Страница 33 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. На листе бумаги в клетку отмечены три вершины квадрата $ABCD$ (рис. 7.8). Пользуясь линейкой без делений, постройте четвертую вершину и центр квадрата.

BCA

Рис. 7.8

Построение четвертой вершины

Для нахождения четвертой вершины квадрата ABCD и его центра воспользуемся свойствами этой фигуры и клетчатой разметкой листа.

1. Сначала определим, как расположены данные вершины A, B и C. Для удобства анализа введем систему координат, где одна клетка равна единице. Пусть вершина A имеет координаты (1, 2). Тогда, судя по рисунку, B будет в точке (2, 6), а C — в точке (6, 5).

2. Проверим, являются ли A, B и C последовательными вершинами. Для этого найдем векторы, соответствующие отрезкам AB и BC, и проверим, равны ли они по длине и перпендикулярны ли друг другу.

Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты: $(x_B - x_A, y_B - y_A) = (2-1, 6-2) = (1, 4)$.

Вектор $\vec{BC}$ имеет координаты: $(x_C - x_B, y_C - y_B) = (6-2, 5-6) = (4, -1)$.

3. Найдем квадраты длин этих векторов (чтобы избежать корней):

$|\vec{AB}|^2 = 1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$.

$|\vec{BC}|^2 = 4^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17$.

Так как длины равны ($|\vec{AB}| = |\vec{BC}|$), отрезки AB и BC могут быть смежными сторонами квадрата.

4. Проверим, является ли угол $\angle ABC$ прямым. Для этого вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (1 \cdot 4) + (4 \cdot (-1)) = 4 - 4 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, и, следовательно, угол $\angle ABC = 90^\circ$.

5. Мы доказали, что A, B и C — три последовательные вершины квадрата. Четвертая вершина D должна дополнять фигуру до квадрата. В квадрате (как и в любом параллелограмме) противоположные стороны параллельны и равны, поэтому вектор $\vec{AD}$ должен быть равен вектору $\vec{BC}$.

Геометрически это означает, что для нахождения точки D нужно сместить точку A так же, как точка B была смещена для получения точки C. Смещение из B в C — это 4 клетки вправо и 1 клетка вниз. Применяя такое же смещение к точке A, мы найдем точку D.

Начав с точки A(1, 2), смещаемся на 4 клетки вправо (координата x становится $1+4=5$) и на 1 клетку вниз (координата y становится $2-1=1$). Таким образом, координаты вершины D — (5, 1).

Ответ: Чтобы построить четвертую вершину D, необходимо от точки A отступить на 4 клетки вправо и 1 клетку вниз и отметить полученную точку. Это и будет вершина D.

Построение центра квадрата

Центр квадрата является точкой пересечения его диагоналей. Также известно, что диагонали в точке пересечения делятся пополам.

1. Мы уже определили все четыре вершины квадрата: A, B, C и D.

2. С помощью линейки без делений соединим противоположные вершины, то есть построим диагонали AC и BD.

3. Точка пересечения этих двух диагоналей и будет центром квадрата. На рисунке видно, что диагональ AC соединяет точки (1, 2) и (6, 5), а диагональ BD соединяет точки (2, 6) и (5, 1). Их пересечение — искомый центр O.

Аналитически можно проверить, что координаты центра (середины диагонали AC) равны:

$O = (\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}) = (\frac{1+6}{2}, \frac{2+5}{2}) = (3.5, 3.5)$.

Ответ: Для построения центра квадрата необходимо с помощью линейки провести два отрезка, соединяющие противоположные вершины (диагонали AC и BD). Точка их пересечения является центром квадрата.

17. На рисунке 7.9 изображен прямоугольник $ABCD$, на сторонах которого внутри него построены равные равнобедренные треугольники: $\triangle ABM = \triangle CDP$ и $\triangle BCN = \triangle ADQ$. Докажите, что четырехугольник $MNPQ$ — ромб.

Доказательство:

По условию, $ABCD$ — прямоугольник. Это означает, что его противоположные стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), а все углы прямые ($\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$).

На сторонах прямоугольника внутри него построены равные равнобедренные треугольники: $\Delta ABM = \Delta CDP$ и $\Delta BCN = \Delta ADQ$.

Из того, что $\Delta ABM$ и $\Delta CDP$ являются равными равнобедренными треугольниками с основаниями $AB$ и $CD$ соответственно, следует, что их боковые стороны равны: $AM = BM = CP = DP$. Также равны их углы при основании: $\angle MAB = \angle MBA = \angle PCD = \angle PDC$.

