Страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 4 и 5. Найдите высоту этой трапеции.

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Эта перпендикулярная сторона и является высотой трапеции. Вторая боковая сторона — наклонная.

Обозначим нашу трапецию как $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Пусть боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям $AD$ и $BC$. Тогда по определению, $AB$ является высотой трапеции. Обозначим ее длину как $h$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $CHD$. В этом треугольнике:
• гипотенуза — это наклонная боковая сторона $CD$;
• один из катетов — это высота $CH$.

Так как $AB$ и $CH$ — это две высоты, проведенные к одному основанию, то их длины равны: $AB = CH = h$.

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее каждого из катетов. Следовательно, для треугольника $CHD$ справедливо неравенство: $CD > CH$.

По условию задачи даны длины двух боковых сторон: 4 и 5. Одна из них является высотой ($h = AB = CH$), а другая — наклонной стороной ($CD$). Так как наклонная сторона $CD$ должна быть больше высоты $CH$, то меньшее из двух значений будет соответствовать высоте, а большее — наклонной стороне.

Следовательно, высота трапеции равна 4, а наклонная боковая сторона — 5.

Ответ: 4

4. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 см и 4 см. Найдите меньшее основание трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее основание. Проведем перпендикуляр (высоту) $BH$ из вершины тупого угла $B$ на большее основание $AD$.

Согласно условию, высота $BH$ делит основание $AD$ на два отрезка, $AH$ и $HD$, с длинами 10 см и 4 см. Длина всего большего основания $AD$ равна сумме длин этих отрезков: $AD = 10 \text{ см} + 4 \text{ см} = 14 \text{ см}$.

Для нахождения меньшего основания воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции. Проведем еще одну высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$.

В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают на большем основании равные отрезки. То есть, $AH = KD$.

Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поскольку его стороны $BH$ и $CK$ перпендикулярны параллельным прямым $AD$ и $BC$. Следовательно, длина отрезка $HK$ равна длине меньшего основания $BC$: $HK = BC$.

Отрезок $HD$ можно представить как сумму отрезков $HK$ и $KD$: $HD = HK + KD$.

Заменив в этом выражении $HK$ на $BC$ и $KD$ на $AH$, получим: $HD = BC + AH$.

Из этого соотношения следует, что отрезок $HD$ длиннее отрезка $AH$, так как длина основания $BC$ является положительной величиной ($BC > 0$).

Следовательно, из двух данных отрезков (10 см и 4 см) больший отрезок — это $HD$, а меньший — $AH$.

$HD = 10 \text{ см}$

$AH = 4 \text{ см}$

Теперь подставим известные значения в полученную ранее формулу $HD = BC + AH$:

$10 = BC + 4$

Выразим отсюда искомую длину меньшего основания $BC$:

$BC = 10 - 4 = 6 \text{ см}$.

Ответ: 6 см.

5. Чему равны углы равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $40^\circ$?

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Также сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Из этих свойств следует, что и сумма противолежащих углов также равна $180^\circ$.

Пусть $ \alpha $ и $ \beta $ — это противолежащие углы трапеции. В трапеции один из этих углов будет острым, а другой — тупым. Предположим, что $ \beta $ — тупой угол, а $ \alpha $ — острый.

Исходя из свойства равнобедренной трапеции, мы можем составить первое уравнение:

$ \alpha + \beta = 180^\circ $

Согласно условию задачи, разность этих углов равна $40^\circ$. Это дает нам второе уравнение:

$ \beta - \alpha = 40^\circ $

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \beta - \alpha = 40^\circ \end{cases} $

Сложим левые и правые части этих уравнений, чтобы найти значение угла $ \beta $:

$ (\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180^\circ + 40^\circ $

$ 2\beta = 220^\circ $

$ \beta = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ $

Теперь, зная значение $ \beta $, найдем угол $ \alpha $, подставив его в первое уравнение:

$ \alpha + 110^\circ = 180^\circ $

$ \alpha = 180^\circ - 110^\circ $

$ \alpha = 70^\circ $

Так как в равнобедренной трапеции углы при основаниях попарно равны, то два угла трапеции (при большем основании) равны по $70^\circ$, а два других угла (при меньшем основании) — по $110^\circ$.

