Страница 42 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. На одной прямой на равном расстоянии друг от друга стоят три телеграфных столба. Первый и второй столбы находятся от дороги на расстояниях 15 м и 20 м (рис. 10.4). Найдите расстояние, на котором находится от дороги третий столб.

Обозначим вершины столбов как точки $A$, $B$ и $C$, а точки их оснований на дороге — как $A'$, $B'$ и $C'$ соответственно. Из условия задачи следует, что точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой. Также сказано, что столбы стоят на равном расстоянии друг от друга, это означает, что расстояния между их основаниями равны: $A'B' = B'C'$.

Расстояния от дороги до вершин столбов представляют собой длины перпендикуляров $AA'$, $BB'$ и $CC'$. По условию нам даны: $AA' = 15$ м; $BB' = 20$ м. Требуется найти длину $CC'$.

Рассмотрим фигуру $AA'C'C$. Так как столбы перпендикулярны дороге (и, следовательно, параллельны друг другу), то фигура $AA'C'C$ является прямоугольной трапецией, где $AA'$ и $CC'$ — параллельные основания.

Отрезок $BB'$ также перпендикулярен дороге и, следовательно, параллелен основаниям трапеции $AA'$ и $CC'$. Поскольку точка $B'$ является серединой отрезка $A'C'$ (потому что $A'B' = B'C'$), то отрезок $BB'$ является средней линией трапеции $AA'C'C$.

Известно, что длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Это свойство можно записать в виде формулы: $BB' = \frac{AA' + CC'}{2}$

Подставим известные значения в данную формулу, чтобы найти искомую длину $CC'$: $20 = \frac{15 + CC'}{2}$

Для решения этого уравнения умножим обе части на 2: $40 = 15 + CC'$

Теперь выразим $CC'$: $CC' = 40 - 15$ $CC' = 25$ м.

Таким образом, расстояние от дороги до третьего столба составляет 25 метров.

Ответ: 25 м.

11. Средняя линия трапеции равна 10 см. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2 см. Найдите основания трапеции.

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$. Средняя линия трапеции $m$ вычисляется по формуле:$m = \frac{a + b}{2}$

По условию задачи, средняя линия равна 10 см, следовательно:$10 = \frac{a + b}{2}$$a + b = 20$Это наше первое уравнение.

Диагональ трапеции делит ее на два треугольника. В каждом из этих треугольников часть средней линии трапеции является средней линией треугольника.

Пусть диагональ делит среднюю линию на два отрезка, $m_1$ и $m_2$. Эти отрезки являются средними линиями двух треугольников, на которые диагональ разбивает трапецию. Длина каждого такого отрезка равна половине основания соответствующего треугольника (а эти основания являются основаниями трапеции).

Таким образом, $m_1 = \frac{a}{2}$ и $m_2 = \frac{b}{2}$.

По условию, разность этих отрезков равна 2 см. Предположим, что $a$ – большее основание, тогда $m_1 > m_2$.$m_1 - m_2 = 2$$\frac{a}{2} - \frac{b}{2} = 2$$a - b = 4$Это наше второе уравнение.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:$\begin{cases}a + b = 20 \\a - b = 4\end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти $a$:$(a + b) + (a - b) = 20 + 4$$2a = 24$$a = 12$ см.

Подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:$12 + b = 20$$b = 20 - 12$$b = 8$ см.

Проверка: средняя линия равна $\frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см. Отрезки, на которые диагональ делит среднюю линию, равны $\frac{12}{2} = 6$ см и $\frac{8}{2} = 4$ см. Их разность равна $6 - 4 = 2$ см. Все условия задачи выполнены.

Ответ: основания трапеции равны 8 см и 12 см.

12. Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Найдите отрезки, на которые делит среднюю линию трапеции одна из ее диагоналей.

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$, где $a = 4$ см и $b = 10$ см. Пусть MN — средняя линия этой трапеции. Проведем одну из диагоналей, например, AC. Пусть точка K — точка пересечения диагонали AC и средней линии MN. Диагональ делит трапецию на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Средняя линия MN при этом делится на два отрезка: MK и KN.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Точка M является серединой боковой стороны AB. Так как средняя линия трапеции MN параллельна ее основаниям, то отрезок MK параллелен основанию BC. По теореме о средней линии треугольника (или по теореме Фалеса), если через середину одной стороны треугольника провести прямую, параллельную второй стороне, то она пересечет третью сторону в ее середине. Таким образом, отрезок MK является средней линией треугольника $\triangle ABC$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. Следовательно, длина отрезка MK равна половине длины основания BC:

$MK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Точка N является серединой стороны CD. Отрезок KN (как часть средней линии трапеции) параллелен основанию AD. По аналогии с предыдущим рассуждением, отрезок KN является средней линией треугольника $\triangle ADC$.