Аналогично, из того, что $\Delta BCN$ и $\Delta ADQ$ являются равными равнобедренными треугольниками с основаниями $BC$ и $AD$ соответственно, следует, что их боковые стороны равны: $BN = CN = AQ = DQ$. Также равны их углы при основании: $\angle NBC = \angle NCB = \angle QAD = \angle QDA$.

Чтобы доказать, что четырехугольник $MNPQ$ является ромбом, нужно доказать равенство всех его сторон: $MN = NP = PQ = QM$. Для этого докажем равенство четырех треугольников, расположенных в углах прямоугольника: $\Delta QAM$, $\Delta MBN$, $\Delta PCN$ и $\Delta PDQ$.

Сравним эти треугольники. Во-первых, сравним их стороны. В $\Delta QAM$ это стороны $AQ$ и $AM$; в $\Delta MBN$ — $BN$ и $BM$; в $\Delta PCN$ — $CN$ и $CP$; в $\Delta PDQ$ — $DQ$ и $DP$. Как мы установили ранее, $AM = BM = CP = DP$ и $AQ = BN = CN = DQ$. Таким образом, эти четыре треугольника имеют по две соответственно равные стороны.

Во-вторых, сравним углы, заключенные между этими сторонами. Так как углы прямоугольника $ABCD$ равны $90^\circ$, то:$\angle QAM = \angle DAB - \angle MAB - \angle QAD = 90^\circ - \angle MAB - \angle QAD$;$\angle MBN = \angle ABC - \angle MBA - \angle NBC = 90^\circ - \angle MBA - \angle NBC$;$\angle PCN = \angle BCD - \angle PCD - \angle NCB = 90^\circ - \angle PCD - \angle NCB$;$\angle PDQ = \angle CDA - \angle PDC - \angle ADQ = 90^\circ - \angle PDC - \angle ADQ$.Учитывая ранее установленные равенства углов ($\angle MAB = \angle MBA = \angle PCD = \angle PDC$ и $\angle QAD = \angle NBC = \angle NCB = \angle QDA$), мы заключаем, что все эти четыре угла равны между собой: $\angle QAM = \angle MBN = \angle PCN = \angle PDQ$.

Следовательно, четыре треугольника $\Delta QAM$, $\Delta MBN$, $\Delta PCN$ и $\Delta PDQ$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует и равенство их третьих сторон: $QM = MN = NP = PQ$.

Поскольку все стороны четырехугольника $MNPQ$ равны, он является ромбом по определению.

Ответ: Что и требовалось доказать.

18. На рисунке 7.10 изображен параллелограмм $ABCD$, на сторонах которого вне его построены равные треугольники: $\triangle ABM = \triangle CDP$ и $\triangle BCN = \triangle DAQ$. Является ли четырехугольник $MNPQ$ ромбом?

Рис. 7.10

Для того чтобы определить, является ли четырехугольник MNPQ ромбом, необходимо проверить, все ли его стороны равны. Ромб — это частный случай параллелограмма, поэтому сначала можно проверить, является ли MNPQ параллелограммом. Однако, как мы покажем, в общем случае MNPQ не является даже параллелограммом, а следовательно, и не является ромбом.

Рассмотрим конкретный пример, который покажет, что стороны четырехугольника MNPQ не обязательно равны между собой.

1. Построение контрпримера.

Выберем в качестве основы параллелограмм $ABCD$, который не является ни прямоугольником, ни ромбом. Зададим координаты его вершин в декартовой системе координат:

$A = (0, 0)$, $B = (5, 0)$, $D = (2, 3)$, $C = B + D - A = (5+2-0, 0+3-0) = (7, 3)$.

Теперь построим на его сторонах внешним образом требуемые треугольники.

2. Построение $\triangle ABM$ и $\triangle CDP$.

Пусть $\triangle ABM$ — равнобедренный треугольник, построенный на стороне $AB$. Выберем вершину $M$ так, чтобы ее координаты были $M = (2.5, 4)$. Этот треугольник построен внешним образом, так как ордината точки $M$ положительна, а параллелограмм лежит в области $y \geq 0$ вблизи этой стороны.