Ответ: два угла по 70° и два угла по 110°.

6. Могут ли углы, прилежащие к основанию трапеции, быть один острым, а другой тупым?

Да, углы, прилежащие к одному основанию трапеции, могут быть один острым, а другой тупым. Чтобы это доказать, рассмотрим свойства углов трапеции.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие нет (боковые стороны). Пусть дана трапеция ABCD, в которой основаниями являются стороны AD и BC, следовательно, AD || BC. Важное свойство трапеции заключается в том, что сумма углов, прилежащих к любой боковой стороне, равна $180°$. Это следует из того, что боковые стороны являются секущими при параллельных прямых, на которых лежат основания. Таким образом, для трапеции ABCD справедливы равенства: $∠A + ∠B = 180°$ и $∠C + ∠D = 180°$.

Теперь рассмотрим углы, прилежащие к одному основанию, например, к основанию AD. Это углы $∠A$ и $∠D$. Допустим, что один из них острый, а другой — тупой. Пусть $∠A$ — острый (то есть $0° < ∠A < 90°$), а $∠D$ — тупой (то есть $90° < ∠D < 180°$).

Проверим, не приводит ли это предположение к противоречию. Используя свойство углов при боковых сторонах, найдем, какими должны быть углы при другом основании, BC. Угол $∠B$ связан с углом $∠A$ соотношением $∠B = 180° - ∠A$. Поскольку $∠A$ — острый, то угол $∠B$ будет тупым (его величина будет больше $90°$). Аналогично, угол $∠C$ связан с углом $∠D$ соотношением $∠C = 180° - ∠D$. Поскольку $∠D$ — тупой, то угол $∠C$ будет острым (его величина будет меньше $90°$).

В результате мы получаем трапецию, у которой углы при основании AD — острый и тупой, а углы при основании BC — тупой и острый соответственно. Никакого противоречия с геометрическими аксиомами или свойствами трапеции здесь нет. Такая трапеция существует, и это наиболее общий вид трапеции (не являющейся ни равнобедренной, ни прямоугольной).

Наглядно это можно представить, построив такую трапецию. Если нарисовать длинное основание AD, а затем из точки A провести боковую сторону AB под острым углом, а из точки D — боковую сторону DC под тупым углом (так, чтобы стороны AB и DC оказались по одну сторону от AD), то, проведя через точки B и C прямую, параллельную AD, мы получим искомую трапецию.

Ответ: Да, могут.

7. Может ли у трапеции быть:

а) три прямых угла;

б) три острых угла?

а) три прямых угла
Трапеция — это выпуклый четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.
Предположим, что у трапеции есть три прямых угла. Величина прямого угла составляет $90^\circ$. Сумма этих трех углов будет равна:
$3 \times 90^\circ = 270^\circ$
Тогда величина четвертого угла будет равна разности между общей суммой углов четырехугольника и суммой трех известных углов:
$360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$
Таким образом, если у трапеции три прямых угла, то и четвертый ее угол также должен быть прямым. Четырехугольник, у которого все углы прямые, называется прямоугольником. Прямоугольник является частным случаем трапеции, поскольку у него есть как минимум одна пара параллельных сторон (у него их даже две). Такая трапеция называется прямоугольной.
Следовательно, у трапеции может быть три прямых угла.
Ответ: да, может.

