Страница 41 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что называется средней линией трапеции?

2. Сформулируйте теорему о средней линии трапеции.

1. Средней линией трапеции называется отрезок, который соединяет середины её боковых сторон. Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (эти стороны называются основаниями), а две другие — не параллельны (они называются боковыми сторонами). Если в трапеции $ABCD$ основаниями являются $BC$ и $AD$, а боковыми сторонами — $AB$ и $CD$, то средняя линия будет соединять середину стороны $AB$ с серединой стороны $CD$.

Ответ: Средней линией трапеции является отрезок, соединяющий середины её боковых (непараллельных) сторон.

2. Теорема о средней линии трапеции гласит, что средняя линия трапеции параллельна её основаниям, а её длина равна полусумме длин оснований.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $MN$ — её средняя линия, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Тогда, согласно теореме:
1. Средняя линия параллельна основаниям: $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.
2. Длина средней линии равна полусумме оснований: $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Доказательство:
Проведём прямую через вершину $B$ и середину боковой стороны $CD$ — точку $N$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.
Рассмотрим треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle EDN$.
В этих треугольниках:
• $CN = ND$ (по определению точки $N$ как середины $CD$).
• $\angle BNC = \angle END$ (как вертикальные углы).
• $\angle BCN = \angle EDN$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AE$ и секущей $CD$).
Следовательно, треугольники $\triangle BCN$ и $\triangle EDN$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует, что $BC = ED$ и $BN = NE$.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABE$. В нём отрезок $MN$ соединяет середину стороны $AB$ (точку $M$, по условию) и середину стороны $BE$ (точку $N$, так как $BN=NE$). Таким образом, $MN$ является средней линией треугольника $\triangle ABE$.
По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит:
• $MN \parallel AE$. Так как точка $E$ лежит на прямой $AD$, то $MN \parallel AD$. А поскольку $AD \parallel BC$, то и $MN \parallel BC$. Первая часть теоремы доказана.
• $MN = \frac{1}{2}AE$. Длина отрезка $AE$ равна сумме длин $AD$ и $DE$. Мы доказали, что $DE = BC$, поэтому $AE = AD + BC$. Подставив это в формулу для $MN$, получаем: $MN = \frac{AD + BC}{2}$. Вторая часть теоремы также доказана.

Ответ: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

1. Основания трапеции равны 6 и 8. Найдите ее среднюю линию.

1. Средняя линия трапеции — это отрезок, который соединяет середины ее боковых (непараллельных) сторон. Длина средней линии трапеции вычисляется как полусумма ее оснований.

Формула для нахождения средней линии трапеции ($m$) выглядит следующим образом:

$m = \frac{a + b}{2}$

где $a$ и $b$ — это длины оснований трапеции.

По условию задачи, длины оснований равны 6 и 8. Подставим эти значения в формулу:

$a = 6$

$b = 8$

$m = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Таким образом, средняя линия трапеции равна 7.

Ответ: 7

2. Средняя линия трапеции равна $5$. Одно основание равно $4$. Найдите другое основание.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$, а среднюю линию как $m$. Формула для нахождения средней линии выглядит так:

$m = \frac{a + b}{2}$

Из условия задачи нам известно, что средняя линия $m = 5$, а одно из оснований, например $a$, равно 4. Нам необходимо найти другое основание $b$.

Подставим известные значения в формулу:

$5 = \frac{4 + b}{2}$

Чтобы решить это уравнение относительно $b$, умножим обе его части на 2:

$5 \cdot 2 = 4 + b$

$10 = 4 + b$

Теперь найдем $b$, вычтя 4 из 10:

$b = 10 - 4$

$b = 6$

Следовательно, длина другого основания трапеции составляет 6.

Ответ: 6

3. Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из ее оснований больше другого на 4 см. Найдите основания трапеции.

Пусть меньшее основание трапеции равно $b$ см, а большее — $a$ см. Средняя линия трапеции обозначается как $m$.

Из условия задачи известно, что средняя линия $m = 7$ см. Также дано, что одно из оснований на 4 см больше другого. Запишем это в виде уравнения: $a = b + 4$.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, что выражается формулой: $m = \frac{a + b}{2}$

Подставим известное значение средней линии в эту формулу: $7 = \frac{a + b}{2}$

Из этого уравнения можно найти сумму оснований: $a + b = 7 \cdot 2$
$a + b = 14$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
1) $a + b = 14$
2) $a = b + 4$

Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое: $(b + 4) + b = 14$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$:
$2b + 4 = 14$
$2b = 14 - 4$
$2b = 10$
$b = \frac{10}{2}$
$b = 5$

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 5 см.

