Страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какой четырехугольник называется трапецией?

2. Какие стороны трапеции называются:

а)основаниями;

б)боковыми сторонами?

3. Что называется высотой трапеции?

4. Какая трапеция называется:

а)равнобедренной;

б)прямоугольной?

5. Какое соотношение имеется между углами при основании равнобедренной трапеции?

6. Какое соотношение имеется между диагоналями равнобедренной трапеции?

1. Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны называют основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.

Ответ: Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

2. а) Параллельные стороны трапеции, о которых говорится в ее определении, называются основаниями. У трапеции всегда два основания.

Ответ: Основаниями трапеции называются ее параллельные стороны.

2. б) Две непараллельные стороны трапеции называются ее боковыми сторонами. Они соединяют концы оснований.

Ответ: Боковыми сторонами трапеции называются ее непараллельные стороны.

3. Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. Длина этого перпендикуляра также называется высотой. Все высоты одной трапеции равны между собой.

Ответ: Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

4. а) Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной или равнобокой. Такое название она получила по аналогии с равнобедренным треугольником.

Ответ: Равнобедренной называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

4. б) Трапеция, у которой есть прямой угол (угол в $90^\circ$), называется прямоугольной. Если один из углов при основании прямой, то и другой угол при этом же основании, образованный той же боковой стороной, также будет прямым. Таким образом, эта боковая сторона перпендикулярна основаниям.

Ответ: Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

5. У равнобедренной трапеции углы при каждом из оснований равны. Если $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, то углы при основании $AD$ равны ($\angle A = \angle D$), и углы при основании $BC$ также равны ($\angle B = \angle C$).

Ответ: Углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны.

6. Диагонали равнобедренной трапеции равны по длине. Если в трапеции $ABCD$ диагоналями являются отрезки $AC$ и $BD$, то в равнобедренной трапеции их длины будут одинаковы: $AC = BD$.

Ответ: Диагонали равнобедренной трапеции равны.

1. Изобразите равнобедренную трапецию с тремя данными вершинами (рис. 9.5).

а)

б)

Рис. 9.5

а)

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть левый нижний узел сетки соответствует началу координат (0,0). Каждая клетка сетки имеет сторону, равную 1. Координаты заданных вершин: $A(0, 1)$, $B(4, 1)$ и $D(1, 4)$.

Рассмотрим случай, когда отрезок $AB$ является одним из оснований трапеции. Так как точки $A$ и $B$ имеют одинаковую ординату $y=1$, отрезок $AB$ параллелен оси абсцисс. В трапеции основания параллельны. Следовательно, второе основание, которое должно содержать вершину $D$, также должно быть параллельно оси абсцисс. Пусть четвертая вершина трапеции — точка $C(x_C, y_C)$. Тогда отрезок $DC$ должен быть параллелен $AB$, а значит, ординаты точек $D$ и $C$ должны быть равны: $y_C = y_D = 4$.

Трапеция является равнобедренной, если ее боковые стороны равны. В нашем случае основаниями являются $AB$ и $DC$, а боковыми сторонами — $AD$ и $BC$. Найдем квадраты их длин.

Квадрат длины стороны $AD$: $AD^2 = (x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2 = (1 - 0)^2 + (4 - 1)^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$.

Квадрат длины стороны $BC$: $BC^2 = (x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 = (x_C - 4)^2 + (4 - 1)^2 = (x_C - 4)^2 + 3^2 = (x_C - 4)^2 + 9$.

Приравняем квадраты длин боковых сторон $AD^2 = BC^2$: $10 = (x_C - 4)^2 + 9$ $(x_C - 4)^2 = 1$

Из этого уравнения получаем два возможных значения для $x_C$: $x_C - 4 = 1 \implies x_C = 5$ $x_C - 4 = -1 \implies x_C = 3$

Если $x_C = 5$, то точка $C$ имеет координаты $(5, 4)$. Длина основания $DC$ будет равна $|5 - 1| = 4$, что равно длине основания $AB$. В этом случае четырехугольник $ABDC$ является параллелограммом, а не равнобедренной трапецией (так как он не является прямоугольником).

Если $x_C = 3$, то точка $C$ имеет координаты $(3, 4)$. Длины оснований: $AB = 4$ и $DC = |3 - 1| = 2$. Длины боковых сторон равны $\sqrt{10}$. Это удовлетворяет определению равнобедренной трапеции.

Таким образом, четвертая вершина трапеции — точка $C$ с координатами $(3, 4)$.

Ответ: Четвертая вершина $C$ имеет координаты $(3, 4)$.

б)

Аналогично введем систему координат. Координаты заданных вершин: $A(1, 0)$, $B(4, 3)$ и $C(2, 4)$. Пусть искомая четвертая вершина — точка $D(x_D, y_D)$.

Рассмотрим случай, когда трапеция именуется $ABCD$ в порядке обхода вершин. Тогда ее основаниями могут быть стороны $AB$ и $DC$. Для параллельности оснований их угловые коэффициенты должны быть равны.

Угловой коэффициент основания $AB$: $k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{3 - 0}{4 - 1} = \frac{3}{3} = 1$.

Угловой коэффициент основания $DC$ должен быть также равен 1: $k_{DC} = \frac{y_C - y_D}{x_C - x_D} = \frac{4 - y_D}{2 - x_D} = 1$. Отсюда получаем соотношение между координатами точки $D$: $4 - y_D = 2 - x_D \implies y_D = x_D + 2$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ боковыми сторонами являются $AD$ и $BC$. Их длины должны быть равны. Найдем квадраты их длин.