б) три острых угла
Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.
Воспользуемся ключевым свойством трапеции: сумма углов, прилежащих к одной боковой (непараллельной) стороне, всегда равна $180^\circ$. Это следует из того, что основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей.
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Боковыми сторонами являются $AB$ и $CD$. Для нее справедливы следующие равенства:
$\angle A + \angle B = 180^\circ$
$\angle C + \angle D = 180^\circ$
Рассмотрим одну из этих пар углов, например, $\angle A$ и $\angle B$. Если предположить, что оба этих угла острые, то есть $\angle A < 90^\circ$ и $\angle B < 90^\circ$, то их сумма будет строго меньше $180^\circ$:
$\angle A + \angle B < 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$
Это противоречит свойству трапеции, согласно которому их сумма должна быть равна $180^\circ$. Таким образом, из двух углов при одной боковой стороне только один может быть острым (в этом случае другой будет тупым), либо оба угла прямые.
Поскольку у трапеции две боковые стороны, она может иметь не более двух острых углов (по одному у каждой боковой стороны). Следовательно, существование трапеции с тремя острыми углами невозможно.
Ответ: нет, не может.

8. Определите вид четырехугольника, который получится, если последовательно соединить отрезками середины сторон равнобедренной трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По определению, у равнобедренной трапеции боковые стороны равны ($AB = CD$), а также равны диагонали ($AC = BD$).

Обозначим точки $K$, $L$, $M$, $N$ как середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ соответственно. Требуется определить вид четырехугольника $KLMN$, который образуется при последовательном соединении этих точек.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$, соединяющий середины сторон $AB$ и $BC$, является его средней линией. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Следовательно, $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2} AC$.

2. Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $NM$ соединяет середины сторон $CD$ и $AD$, поэтому является его средней линией. Следовательно, $NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2} AC$.

3. Из первых двух пунктов следует, что $KL \parallel NM$ и $KL = NM$. По признаку параллелограмма (если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны), четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом. Отметим, что этот вывод (теорема Вариньона) справедлив для любого четырехугольника.

4. Теперь рассмотрим другую диагональ трапеции, $BD$. В треугольнике $ABD$ отрезок $KN$ является средней линией. Следовательно, $KN \parallel BD$ и $KN = \frac{1}{2} BD$.

5. Мы установили, что $KLMN$ — это параллелограмм, и нашли длины его смежных сторон: $KL = \frac{1}{2} AC$ и $KN = \frac{1}{2} BD$.

6. Используем ключевое свойство равнобедренной трапеции — равенство ее диагоналей: $AC = BD$.

7. Сравнивая длины смежных сторон параллелограмма $KLMN$, получаем: $KL = \frac{1}{2} AC$ и $KN = \frac{1}{2} BD$. Поскольку $AC = BD$, отсюда следует, что $KL = KN$.

Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Так как $KLMN$ — это параллелограмм с равными смежными сторонами $KL$ и $KN$, то все его стороны равны ($KL=LM=MN=NK$).

Таким образом, четырехугольник, полученный соединением середин сторон равнобедренной трапеции, является ромбом.

Ответ: ромб.

9. В четырехугольнике диагонали равны. Будет ли он равнобедренной трапецией?

Нет, не обязательно. Четырехугольник, у которого диагонали равны, не всегда является равнобедренной трапецией. Равенство диагоналей — это необходимое, но не достаточное условие для того, чтобы четырехугольник был равнобедренной трапецией.

По определению, равнобедренная трапеция — это четырехугольник, у которого одна пара сторон параллельна (основания), а две другие стороны (боковые стороны) равны. У любой равнобедренной трапеции диагонали действительно равны. Однако обратное утверждение неверно.

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример. Можно построить выпуклый четырехугольник, у которого диагонали равны, но который не является трапецией, так как не имеет параллельных сторон. Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ равны и пересекаются в точке $O$. Для того чтобы этот четырехугольник был трапецией с основаниями $AD$ и $BC$, необходимо, чтобы стороны $AD$ и $BC$ были параллельны. Это условие выполняется, если треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ подобны, что в свою очередь требует выполнения пропорции $\frac{AO}{OC} = \frac{DO}{OB}$. Можно легко выбрать точку пересечения $O$ так, что диагонали $AC$ и $BD$ будут равны, но указанная пропорция (а также пропорция для второй пары сторон) выполняться не будет. Такой четырехугольник будет иметь равные диагонали, но не будет иметь параллельных сторон, и, следовательно, не будет являться равнобедренной трапецией.