По условию, $\triangle CDP \cong \triangle ABM$. Сторона $CD$ параллельна стороне $AB$ и имеет ту же длину 5. Середина стороны $CD$ — точка с координатами $(\frac{2+7}{2}, \frac{3+3}{2}) = (4.5, 3)$. Высота $\triangle ABM$ равна 4. Чтобы $\triangle CDP$ был построен внешним образом, его вершина $P$ должна находиться "под" стороной $CD$. Таким образом, координаты точки $P$ будут:

$P = (4.5, 3 - 4) = (4.5, -1)$.

3. Построение $\triangle BCN$ и $\triangle DAQ$.

Выберем $\triangle BCN$ так, чтобы он был прямоугольным равнобедренным треугольником с прямым углом при вершине $C$. Координаты вершин: $B = (5, 0)$, $C = (7, 3)$.

Вектор $\vec{CB} = (5-7, 0-3) = (-2, -3)$. Вектор, перпендикулярный $\vec{CB}$ и равный ему по длине, например, $\vec{v} = (3, -2)$. Чтобы треугольник был внешним, вершина $N$ должна быть смещена из точки $C$ по вектору $\vec{v}$ (или $-\vec{v}$, в зависимости от ориентации). Выберем $N = C + \vec{v} = (7, 3) + (3, -2) = (10, 1)$.

Проверим стороны $\triangle BCN$:

$BC = |\vec{CB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$.

$CN = |\vec{CN}| = \sqrt{(10-7)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$.

$BN = \sqrt{(10-5)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26}$.

Действительно, $BC^2+CN^2 = 13+13=26=BN^2$, так что $\triangle BCN$ — прямоугольный равнобедренный треугольник.

Теперь найдем координаты вершины $Q$ из условия $\triangle DAQ \cong \triangle BCN$. Соответствие вершин: $D \leftrightarrow B, A \leftrightarrow C, Q \leftrightarrow N$.

Из этого соответствия следует, что $AQ = CN = \sqrt{13}$ и $DQ = BN = \sqrt{26}$.

Пусть $Q=(x, y)$. Тогда:

$AQ^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2 = 13$.

$DQ^2 = (x-2)^2 + (y-3)^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 26$.

Подставим $x^2 + y^2 = 13$ во второе уравнение:

$13 - 4x + 4 - 6y + 9 = 26 \implies 26 - 4x - 6y = 26 \implies 4x + 6y = 0 \implies y = -\frac{2}{3}x$.

Подставим $y$ в первое уравнение:

$x^2 + (-\frac{2}{3}x)^2 = 13 \implies x^2 + \frac{4}{9}x^2 = 13 \implies \frac{13}{9}x^2 = 13 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

Если $x=3$, то $y=-2$. $Q_1 = (3, -2)$.

Если $x=-3$, то $y=2$. $Q_2 = (-3, 2)$.

Чтобы определить, какая из этих точек соответствует внешнему треугольнику, заметим, что $\angle QAD$ в $\triangle DAQ$ должен быть равен $\angle NCB = 90^\circ$ в $\triangle BCN$. Проверим это условие для $Q_1$ и $Q_2$. Вектор $\vec{AD}=(2,3)$.

Для $Q_1(3,-2)$: $\vec{AQ_1}=(3,-2)$. Скалярное произведение $\vec{AD} \cdot \vec{AQ_1} = (2)(3) + (3)(-2) = 6 - 6 = 0$. Значит, $\angle Q_1AD = 90^\circ$.

Для $Q_2(-3,2)$: $\vec{AQ_2}=(-3,2)$. Скалярное произведение $\vec{AD} \cdot \vec{AQ_2} = (2)(-3) + (3)(2) = -6 + 6 = 0$. Значит, $\angle Q_2AD = 90^\circ$.

Обе точки образуют прямой угол. Внешняя сторона для отрезка $AD$ находится "справа и снизу". Точка $Q_1=(3,-2)$ подходит под это описание. Таким образом, $Q = (3, -2)$.

4. Расчет длин сторон четырехугольника MNPQ.

Теперь у нас есть координаты всех четырех вершин:

$M = (2.5, 4)$, $N = (10, 1)$, $P = (4.5, -1)$, $Q = (3, -2)$.

Найдем квадраты длин сторон четырехугольника MNPQ:

$MN^2 = (10 - 2.5)^2 + (1 - 4)^2 = (7.5)^2 + (-3)^2 = 56.25 + 9 = 65.25$.

$NP^2 = (4.5 - 10)^2 + (-1 - 1)^2 = (-5.5)^2 + (-2)^2 = 30.25 + 4 = 34.25$.

$PQ^2 = (3 - 4.5)^2 + (-2 - (-1))^2 = (-1.5)^2 + (-1)^2 = 2.25 + 1 = 3.25$.

