC = 6 - 4 = 2$ см.

Ответ: $CD = 2$ см.

б)

Дано: $OA : OB = 3 : 5$ и $OD - OC = 8$ см. Найти $OC$ и $OD$.

Из теоремы о пропорциональных отрезках следует:

$ \frac{OC}{OD} = \frac{OA}{OB} $

Подставим известное отношение:

$ \frac{OC}{OD} = \frac{3}{5} $

Из этой пропорции выразим $OC$ через $OD$: $OC = \frac{3}{5}OD$.

Нам также дано условие $OD - OC = 8$. Подставим в него полученное выражение для $OC$:

$ OD - \frac{3}{5}OD = 8 $

$ \frac{2}{5}OD = 8 $

Теперь найдем $OD$:

$ OD = 8 \cdot \frac{5}{2} = 20 $ см.

Зная $OD$, находим $OC$:

$ OC = OD - 8 = 20 - 8 = 12 $ см.

Ответ: $OC = 12$ см, $OD = 20$ см.

в)

Дано: $OC : CD = 2 : 3$ и $OA + OB = 14$ см. Найти $OA$ и $OB$.

Из отношения $OC : CD = 2 : 3$ следует, что мы можем представить длины этих отрезков как $OC = 2x$ и $CD = 3x$ для некоторого коэффициента $x$.

Тогда длина отрезка $OD$ равна их сумме:

$OD = OC + CD = 2x + 3x = 5x$.

Найдем отношение $OC$ к $OD$:

$ \frac{OC}{OD} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5} $

По теореме Фалеса, $ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} $, следовательно:

$ \frac{OA}{OB} = \frac{2}{5} $

Отсюда $OA = \frac{2}{5}OB$.

Используем второе данное условие $OA + OB = 14$ и подставим в него выражение для $OA$:

$ \frac{2}{5}OB + OB = 14 $

$ \frac{7}{5}OB = 14 $

Найдем $OB$:

$ OB = 14 \cdot \frac{5}{7} = 10 $ см.

Теперь найдем $OA$:

$ OA = 14 - OB = 14 - 10 = 4 $ см.

Ответ: $OA = 4$ см, $OB = 10$ см.

7. Даны три отрезка: $a$, $b$, и $c$. Какова должна быть длина четвертого отрезка $d$, чтобы из них можно было образовать две пары пропорциональных отрезков, если $a = 6 \text{ см}$, $b = 3 \text{ см}$, $c = 4 \text{ см}$ и отрезок $d$ больше каждого из этих отрезков.

Чтобы из четырех отрезков $a, b, c, d$ можно было составить две пары пропорциональных отрезков, их длины должны удовлетворять некоторой пропорции. Даны длины трех отрезков: $a = 6$ см, $b = 3$ см, $c = 4$ см. Четвертый отрезок $d$ должен быть длиннее каждого из данных отрезков. Так как наибольшая из известных длин равна 6 см, то условие для $d$ можно записать как $d > 6$ см.

Пропорциональность четырех отрезков означает, что отношение длин в одной паре равно отношению длин в другой. Рассмотрим все возможные способы составления пропорции.

Случай 1: Пары отрезков $(a, b)$ и $(c, d)$. Пропорция может быть $a/b = c/d$ или $a/b = d/c$. Если $a/b = c/d$, то $6/3 = 4/d$, откуда $2 = 4/d$ и $d = 2$ см. Это значение не удовлетворяет условию $d > 6$ см. Если $a/b = d/c$, то $6/3 = d/4$, откуда $2 = d/4$ и $d = 8$ см. Это значение удовлетворяет условию $d > 6$ см.

Случай 2: Пары отрезков $(a, c)$ и $(b, d)$. Пропорция может быть $a/c = b/d$ или $a/c = d/b$. Если $a/c = b/d$, то $6/4 = 3/d$, откуда $1.5 = 3/d$ и $d = 2$ см. Это значение не удовлетворяет условию $d > 6$ см. Если $a/c = d/b$, то $6/4 = d/3$, откуда $1.5 = d/3$ и $d = 4.5$ см. Это значение не удовлетворяет условию $d > 6$ см.