Стоит отметить, что существуют четырехугольники с равными диагоналями, которые являются равнобедренными трапециями. Например, прямоугольник. У него диагонали равны, и он является частным случаем равнобедренной трапеции. Однако сам факт равенства диагоналей не гарантирует, что любой такой четырехугольник будет равнобедренной трапецией.

Таким образом, для того чтобы четырехугольник с равными диагоналями был равнобедренной трапецией, необходимо дополнительное условие, например, чтобы у него была одна пара параллельных сторон. Ответ: Нет, не обязательно. Четырехугольник с равными диагоналями будет являться равнобедренной трапецией только в том случае, если он также является трапецией.

10. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 3 см (рис. 9.7), отсекает треугольник, периметр которого равен 15 см. Найдите периметр трапеции.

Рис. 9.7

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $CD$ и $AB$ — основания. Согласно условию, $CD$ — меньшее основание, и его длина равна $CD = 3$ см.

Через вершину $D$ проведена прямая, параллельная боковой стороне $BC$. Эта прямая пересекает большее основание $AB$ в точке $E$. Таким образом, по построению $DE \parallel BC$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $BCDE$. В этом четырехугольнике:

1. Сторона $DE$ параллельна стороне $BC$ ($DE \parallel BC$) по построению.

2. Сторона $CD$ параллельна стороне $EB$ ($CD \parallel EB$), так как $CD$ и $AB$ являются основаниями трапеции, а точка $E$ лежит на $AB$.

Поскольку у четырехугольника $BCDE$ противоположные стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противоположные стороны равны. Следовательно:

$BC = DE$

$CD = EB$

Так как нам дано, что $CD = 3$ см, то и $EB = 3$ см.

Проведенная прямая $DE$ отсекает от трапеции треугольник $\triangle ADE$. По условию задачи, периметр этого треугольника равен 15 см.

Периметр треугольника $\triangle ADE$ вычисляется как сумма длин его сторон:

$P_{\triangle ADE} = AD + DE + AE = 15$ см.

Теперь найдем периметр трапеции $ABCD$. Периметр трапеции — это сумма длин всех ее четырех сторон:

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$.

Длину большего основания $AB$ можно выразить как сумму длин отрезков $AE$ и $EB$:

$AB = AE + EB$.

Подставим это выражение в формулу для периметра трапеции:

$P_{ABCD} = (AE + EB) + BC + CD + AD$.

Перегруппируем слагаемые и воспользуемся тем, что $BC = DE$:

$P_{ABCD} = (AE + AD + DE) + EB + CD$.

Выражение в скобках $(AE + AD + DE)$ представляет собой периметр треугольника $\triangle ADE$, который, как нам известно, равен 15 см. Длины отрезков $EB$ и $CD$ нам также известны: $EB = 3$ см и $CD = 3$ см.

Подставим все известные значения в формулу:

$P_{ABCD} = P_{\triangle ADE} + EB + CD = 15 + 3 + 3 = 21$ см.

Ответ: 21 см.

11. Докажите, что если углы при основании трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ являются основаниями ($AD \parallel BC$), и углы при основании $AD$ равны.

Дано:
$ABCD$ — трапеция,
$AD \parallel BC$,
$\angle A = \angle D$.

Доказать:
Трапеция $ABCD$ — равнобедренная (то есть, $AB = CD$).

Доказательство:

1. Проведем из вершин $B$ и $C$ верхнего основания высоты $BH$ и $CK$ на нижнее основание $AD$.