$QM^2 = (2.5 - 3)^2 + (4 - (-2))^2 = (-0.5)^2 + 6^2 = 0.25 + 36 = 36.25$.

Как видим, все четыре стороны имеют разную длину: $MN^2 \neq NP^2 \neq PQ^2 \neq QM^2$.

Поскольку стороны четырехугольника MNPQ не равны, он не является ромбом. Более того, в данном примере MNPQ не является даже параллелограммом, так как у него не равны противоположные стороны ($MN^2 \neq PQ^2$ и $NP^2 \neq QM^2$).

Ответ: Четырехугольник MNPQ не всегда является ромбом. В общем случае он не является даже параллелограммом.

19. На сторонах квадрата $ABCD$ вне его построили равные треугольники (рис. 7.11). Точками $E, F, G, H$ обозначили пересечения их высот. Докажите, что четырехугольник $EFGH$ является квадратом.

Рис. 7.11

Для доказательства того, что четырехугольник $EFGH$ является квадратом, мы воспользуемся методом геометрических преобразований, а именно поворотом.

Пусть $ABCD$ — данный квадрат, и пусть $O$ — его центр (точка пересечения диагоналей). По условию, на сторонах $AB, BC, CD$ и $DA$ вне квадрата построены равные треугольники. Обозначим эти треугольники $\triangle T_{AB}, \triangle T_{BC}, \triangle T_{CD}, \triangle T_{DA}$ соответственно. Точки $E, F, G, H$ — это ортоцентры (точки пересечения высот) этих треугольников.

Рассмотрим поворот $R$ на угол $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг центра $O$. При таком повороте квадрат $ABCD$ переходит сам в себя. В частности:

• Вершина $A$ переходит в вершину $B$.
• Вершина $B$ переходит в вершину $C$.
• Вершина $C$ переходит в вершину $D$.
• Вершина $D$ переходит в вершину $A$.

Следовательно, сторона $AB$ переходит в сторону $BC$, сторона $BC$ — в сторону $CD$, и так далее.

Поскольку все построенные треугольники равны и построены одинаковым образом на равных сторонах квадрата, то поворот $R$ переводит треугольник $\triangle T_{AB}$ в треугольник $\triangle T_{BC}$. Аналогично, $R$ переводит $\triangle T_{BC}$ в $\triangle T_{CD}$, $\triangle T_{CD}$ в $\triangle T_{DA}$ и $\triangle T_{DA}$ в $\triangle T_{AB}$.

Ортоцентр является точкой, положение которой однозначно определяется вершинами треугольника. Поворот является движением (изометрией), а значит, он сохраняет все геометрические отношения. Если поворот $R$ отображает $\triangle T_{AB}$ на $\triangle T_{BC}$, то он также отображает ортоцентр треугольника $\triangle T_{AB}$ на ортоцентр треугольника $\triangle T_{BC}$.

По определению, $E$ — ортоцентр $\triangle T_{AB}$, а $F$ — ортоцентр $\triangle T_{BC}$. Таким образом, поворот $R$ переводит точку $E$ в точку $F$. Математически это записывается как $R(E) = F$. По той же причине, $R(F) = G$, $R(G) = H$ и $R(H) = E$.

Из того, что четырехугольник $EFGH$ переходит в себя при повороте на $90^\circ$ вокруг точки $O$, следует, что он является правильным четырехугольником, то есть квадратом. Докажем это подробнее:

1. Равенство сторон. Поворот сохраняет расстояния между точками (является изометрией). Так как при повороте $R$ отрезок $EF$ переходит в отрезок $FG$, их длины должны быть равны: $EF = FG$. Аналогично, так как $R(F)=G$ и $R(G)=H$, то $FG=GH$. Продолжая, получаем $GH=HE$. Таким образом, все стороны четырехугольника равны: $EF=FG=GH=HE$. Это означает, что $EFGH$ — ромб.

2. Прямые углы. Угол между некоторым отрезком и его образом при повороте равен углу поворота. Отрезок $FG$ является образом отрезка $EF$ при повороте на $90^\circ$. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$, то есть $\angle EFG = 90^\circ$. Ромб, у которого хотя бы один угол прямой, является квадратом.

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник $EFGH$ имеет четыре равные стороны и четыре прямых угла, а значит, является квадратом.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $EFGH$ является квадратом.