Случай 3: Пары отрезков $(a, d)$ и $(b, c)$. Пропорция может быть $a/d = b/c$ или $a/d = c/b$. Если $a/d = b/c$, то $6/d = 3/4$, откуда $6 \cdot 4 = 3 \cdot d$, то есть $24 = 3d$ и $d = 8$ см. Это значение мы уже получили, и оно удовлетворяет условию $d > 6$ см. Если $a/d = c/b$, то $6/d = 4/3$, откуда $6 \cdot 3 = 4 \cdot d$, то есть $18 = 4d$ и $d = 4.5$ см. Это значение не удовлетворяет условию $d > 6$ см.

Таким образом, единственное значение длины отрезка $d$, которое удовлетворяет всем условиям задачи, — это 8 см.

Ответ: 8 см.

8. Каждая из сторон треугольника разделена на три равных отрезка и точки деления соединены отрезками. Найдите периметр образовавшейся при этом фигуры, состоящей из трех закрашенных треугольников (рис. 11.7), если периметр исходного треугольника равен $p$.

Рис. 11.7

Пусть стороны исходного треугольника равны $a, b$ и $c$. Его периметр $p$ по определению равен сумме длин его сторон: $p = a + b + c$.

Согласно условию задачи, каждая сторона треугольника разделена на три равных отрезка. Точки деления соединены отрезками. Как видно из рисунка, эти отрезки параллельны сторонам исходного треугольника. Такое построение разделяет исходный большой треугольник на 9 малых треугольников, которые конгруэнтны (равны) между собой.

Каждый из этих малых треугольников подобен исходному. Поскольку каждая сторона исходного треугольника состоит из трех сторон малых треугольников, коэффициент подобия $k$ равен $\frac{1}{3}$.

Это означает, что стороны каждого малого треугольника в 3 раза меньше соответствующих сторон исходного треугольника, то есть их длины равны $\frac{a}{3}, \frac{b}{3}$ и $\frac{c}{3}$.

Периметр одного малого треугольника $P_{малый}$ равен:

$P_{малый} = \frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} = \frac{a+b+c}{3} = \frac{p}{3}$

Фигура, периметр которой необходимо найти, состоит из трех закрашенных малых треугольников. Эти треугольники на рисунке не имеют общих сторон (они соприкасаются только вершинами), поэтому периметр всей фигуры равен сумме периметров трех составляющих ее треугольников.

Таким образом, искомый периметр $P_{фигуры}$ равен:

$P_{фигуры} = 3 \times P_{малый} = 3 \times \frac{p}{3} = p$

Ответ: $p$.

9. Через вершины треугольника проведены прямые, параллельные его противолежащим сторонам. Докажите, что стороны получившегося треугольника в два раза больше сторон исходного треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Через его вершины $A, B$ и $C$ проведем прямые, параллельные противолежащим сторонам $BC, AC$ и $AB$ соответственно. Эти прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник $A_1B_1C_1$. Обозначим точки пересечения так, чтобы вершина $A$ исходного треугольника лежала на стороне $B_1C_1$, вершина $B$ — на стороне $A_1C_1$, а вершина $C$ — на стороне $A_1B_1$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCA_1$. По построению, прямая $A_1C$ параллельна стороне $AB$, а прямая $A_1B$ параллельна стороне $AC$. Таким образом, четырехугольник $ABA_1C$ является параллелограммом (по определению, так как его противолежащие стороны попарно параллельны). Из свойств параллелограмма следует, что длины его противолежащих сторон равны: $A_1C = AB$ и $A_1B = AC$.

Рассмотрим четырехугольник $ACBC_1$. По построению, прямая $BC_1$ параллельна $AC$, а прямая $AC_1$ параллельна $BC$. Следовательно, $ACBC_1$ — это параллелограмм. Отсюда получаем, что $AC_1 = BC$ и $C_1B = AC$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCB_1$. По построению, прямая $CB_1$ параллельна $AB$, а прямая $AB_1$ параллельна $BC$. Следовательно, $ABCB_1$ — это параллелограмм. Отсюда получаем, что $AB_1 = BC$ и $B_1C = AB$.

Теперь найдем длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$.

Сторона $A_1B_1$ состоит из отрезков $A_1C$ и $CB_1$. Так как $A_1C = AB$ (из параллелограмма $ABA_1C$) и $CB_1 = AB$ (из параллелограмма $ABCB_1$, где $B_1C=AB$), то длина стороны $A_1B_1$ равна $A_1B_1 = A_1C + CB_1 = AB + AB = 2 \cdot AB$.

