Страница 46 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Сформулируйте теорему Фалеса.

2. Обобщением каких теорем является теорема Фалеса?

3. Как, используя теорему Фалеса, разделить отрезок на $n$ равных частей?

4. Что называется отношением двух отрезков?

5. Какие отрезки называются пропорциональными?

6. Сформулируйте теорему о пропорциональных отрезках.

1. Теорема Фалеса гласит: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные между собой отрезки, то они отсекают равные между собой отрезки и на другой его стороне.
Например, пусть даны стороны угла и три параллельные прямые, пересекающие их. Если точки пересечения на одной стороне $A_1, A_2, A_3$, а на другой — $B_1, B_2, B_3$, и при этом длина отрезка $A_1A_2$ равна длине отрезка $A_2A_3$, то, согласно теореме, длина отрезка $B_1B_2$ будет равна длине отрезка $B_2B_3$.
Ответ: Если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне.

2. Теорема Фалеса является обобщением для теорем о средних линиях. Теоремы о средней линии треугольника и средней линии трапеции являются частными случаями и прямыми следствиями теоремы Фалеса.
Например, теорема о средней линии треугольника, которая утверждает, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине, легко доказывается с помощью теоремы Фалеса и теоремы о пропорциональных отрезках.
Ответ: Теорема Фалеса является обобщением теорем о средней линии треугольника и трапеции.

3. Чтобы разделить отрезок $AB$ на $n$ равных частей с помощью теоремы Фалеса, нужно выполнить следующие шаги:
1. Из одного из концов отрезка, например, из точки $A$, провести произвольный луч $a$, не совпадающий с прямой $AB$.
2. На этом луче $a$, начиная от точки $A$, отложить $n$ одинаковых по длине отрезков с помощью циркуля. Получим точки $C_1, C_2, \dots, C_n$ такие, что $AC_1 = C_1C_2 = \dots = C_{n-1}C_n$.
3. Соединить последнюю точку $C_n$ с другим концом исходного отрезка — точкой $B$.
4. Через точки $C_1, C_2, \dots, C_{n-1}$ провести прямые, параллельные отрезку $C_nB$.
5. Эти параллельные прямые пересекут отрезок $AB$ в точках $D_1, D_2, \dots, D_{n-1}$.
Согласно теореме Фалеса, так как на луче $a$ отрезки $AC_1, C_1C_2, \dots$ равны, то и на отрезке $AB$ соответствующие отрезки $AD_1, D_1D_2, \dots$ будут равны между собой. Таким образом, отрезок $AB$ будет разделен на $n$ равных частей.
Ответ: Нужно из конца отрезка провести луч, отложить на нем $n$ равных отрезков, соединить конец последнего отрезка с другим концом исходного отрезка, а затем провести параллельные прямые через остальные точки деления на луче.

4. Отношением двух отрезков называется отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения. Если длины отрезков $AB$ и $CD$ равны соответственно $l_1$ и $l_2$, то их отношение записывается как $\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{l_1}{l_2}$. Это значение является положительным действительным числом и не зависит от выбора единиц измерения.
Ответ: Отношение двух отрезков — это число, равное отношению их длин.

5. Отрезки $AB$ и $CD$ называются пропорциональными отрезкам $A_1B_1$ и $C_1D_1$, если отношения их длин равны. То есть, если выполняется равенство: $ \frac{|AB|}{|A_1B_1|} = \frac{|CD|}{|C_1D_1|} $
Это означает, что во сколько раз отрезок $AB$ больше (или меньше) отрезка $A_1B_1$, во столько же раз отрезок $CD$ больше (или меньше) отрезка $C_1D_1$.
Ответ: Отрезки называются пропорциональными, если равно отношение их длин.

6. Теорема о пропорциональных отрезках (также известная как обобщенная теорема Фалеса) утверждает, что параллельные прямые, пересекающие две произвольные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.
Если несколько параллельных прямых пересекают прямую $a$ в точках $A_1, A_2, A_3, \dots$ и прямую $b$ в точках $B_1, B_2, B_3, \dots$, то отношение длин любых двух отрезков, образовавшихся на прямой $a$, равно отношению длин соответствующих им отрезков на прямой $b$. Например: $ \frac{|A_1A_2|}{|A_2A_3|} = \frac{|B_1B_2|}{|B_2B_3|} $
Ответ: Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки.

1. Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A, C и B, D соответственно (рис. 11.5). Найдите $OC$, если $OB = BD = 5$ и $OA = 4$.

1. Данную задачу можно решить, используя теорему о пропорциональных отрезках (обобщенную теорему Фалеса) или через подобие треугольников.