20. В центре площади расположен фонтан, около которого надо разбить 4 одинаковые клумбы с розами. Как рассадить 36 кустов роз — по 10 кустов на каждой клумбе — с таким расчетом, чтобы фонтан был равноудален от всех клумб?

Это классическая логическая задача, в которой на первый взгляд кажется, что условия противоречат друг другу. Если на каждой из 4 клумб должно быть по 10 кустов, то всего потребуется $4 \times 10 = 40$ кустов роз. Однако в наличии имеется только 36 кустов. Разница в $40 - 36 = 4$ куста говорит о том, что некоторые кусты должны принадлежать нескольким клумбам одновременно, то есть клумбы должны пересекаться.

Для того чтобы фонтан был равноудален от всех клумб, их следует расположить симметрично вокруг него. Наиболее подходящая для этого симметричная схема, удовлетворяющая всем условиям, выглядит следующим образом:

1. Общее расположение кустов. Все 36 кустов роз высаживаются в виде большого креста. Этот крест состоит из центрального квадрата размером $2 \times 2$ куста и четырех примыкающих к нему прямоугольных "рукавов" размером $2 \times 4$ куста каждый.
Проверим общее количество кустов в такой фигуре:
Центральная часть: $2 \times 2 = 4$ куста.
Четыре "рукава": $4 \times (2 \times 4) = 4 \times 8 = 32$ куста.
Итого: $4 + 32 = 36$ кустов. Это соответствует условию задачи.

2. Формирование клумб. Теперь определим четыре одинаковые клумбы по 10 кустов в каждой:

• Первая клумба состоит из верхнего "рукава" (8 кустов) и верхней половины центрального квадрата (2 куста). Итого: $8 + 2 = 10$ кустов. По форме это прямоугольник $2 \times 5$.
• Вторая клумба состоит из правого "рукава" (8 кустов) и правой половины центрального квадрата (2 куста). Итого: $8 + 2 = 10$ кустов. По форме это прямоугольник $5 \times 2$.
• Третья клумба состоит из нижнего "рукава" (8 кустов) и нижней половины центрального квадрата (2 куста). Итого: $8 + 2 = 10$ кустов. По форме это прямоугольник $2 \times 5$.
• Четвертая клумба состоит из левого "рукава" (8 кустов) и левой половины центрального квадрата (2 куста). Итого: $8 + 2 = 10$ кустов. По форме это прямоугольник $5 \times 2$.

Таким образом, каждая из четырех клумб представляет собой прямоугольник из 10 кустов. Хотя две из них имеют размер $2 \times 5$, а две другие — $5 \times 2$, геометрически эти фигуры являются одинаковыми (конгруэнтными), так как одну можно получить из другой поворотом на 90 градусов. Все клумбы расположены симметрично относительно центрального фонтана, который находится в центре всей композиции.

Ответ: Следует высадить 36 кустов роз в виде симметричного креста, состоящего из центрального квадрата $2 \times 2$ куста и четырех прямоугольных "лучей" $2 \times 4$ куста, примыкающих к его сторонам. Четыре одинаковые клумбы по 10 кустов формируются следующим образом: каждая клумба включает один из "лучей" (8 кустов) и прилегающую к нему половину центрального квадрата (2 куста).

21. Жители трех домов, расположенных в вершинах равнобедренного треугольника с углом $120^\circ$, решили построить общий колодец. Какое место для колодца им следует выбрать, чтобы все три дома находились от него на одинаковом расстоянии?

Пусть дома расположены в вершинах A, B и C равнобедренного треугольника ABC. По условию, один из углов треугольника равен 120°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы угол при основании был равен 120°, то сумма двух углов при основании уже составляла бы $120^{\circ} + 120^{\circ} = 240^{\circ}$, что невозможно, так как сумма всех углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, угол 120° является углом при вершине, противолежащей основанию. Пусть это будет угол B, то есть $\angle B = 120^{\circ}$.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то его боковые стороны равны: $AB = BC$. Углы при основании также равны: $\angle A = \angle C = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}$.

Нужно найти место для колодца, которое будет находиться на одинаковом расстоянии от всех трех домов. В геометрии такая точка называется центром описанной окружности треугольника. Обозначим эту точку буквой O. По определению, точка O равноудалена от вершин A, B и C, то есть $OA = OB = OC = R$, где R — радиус описанной окружности.