Сторона $B_1C_1$ состоит из отрезков $B_1A$ и $AC_1$. Так как $B_1A = BC$ (из параллелограмма $ABCB_1$, где $AB_1=BC$) и $AC_1 = BC$ (из параллелограмма $ACBC_1$), то длина стороны $B_1C_1$ равна $B_1C_1 = B_1A + AC_1 = BC + BC = 2 \cdot BC$.

Сторона $A_1C_1$ состоит из отрезков $A_1B$ и $BC_1$. Так как $A_1B = AC$ (из параллелограмма $ABA_1C$) и $BC_1 = AC$ (из параллелограмма $ACBC_1$, где $C_1B=AC$), то длина стороны $A_1C_1$ равна $A_1C_1 = A_1B + BC_1 = AC + AC = 2 \cdot AC$.

Таким образом, мы доказали, что каждая сторона получившегося треугольника $A_1B_1C_1$ в два раза больше соответствующей стороны исходного треугольника $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано. Стороны получившегося треугольника ($A_1B_1$, $B_1C_1$, $A_1C_1$) равны удвоенным соответствующим сторонам исходного треугольника ($AB$, $BC$, $AC$): $A_1B_1 = 2 \cdot AB$, $B_1C_1 = 2 \cdot BC$, $A_1C_1 = 2 \cdot AC$.

10. С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на:

а) 3 равные части;

б) 5 равных частей;

в) 6 равных частей.

а) 3 равные части
Для того чтобы разделить данный отрезок $AB$ на 3 равные части с помощью циркуля и линейки, применяется метод, основанный на теореме Фалеса. Построение выполняется в несколько шагов:
1. Из одного из концов отрезка, например, из точки $A$, проводим произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AB$.
2. На этом луче с помощью циркуля откладываем от точки $A$ три равных отрезка произвольной, но одинаковой длины. Обозначим концы этих отрезков точками $P_1, P_2, P_3$. Таким образом, мы получаем $AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3$.
3. Соединяем точку $P_3$ (конец третьего отрезка) с точкой $B$ (другим концом исходного отрезка), получая отрезок $P_3B$.
4. Через точки $P_1$ и $P_2$ проводим прямые, параллельные отрезку $P_3B$. Построение параллельной прямой — это стандартная задача, выполняемая, например, путем копирования соответствующего угла ($\angle AP_3B$) в вершины $P_1$ и $P_2$.
5. Эти параллельные прямые пересекут исходный отрезок $AB$ в точках $B_1$ и $B_2$.
По теореме Фалеса, поскольку прямые $P_1B_1$, $P_2B_2$ и $P_3B$ параллельны и отсекают на луче $l$ равные отрезки ($AP_1=P_1P_2=P_2P_3$), они отсекают равные отрезки и на отрезке $AB$. Следовательно, $AB_1 = B_1B_2 = B_2B$.
Таким образом, отрезок $AB$ разделен на три равные части.
Ответ: Вышеописанное построение делит данный отрезок на 3 равные части.

б) 5 равных частей
Чтобы разделить данный отрезок $AB$ на 5 равных частей, используется тот же алгоритм, основанный на теореме Фалеса.
1. Из точки $A$ проводим произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AB$.
2. С помощью циркуля откладываем на луче $l$ от точки $A$ пять равных отрезков произвольной длины. Получим точки $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ так, что $AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3 = P_3P_4 = P_4P_5$.
3. Соединяем точку $P_5$ с точкой $B$.
4. Через точки $P_1, P_2, P_3, P_4$ проводим прямые, параллельные отрезку $P_5B$.
5. Точки пересечения этих прямых с отрезком $AB$ (обозначим их $B_1, B_2, B_3, B_4$) разделят его на 5 равных частей.
Согласно теореме Фалеса, отрезки $AB_1, B_1B_2, B_2B_3, B_3B_4, B_4B$ будут равны между собой.
Таким образом, отрезок $AB$ разделен на пять равных частей.
Ответ: Вышеописанное построение делит данный отрезок на 5 равных частей.

в) 6 равных частей
Разделить отрезок на 6 равных частей можно двумя способами.