Квадрат длины стороны $BC$: $BC^2 = (x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 = (2 - 4)^2 + (4 - 3)^2 = (-2)^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

Квадрат длины стороны $AD$: $AD^2 = (x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2 = (x_D - 1)^2 + (y_D - 0)^2 = (x_D - 1)^2 + y_D^2$.

Приравняем квадраты длин боковых сторон $AD^2 = BC^2$: $(x_D - 1)^2 + y_D^2 = 5$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1) $y_D = x_D + 2$ 2) $(x_D - 1)^2 + y_D^2 = 5$

Подставим выражение для $y_D$ из первого уравнения во второе: $(x_D - 1)^2 + (x_D + 2)^2 = 5$ $(x_D^2 - 2x_D + 1) + (x_D^2 + 4x_D + 4) = 5$ $2x_D^2 + 2x_D + 5 = 5$ $2x_D^2 + 2x_D = 0$ $2x_D(x_D + 1) = 0$

Получаем два возможных решения: $x_D = 0$ или $x_D = -1$.

Если $x_D = 0$, то $y_D = 0 + 2 = 2$. Координаты точки $D$ — $(0, 2)$. Эта точка находится в пределах показанной сетки.

Если $x_D = -1$, то $y_D = -1 + 2 = 1$. Координаты точки $D$ — $(-1, 1)$. Это также является решением, но точка находится за пределами изображенной сетки.

Выбираем решение, которое можно изобразить на данной сетке.

Ответ: Четвертая вершина $D$ имеет координаты $(0, 2)$.

2. Изобразите прямоугольную трапецию с тремя данными вершинами (рис. 9.6).

а)

б)

Рис. 9.6

а)

Введем систему координат, в которой узлы сетки имеют целочисленные координаты. Примем левый нижний угол видимой сетки за начало координат (0, 0). Тогда данные вершины имеют координаты: A(1, 1), B(5, 1), C(3, 4).

Прямоугольная трапеция – это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, образуя два прямых угла. Для построения такой трапеции нам нужно найти четвертую вершину D так, чтобы выполнялись два условия: наличие одной пары параллельных сторон (оснований) и наличие стороны, перпендикулярной этим основаниям.

Проанализируем расположение данных точек. Отрезок AB, соединяющий точки A(1, 1) и B(5, 1), является горизонтальным, так как у обеих точек одинаковая ордината (координата y). Если мы выберем горизонтальные отрезки в качестве оснований трапеции, то второе основание, проходящее через точку C(3, 4), также должно быть горизонтальным. Это значит, что четвертая вершина D должна иметь ту же ординату, что и точка C, то есть $y_D = 4$.

Боковая сторона, перпендикулярная горизонтальным основаниям, должна быть вертикальной. Вертикальный отрезок имеет одинаковую абсциссу (координату x) для обеих своих точек. Если мы построим вертикальную боковую сторону AD, то абсцисса точки D должна быть равна абсциссе точки A, то есть $x_D = 1$.

Объединив эти два условия, получаем координаты четвертой вершины: D(1, 4).

Проверим получившуюся фигуру. Рассмотрим четырехугольник ADCB с вершинами A(1, 1), D(1, 4), C(3, 4) и B(5, 1).
Основание DC соединяет точки D(1, 4) и C(3, 4), оно горизонтально. Основание AB соединяет точки A(1, 1) и B(5, 1), оно также горизонтально. Следовательно, основания DC и AB параллельны ($DC \parallel AB$).
Боковая сторона AD соединяет точки A(1, 1) и D(1, 4), она вертикальна.
Так как боковая сторона AD вертикальна, а основания DC и AB горизонтальны, сторона AD перпендикулярна обоим основаниям. Таким образом, углы $\angle ADC$ и $\angle DAB$ являются прямыми ($90^\circ$).
Фигура ADCB является прямоугольной трапецией.

Ответ: Четвертая вершина D должна быть расположена в точке с координатами (1, 4). Изображение искомой трапеции представлено на рисунке ниже.

б)

Используем ту же систему координат. Координаты данных вершин: A(2, 1), B(4, 3), D(1, 3).

Рассмотрим отрезок DB. Он соединяет точки D(1, 3) и B(4, 3), следовательно, он горизонтален. Примем DB за одно из оснований трапеции. Пусть четвертая вершина — точка C. Тогда второе основание, проходящее через точку A(2, 1), также должно быть горизонтальным. Это значит, что ордината точки C должна быть такой же, как у точки A: $y_C = 1$.

Боковая сторона, перпендикулярная горизонтальным основаниям, должна быть вертикальной. Если мы построим вертикальную боковую сторону BC, то абсцисса точки C должна быть равна абсциссе точки B: $x_C = 4$.

Таким образом, мы нашли координаты четвертой вершины: C(4, 1).

Проверим получившуюся фигуру. Рассмотрим четырехугольник ADBC с вершинами A(2, 1), D(1, 3), B(4, 3) и C(4, 1).
Основание CA соединяет точки C(4, 1) и A(2, 1), оно горизонтально. Основание DB соединяет точки D(1, 3) и B(4, 3), оно также горизонтально. Следовательно, основания CA и DB параллельны ($CA \parallel DB$).
Боковая сторона BC соединяет точки B(4, 3) и C(4, 1), она вертикальна.
Так как боковая сторона BC вертикальна, а основания CA и DB горизонтальны, сторона BC перпендикулярна обоим основаниям. Таким образом, углы $\angle BCA$ и $\angle CBD$ являются прямыми ($90^\circ$).
Фигура ADBC является прямоугольной трапецией.

Ответ: Четвертая вершина C должна быть расположена в точке с координатами (4, 1). Изображение искомой трапеции представлено на рисунке ниже.