По свойству углов, вписанных в окружность, величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Рассмотрим центральный угол $\angle BOC$. Он опирается на дугу BC. На эту же дугу (если рассматривать с другой стороны) опирается вписанный угол $\angle BAC$. Точнее, поскольку треугольник тупоугольный, центр описанной окружности лежит вне треугольника. Центральный угол $\angle BOC$ и вписанный угол $\angle BAC$ опираются на одну и ту же хорду BC. Величина центрального угла, опирающегося на хорду, вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же хорду и лежащего с центром по одну сторону от нее.

Угол $\angle BOC$ равен удвоенному углу $\angle BAC$.
$\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
Треугольник BOC является равнобедренным, так как $OB = OC = R$. Поскольку один из его углов ($\angle BOC$) равен 60°, то этот треугольник — равносторонний. Следовательно, $OB = OC = BC = R$.

Аналогично, рассмотрим центральный угол $\angle AOB$. Он равен удвоенному углу $\angle BCA$.
$\angle AOB = 2 \cdot \angle BCA = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
Треугольник AOB является равнобедренным ($OA = OB = R$), и так как его угол при вершине O равен 60°, он также является равносторонним. Следовательно, $OA = OB = AB = R$.

Из полученных равенств следует, что $OA = OB = OC = AB = BC$. Это означает, что расстояние от колодца до каждого из трех домов должно быть равно длине боковых (равных) сторон треугольника.

Теперь определим точное местоположение точки O.
Рассмотрим точку O', которая является зеркальным отражением вершины B относительно прямой AC (основания треугольника).
1. По свойству осевой симметрии, расстояние от любой точки на оси симметрии до симметричных точек одинаково. Так как точки A и C лежат на оси симметрии AC, то $AO' = AB$ и $CO' = CB$. Поскольку $AB=CB$, то $AO' = CO' = AB$.
2. Расстояние от точки B до прямой AC равно высоте треугольника $h_b$, проведенной из вершины B. Расстояние от точки O' до прямой AC также равно $h_b$. Таким образом, расстояние $BO'$ равно $2h_b$.
В равнобедренном треугольнике ABC высота BD, проведенная к основанию, является также и биссектрисой. Значит, $\angle ABD = \angle B / 2 = 120^{\circ} / 2 = 60^{\circ}$.
В прямоугольном треугольнике ABD катет $BD$ (высота $h_b$) равен: $h_b = BD = AB \cdot \cos(60^{\circ}) = AB \cdot (1/2) = AB/2$.
Тогда расстояние $BO' = 2h_b = 2 \cdot (AB/2) = AB$.
3. Мы получили, что $AO' = CO' = BO' = AB$. Это означает, что точка O' и есть искомый центр описанной окружности O.

Таким образом, место для колодца — это точка, симметричная вершине с углом 120° относительно прямой, соединяющей две другие вершины.

Ответ: Колодец следует построить в точке, которая является зеркальным отражением дома, расположенного в вершине с углом 120°, относительно прямой, соединяющей два других дома. В этом случае расстояние от колодца до каждого из трех домов будет одинаковым и будет равно расстоянию между домами, образующими боковые стороны равнобедренного треугольника.

22. Изобразите какой-нибудь треугольник. Проведите отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Какими свойствами обладает этот отрезок?

Изобразим произвольный треугольник $ABC$. Далее найдем середины двух его сторон. Пусть точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $BC$. Это означает, что $AM = MB$ и $BN = NC$. Соединим точки $M$ и $N$ отрезком.

Полученный отрезок $MN$ называется средней линией треугольника. Этот отрезок обладает рядом важных свойств, которые формулируются в теореме о средней линии треугольника.

Свойство 1: Параллельность

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне, то есть той стороне, с которой она не имеет общих точек. В нашем случае отрезок $MN$ параллелен стороне $AC$. Математически это свойство записывается так: $MN \parallel AC$

Свойство 2: Длина

Длина средней линии треугольника равна половине длины третьей стороны. Для нашего треугольника длина отрезка $MN$ равна половине длины стороны $AC$. В виде формулы это свойство выглядит следующим образом: $MN = \frac{1}{2} AC$

Дополнительные свойства, вытекающие из основных:

- Средняя линия $MN$ отсекает от исходного треугольника $ABC$ подобный ему треугольник $MBN$. Коэффициент подобия этих треугольников равен $k = \frac{1}{2}$.

- Так как отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, площадь отсеченного треугольника $MBN$ в четыре раза меньше площади исходного треугольника $ABC$. Формулой: $S_{\triangle MBN} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC}$.

Ответ: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией. Он параллелен третьей стороне этого треугольника и равен ее половине.