2. Так как по определению трапеции ее основания параллельны ($AD \parallel BC$), то проведенные высоты $BH$ и $CK$ равны друг другу как расстояния между двумя параллельными прямыми. Таким образом, $BH = CK$.

3. Рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые у нас образовались: $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$. Они являются прямоугольными, так как $BH$ и $CK$ — высоты, и, следовательно, $\angle BHA = \angle CKD = 90^\circ$.

4. Сравним эти два треугольника. В них:
• Катет $BH$ равен катету $CK$ (из пункта 2).
• Острый угол $\angle A$ равен острому углу $\angle D$ (по условию задачи).

5. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по катету и прилежащему к нему острому углу.

6. Из равенства треугольников следует и равенство всех их соответствующих сторон. В нашем случае, гипотенуза треугольника $\triangle ABH$ равна гипотенузе треугольника $\triangle DCK$. То есть, $AB = CD$.

7. Боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ равны. По определению, трапеция с равными боковыми сторонами является равнобедренной.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если углы при основании трапеции равны, то её боковые стороны равны, а значит, такая трапеция является равнобедренной.

12. Докажите, что если диагонали трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

Дано:
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$.
Диагонали трапеции равны по длине: $AC = BD$.

Доказать:
Трапеция $ABCD$ является равнобедренной, то есть ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Доказательство:
1. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$. Таким образом, по построению $CE \parallel BD$.
2. Рассмотрим четырехугольник $BCED$. В нем стороны $BC$ и $DE$ параллельны, так как $BC \parallel AD$ по определению трапеции, а точка $E$ лежит на прямой $AD$. Стороны $CE$ и $BD$ параллельны по построению. Следовательно, четырехугольник $BCED$ является параллелограммом.
3. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны. Отсюда следует, что $CE = BD$ и $BC = DE$.
4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACE$. По условию задачи нам дано, что $AC = BD$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $CE = BD$. Следовательно, мы можем заключить, что $AC = CE$.
5. Поскольку две стороны треугольника $\triangle ACE$ равны ($AC = CE$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $AE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle CAE = \angle CEA$.
6. Так как прямые $BD$ и $CE$ параллельны, а прямая $AE$ является для них секущей, то углы $\angle BDA$ и $\angle CEA$ являются соответственными углами. Следовательно, $\angle BDA = \angle CEA$.
7. Сопоставим равенства из пунктов 5 и 6: у нас есть $\angle CAE = \angle CEA$ и $\angle BDA = \angle CEA$. Отсюда следует, что $\angle CAE = \angle BDA$. Заметим, что угол $\angle CAE$ — это тот же самый угол, что и $\angle CAD$ в исходной трапеции. Таким образом, мы доказали, что $\angle CAD = \angle BDA$.
8. Наконец, рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle DBA$.
В этих треугольниках:
- $AC = BD$ (по условию задачи).
- $AD$ — общая сторона.
- $\angle CAD = \angle BDA$ (как доказано в пункте 7).
Следовательно, $\triangle ACD = \triangle DBA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
9. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, сторона $CD$ треугольника $\triangle ACD$ соответствует стороне $AB$ треугольника $\triangle DBA$. Значит, $CD = AB$.
10. Мы доказали, что боковые стороны трапеции равны. По определению, такая трапеция является равнобедренной.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если диагонали трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

13. Докажите:

1) сумма боковых сторон трапеции больше разности оснований;

2) сумма диагоналей трапеции больше суммы оснований;

3) разность оснований больше разности боковых сторон;

4) диагонали трапеции в точке их пересечения не делятся пополам.