Теперь найдем большее основание $a$, подставив найденное значение $b$ во второе уравнение системы:
$a = 5 + 4$
$a = 9$

Следовательно, большее основание трапеции равно 9 см.

Ответ: основания трапеции равны 5 см и 9 см.

4. Периметр трапеции равен 50 см, а сумма непараллельных сторон равна 20 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Периметр трапеции $(P)$ представляет собой сумму длин всех ее сторон. Обозначим основания (параллельные стороны) трапеции как $a$ и $b$, а боковые (непараллельные) стороны как $c$ и $d$. Формула для периметра трапеции выглядит следующим образом:

$P = a + b + c + d$

Средняя линия трапеции $(m)$ равна полусумме ее оснований, то есть:

$m = \frac{a + b}{2}$

Согласно условиям задачи, у нас есть следующие данные:

Периметр $P = 50$ см.

Сумма непараллельных сторон $c + d = 20$ см.

Чтобы найти среднюю линию, нам сначала необходимо вычислить сумму оснований $(a+b)$. Мы можем найти эту сумму из формулы периметра, подставив в нее известные значения:

$50 = (a + b) + 20$

Выразим из этого уравнения сумму оснований $(a+b)$:

$a + b = 50 - 20$

$a + b = 30$ см

Теперь, зная сумму оснований, мы можем легко найти длину средней линии трапеции, используя соответствующую формулу:

$m = \frac{a + b}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см

Ответ: 15 см.

5. Периметр равнобедренной трапеции равен 80 см, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону данной трапеции.

б.
Пусть $a$ и $b$ — основания равнобедренной трапеции, а $c$ — её боковая сторона.
Периметр $P$ трапеции — это сумма длин всех её сторон. Для равнобедренной трапеции формула периметра: $P = a + b + 2c$.
Согласно условию, периметр равен 80 см, значит: $a + b + 2c = 80$.
Длина средней линии трапеции $m$ равна полусумме её оснований: $m = \frac{a+b}{2}$.
Также по условию, средняя линия равна боковой стороне: $m = c$.
Приравняв два выражения для $m$ и $c$, получаем: $c = \frac{a+b}{2}$.
Из этого соотношения можно выразить сумму оснований: $a+b = 2c$.
Теперь подставим полученное выражение для суммы оснований $a+b$ в формулу периметра:
$(a+b) + 2c = 80$
$2c + 2c = 80$
$4c = 80$
Найдем длину боковой стороны $c$:
$c = \frac{80}{4}$
$c = 20$ см.
Ответ: 20 см.

6. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 5 см и 2 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция, назовем ее $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания ($AD > BC$), а $AB$ и $CD$ — равные боковые стороны. Пусть $BH$ — перпендикуляр (высота), опущенный из вершины тупого угла $B$ на большее основание $AD$. По условию, точка $H$ делит основание $AD$ на два отрезка длиной 5 см и 2 см.
Для решения задачи докажем и воспользуемся свойством равнобедренной трапеции. Проведем вторую высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. Так как трапеция равнобедренная, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны (по гипотенузе и катету), из чего следует, что отрезки $AH = KD$.
Средняя линия трапеции ($m$) вычисляется по формуле:
$m = \frac{AD + BC}{2}$
Рассмотрим отрезок $HD$. Он состоит из двух частей: $HD = HK + KD$. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником (так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD, CK \perp AD$), поэтому его противолежащие стороны равны: $HK = BC$. Заменив в выражении для $HD$ отрезок $KD$ на равный ему $AH$, получаем: $HD = BC + AH$.
Теперь подставим это в формулу для средней линии. Сначала выразим $BC$ из полученного равенства: $BC = HD - AH$. Основание $AD$ равно сумме отрезков: $AD = AH + HD$.
$m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{(AH + HD) + (HD - AH)}{2} = \frac{2 \cdot HD}{2} = HD$.
Таким образом, мы доказали, что длина средней линии равнобедренной трапеции равна длине большего из отрезков, на которые высота, опущенная из вершины тупого угла, делит большее основание.
Так как длины отрезков $AH$ и $BC$ положительны, то из равенства $HD = BC + AH$ следует, что $HD > AH$. Значит, $HD$ — это больший из двух отрезков, на которые высота делит основание.
По условию, длины этих отрезков равны 5 см и 2 см. Следовательно, длина большего отрезка $HD = 5$ см.
Отсюда, средняя линия трапеции $m = HD = 5$ см.