Способ 1: Использование подобия треугольников

Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OCD$.

Поскольку по условию прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), то эти треугольники подобны по двум углам:

1. $\angle O$ — общий для обоих треугольников.

2. $\angle OAB = \angle OCD$ как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $OC$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$

По условию задачи нам даны следующие длины: $OA = 4$, $OB = 5$ и $BD = 5$.

Найдем длину отрезка $OD$. Он состоит из двух отрезков $OB$ и $BD$:

$OD = OB + BD = 5 + 5 = 10$

Теперь подставим все известные значения в пропорцию и найдем $OC$:

$\frac{4}{OC} = \frac{5}{10}$

Упростим правую часть уравнения:

$\frac{4}{OC} = \frac{1}{2}$

Из этого соотношения выражаем $OC$:

$OC = 4 \cdot 2 = 8$

Способ 2: Использование теоремы о пропорциональных отрезках

Теорема о пропорциональных отрезках гласит, что параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки. Для данной конфигурации это можно записать как:

$\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{BD}$

Подставим известные значения: $OA = 4$, $OB = 5$ и $BD = 5$.

$\frac{4}{AC} = \frac{5}{5}$

$\frac{4}{AC} = 1$

Отсюда находим, что $AC = 4$.

Искомый отрезок $OC$ равен сумме длин отрезков $OA$ и $AC$:

$OC = OA + AC = 4 + 4 = 8$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 8.

2. Стороны угла с вершиной $O$ пересечены двумя параллельными прямыми в точках $A, C$ и $B, D$ соответственно (рис. 11.6). Найдите $OD$, если $OA = 6, AC = 12$ и $OB = 5$.

Рис. 11.6

Рассмотрим два треугольника, образованные пересечением сторон угла с параллельными прямыми: $\triangle OAB$ и $\triangle OCD$.
Эти треугольники подобны друг другу. Это следует из обобщенной теоремы Фалеса или из первого признака подобия треугольников (по двум углам):
1. Угол при вершине $O$ (угол $\angle AOB$) является общим для обоих треугольников.
2. Поскольку прямые $AB$ и $CD$ параллельны по условию, углы $\angle OAB$ и $\angle OCD$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $OC$.
Так как $\triangle OAB \sim \triangle OCD$, их соответственные стороны пропорциональны:
$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$
По условию задачи даны длины отрезков: $OA = 6$, $AC = 12$ и $OB = 5$.
Длина стороны $OC$ равна сумме длин отрезков $OA$ и $AC$, так как точка $A$ лежит между $O$ и $C$:
$OC = OA + AC = 6 + 12 = 18$
Теперь подставим известные значения в записанную пропорцию:
$\frac{6}{18} = \frac{5}{OD}$
Упростим левую часть пропорции, сократив дробь на 6:
$\frac{1}{3} = \frac{5}{OD}$
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), найдем $OD$:
$1 \cdot OD = 3 \cdot 5$
$OD = 15$

Ответ: $15$.

3. На одной из сторон угла расположены два отрезка 3 см и 4 см. Через их концы проведены параллельные прямые, образующие на другой стороне также два отрезка. Больший из отрезков равен 6 см. Чему равен другой отрезок?

Для решения этой задачи используется обобщенная теорема Фалеса (также известная как теорема о пропорциональных отрезках). Согласно этой теореме, если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, отсекаемые на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на другой стороне.

Пусть на одной стороне угла даны два отрезка с длинами $a = 3$ см и $b = 4$ см. Параллельные прямые, проведенные через их концы, отсекают на другой стороне угла два других отрезка, назовем их $c$ и $d$.

По теореме о пропорциональных отрезках, отношение длин отрезков на одной стороне равно отношению длин соответствующих отрезков на другой стороне:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Подставим известные значения длин отрезков $a$ и $b$:

$\frac{3}{4} = \frac{c}{d}$

Это соотношение показывает, что один из отрезков на второй стороне ($c$ или $d$) составляет $\frac{3}{4}$ от другого. Следовательно, один отрезок является большим, а другой — меньшим.

По условию задачи, больший из отрезков на второй стороне равен 6 см. Из пропорции видно, что меньший отрезок составляет $\frac{3}{4}$ от большего.

Найдем длину меньшего отрезка, умножив длину большего на $\frac{3}{4}$:

Меньший отрезок $= 6 \text{ см} \times \frac{3}{4} = \frac{6 \times 3}{4} = \frac{18}{4} = 4,5$ см.

Таким образом, отрезки на второй стороне угла равны 6 см и 4,5 см. Искомый другой отрезок равен 4,5 см.

Ответ: 4,5 см.