1) сумма боковых сторон трапеции больше разности оснований;
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD > BC$. Обозначим длины сторон: $AB = c$, $CD = d$, $BC = a$, $AD = b$. Требуется доказать, что $c + d > b - a$.
Проведем из вершины $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.
Полученный четырехугольник $ABCE$ является параллелограммом, так как $BC$ параллельна $AE$ (как части оснований трапеции) и $CE$ параллельна $AB$ (по построению).
Следовательно, в силу свойств параллелограмма, $CE = AB = c$ и $AE = BC = a$.
Рассмотрим треугольник $\triangle CED$. Его стороны равны $CE = c$, $CD = d$ и $ED = AD - AE = b - a$.
Согласно неравенству треугольника, сумма двух его сторон всегда больше третьей стороны: $CE + CD > ED$.
Подставив значения длин, получаем: $c + d > b - a$.
Утверждение доказано.
Ответ: Сумма боковых сторон трапеции всегда больше разности ее оснований, что следует из неравенства треугольника, примененного к треугольнику, образованному одной из боковых сторон, отрезком, параллельным другой боковой стороне, и частью большего основания, равной разности оснований.

2) сумма диагоналей трапеции больше суммы оснований;
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=b$ и $BC=a$, и диагоналями $AC=d_1$ и $BD=d_2$. Требуется доказать, что $d_1 + d_2 > a + b$.
Проведем из вершины $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $F$.
Четырехугольник $BCFD$ — параллелограмм, так как $BC$ параллельна $DF$ (как части параллельных прямых) и $CF$ параллельна $BD$ (по построению).
Следовательно, $CF = BD = d_2$ и $DF = BC = a$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ACF$. Его стороны: $AC=d_1$, $CF=d_2$ и $AF = AD + DF = b + a$.
По неравенству треугольника, сумма двух сторон больше третьей: $AC + CF > AF$.
Подставив значения, получаем: $d_1 + d_2 > b + a$.
Утверждение доказано.
Ответ: Сумма диагоналей трапеции всегда больше суммы ее оснований, что доказывается с помощью построения вспомогательного треугольника, стороны которого равны диагоналям трапеции и сумме ее оснований.

3) разность оснований больше разности боковых сторон;
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=b$ и $BC=a$ (где $b > a$) и боковыми сторонами $AB=c$ и $CD=d$. Требуется доказать, что $b - a > |c - d|$.
Используем то же построение, что и в пункте 1: проведем из вершины $C$ прямую, параллельную стороне $AB$, до пересечения с основанием $AD$ в точке $E$.
Мы получили треугольник $\triangle CED$ со сторонами $CE=c$, $CD=d$ и $ED = AD - AE = b - a$.
Согласно одному из следствий неравенства треугольника, любая сторона треугольника больше модуля разности двух других сторон: $ED > |CE - CD|$.
Подставив значения длин сторон, получаем: $b - a > |c - d|$.
Утверждение доказано.
Ответ: Разность оснований трапеции больше модуля разности ее боковых сторон, что также является следствием из неравенства треугольника.

4) диагонали трапеции в точке их пересечения не делятся пополам.
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, и пусть ее диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
По определению трапеции, ее основания параллельны, но не равны, то есть $AD \parallel BC$ и $AD \neq BC$.
Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$.
Углы $\angle OAD$ и $\angle OCB$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.
Аналогично, углы $\angle ODA$ и $\angle OBC$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$.
Следовательно, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ подобны по двум углам (признак подобия АА).
Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:
$ \frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC} $
Допустим от противного, что диагонали в точке пересечения делятся пополам. Это означало бы, что $AO = CO$ и $BO = DO$.
Если $AO = CO$, то коэффициент подобия $\frac{AO}{CO} = 1$.
Тогда из пропорции следует, что и $\frac{AD}{BC} = 1$, что означает $AD = BC$.
Это противоречит определению трапеции, у которой основания не равны. Если бы основания были равны, то четырехугольник был бы параллелограммом, а не трапецией (в общепринятом смысле).
Таким образом, наше первоначальное предположение было неверным.
Ответ: Диагонали трапеции (не являющейся параллелограммом) не могут делиться пополам в точке пересечения, так как это привело бы к равенству оснований, что противоречит определению трапеции.