Можно также проверить результат, вычислив длины оснований. Меньший отрезок $AH = 2$ см, больший $HD = 5$ см.
Длина большего основания: $AD = AH + HD = 2 \text{ см} + 5 \text{ см} = 7 \text{ см}$.
Длина меньшего основания: $BC = HD - AH = 5 \text{ см} - 2 \text{ см} = 3 \text{ см}$.
Тогда средняя линия равна: $m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$.
Результаты совпадают.

Ответ: 5 см.

7. Основания трапеции относятся как $5:2$, а их разность равна 18 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$. Согласно условию задачи, их отношение составляет $5:2$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда длины оснований можно записать как $a = 5x$ и $b = 2x$.

Также из условия известно, что разность длин оснований равна 18 см. Составим уравнение:

$a - b = 18$

Подставим выражения для $a$ и $b$ через $x$:

$5x - 2x = 18$

$3x = 18$

$x = \frac{18}{3}$

$x = 6$

Теперь найдем длины оснований трапеции:

Большее основание: $a = 5x = 5 \cdot 6 = 30$ см.

Меньшее основание: $b = 2x = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Средняя линия трапеции, обозначим ее $m$, равна полусумме ее оснований. Формула для вычисления средней линии:

$m = \frac{a + b}{2}$

Подставим найденные значения $a$ и $b$ в эту формулу:

$m = \frac{30 + 12}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Ответ: 21 см.

8. Основания трапеции относятся как 2: 3, а средняя линия равна 5 м.

Найдите основания.

Пусть меньшее основание трапеции равно a, а большее — b. По условию задачи, их длины относятся как 2:3. Это можно выразить через коэффициент пропорциональности x:

$a = 2x$

$b = 3x$

Средняя линия трапеции, обозначим ее m, равна полусумме ее оснований. Формула для вычисления средней линии:

$m = \frac{a + b}{2}$

Из условия известно, что средняя линия $m = 5$ м. Подставим в формулу выражения для оснований через x и значение средней линии:

$5 = \frac{2x + 3x}{2}$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение x:

$5 = \frac{5x}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$10 = 5x$

Отсюда находим x:

$x = \frac{10}{5} = 2$

Теперь, зная значение коэффициента x, мы можем найти длины оснований трапеции:

Меньшее основание: $a = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ м.

Большее основание: $b = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ м.

Ответ: основания трапеции равны 4 м и 6 м.

9. На одной прямой на равном расстоянии друг от друга стоят три телеграфных столба. Крайние столбы находятся от дороги на расстояниях 18 м и 48 м (рис. 10.3). Найдите расстояние, на котором от дороги находится средний столб.

Данную задачу можно решить с помощью геометрии. Представим дорогу в виде прямой линии. Три телеграфных столба будут тремя отрезками, перпендикулярными этой прямой. Фигура, образованная основаниями крайних столбов и их вершинами, является трапецией.

Обозначим высоты (расстояния от дороги) крайних столбов как $h_1$ и $h_2$, а высоту среднего столба как $h_c$. По условию, $h_1 = 18$ м и $h_2 = 48$ м.

Поскольку столбы перпендикулярны дороге, они параллельны друг другу. Вершины столбов лежат на одной прямой. Таким образом, мы имеем дело с прямоугольной трапецией, где высоты столбов являются ее параллельными сторонами (основаниями), а линия дороги и линия, соединяющая верхушки столбов, — боковыми сторонами.

В условии сказано, что столбы находятся на равном расстоянии друг от друга. Это означает, что средний столб расположен посередине между крайними столбами. В нашей трапеции это означает, что отрезок, соответствующий среднему столбу, является ее средней линией.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. В данном случае, высота среднего столба $h_c$ будет равна среднему арифметическому высот крайних столбов.

Формула для расчета: $h_c = \frac{h_1 + h_2}{2}$

Подставим известные значения: $h_c = \frac{18 + 48}{2} = \frac{66}{2} = 33$

Следовательно, расстояние, на котором от дороги находится средний столб, составляет 33 метра.

Ответ: 33 м.