Способ 1: Использование теоремы Фалеса.
Этот способ аналогичен предыдущим пунктам.
1. Из конца отрезка $AB$, точки $A$, проводим произвольный луч $l$.
2. На луче $l$ от точки $A$ откладываем шесть равных отрезков произвольной длины, получая точки $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$.
3. Соединяем точку $P_6$ с точкой $B$.
4. Через точки $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ проводим прямые, параллельные отрезку $P_6B$.
5. Точки пересечения этих прямых с отрезком $AB$ разделят его на 6 равных частей.

Способ 2: Комбинированный метод.
Так как $6 = 3 \times 2$, можно сначала разделить отрезок на 3 части, а затем каждую из них пополам.
1. Сначала делим отрезок $AB$ на 3 равные части, как описано в пункте а). Получаем точки $B_1$ и $B_2$, такие что $AB_1 = B_1B_2 = B_2B$.
2. Затем делим каждый из полученных отрезков ($AB_1$, $B_1B_2$ и $B_2B$) пополам. Деление отрезка пополам (построение серединного перпендикуляра) — стандартная задача на построение:
а) Для отрезка, например $AB_1$, устанавливаем раствор циркуля на расстояние, заведомо большее половины длины $AB_1$.
б) Проводим две дуги окружности с этим радиусом из центров в точках $A$ и $B_1$ так, чтобы они пересеклись с двух сторон от отрезка.
в) Прямая, проведенная через две точки пересечения этих дуг, пересечет отрезок $AB_1$ ровно в его середине.
3. Повторяем процедуру деления пополам для отрезков $B_1B_2$ и $B_2B$.
В результате отрезок $AB$ будет разделен на 6 равных частей.
Ответ: Любой из двух вышеописанных способов построения делит данный отрезок на 6 равных частей.

11. Дворец Мира и Согласия — пирамида — одна из достопримечательностей столицы Казахстана. Пирамида стала символом единения различных религий, этносов и культур, открытости народа и государства всему миру (рис. 11.8). Боковые грани пирамиды являются равносторонними треугольниками. Каждая из сторон треугольника разделена на пять равных частей и точки деления соединены отрезками. Найдите периметр образовавшейся при этом фигуры, состоящей из десяти треугольников, если периметр исходного треугольника равен 186 м.

Рис. 11.8

Решение:

Задача состоит в том, чтобы найти периметр фигуры, образованной на боковой грани Дворца Мира и Согласия, которая представляет собой равносторонний треугольник.

1. Найдем длину стороны исходного треугольника.

По условию, периметр исходного равностороннего треугольника равен 186 м. Так как у равностороннего треугольника все три стороны равны, длина одной стороны $a$ составляет:

$a = \frac{186}{3} = 62$ м.

2. Проанализируем получившуюся фигуру.

Каждая сторона исходного треугольника разделена на пять равных частей. Точки деления соединены отрезками, параллельными сторонам треугольника. В результате большой треугольник разбивается на 25 одинаковых маленьких равносторонних треугольников.

Длина стороны каждого маленького треугольника $s$ равна одной пятой от длины стороны большого треугольника:

$s = \frac{a}{5} = \frac{62}{5} = 12,4$ м.

3. Идентифицируем фигуру из десяти треугольников.

В получившейся сетке из 25 треугольников можно выделить две группы: треугольники, чьи вершины направлены вверх, и треугольники, чьи вершины направлены вниз. Подсчитаем количество треугольников, направленных вершиной вниз. Они образуют ряды: в первом ряду (сверху) 1 такой треугольник, во втором – 2, в третьем – 3, в четвертом – 4. Их общее количество:

$1 + 2 + 3 + 4 = 10$ треугольников.

Это в точности совпадает с условием задачи. Таким образом, искомая фигура — это совокупность 10 маленьких треугольников, направленных вершиной вниз.

4. Вычислим периметр.

Поскольку эти 10 треугольников являются отдельными фигурами (соприкасаются только вершинами), под "периметром образовавшейся фигуры" следует понимать сумму периметров всех десяти составляющих ее треугольников.

Периметр одного маленького треугольника $P_{малый}$ равен:

$P_{малый} = 3 \times s = 3 \times 12,4 = 37,2$ м.

Суммарный периметр десяти таких треугольников $P_{общий}$ составляет:

$P_{общий} = 10 \times P_{малый} = 10 \times 37,2 = 372$ м.

Ответ: 372 м.