Его длина равна половине длины основания AD:

$KN = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Таким образом, диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки длиной 2 см и 5 см.

Ответ: 2 см и 5 см.

13. Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки, равные $a$ и $b$. Найдите основания трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Пусть $MN$ — ее средняя линия, где $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. По определению, средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, то есть $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

Проведем диагональ $AC$. Пусть она пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$. По условию задачи, отрезки, на которые точка $K$ делит среднюю линию, равны $a$ и $b$. Допустим, $MK = a$ и $KN = b$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$. Так как $MN \parallel BC$, то и отрезок $MK$ также параллелен $BC$. По теореме о средней линии треугольника, если отрезок, проведенный через середину одной стороны треугольника, параллелен другой его стороне, то этот отрезок является средней линией. Таким образом, $MK$ — это средняя линия треугольника $ABC$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины его основания. Для треугольника $ABC$ основанием является $BC$. Следовательно, $MK = \frac{1}{2} BC$. Подставив известную длину отрезка $MK$, получаем: $a = \frac{1}{2} BC$, откуда находим длину одного из оснований трапеции: $BC = 2a$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Поскольку $MK$ является средней линией треугольника $ABC$, точка $K$ — середина стороны $AC$. Точка $N$ — середина стороны $CD$ по определению средней линии трапеции. Значит, отрезок $KN$ соединяет середины двух сторон треугольника $ACD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ACD$ с основанием $AD$.

Длина средней линии $KN$ равна половине длины основания $AD$: $KN = \frac{1}{2} AD$. Подставив известную длину отрезка $KN$, получаем: $b = \frac{1}{2} AD$, откуда находим длину второго основания трапеции: $AD = 2b$.

Таким образом, мы нашли длины обоих оснований трапеции. Они равны $2a$ и $2b$.

Ответ: Основания трапеции равны $2a$ и $2b$.

14. Постройте трапецию, если заданы две ее вершины $A$, $C$ и средняя линия $EF$ (рис. 10.5).

а)

б)

Рис. 10.5

Для построения трапеции воспользуемся определением ее средней линии. Средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых сторон. Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания, а AB и CD — боковые стороны. Тогда средняя линия EF соединяет середины сторон AB и CD, то есть точка E — середина AB, а точка F — середина CD.

Из того, что E — середина отрезка AB, следует, что точка B симметрична точке A относительно точки E. Аналогично, так как F — середина отрезка CD, точка D симметрична точке C относительно точки F.

Таким образом, алгоритм построения недостающих вершин B и D следующий:

1. Строим точку B, симметричную точке A относительно точки E. Это можно сделать, проведя луч AE и отложив на нем от точки E отрезок EB, равный по длине отрезку AE, так что E окажется между A и B. Векторно это выражается как $\vec{OB} = \vec{OA} + 2\vec{AE}$, где O — произвольная точка (начало координат).
2. Строим точку D, симметричную точке C относительно точки F. Это можно сделать, проведя луч CF и отложив на нем от точки F отрезок FD, равный по длине отрезку CF, так что F окажется между C и D. Векторно это выражается как $\vec{OD} = \vec{OC} + 2\vec{CF}$.
3. Соединяем вершины A, B, C, D, получая искомую трапецию.

Применим этот метод к задачам на рисунках.

а)

Введем систему координат, приняв за начало координат левый нижний угол сетки. Тогда точки имеют следующие координаты: $A(1, 1)$, $C(4, 4)$, $E(2, 3)$, $F(5, 3)$.

1. Найдем координаты точки B. Точка B симметрична A относительно E. Для нахождения ее координат можно использовать векторное правило: от точки E отложим вектор, равный вектору $\vec{AE}$.
Вектор $\vec{AE}$ имеет координаты $(E_x - A_x, E_y - A_y) = (2-1, 3-1) = (1, 2)$.
Координаты точки B будут $(E_x + (E_x - A_x), E_y + (E_y - A_y)) = (2+1, 3+2) = (3, 5)$. Итак, $B(3, 5)$.

2. Найдем координаты точки D. Точка D симметрична C относительно F. От точки F отложим вектор, равный вектору $\vec{CF}$.
Вектор $\vec{CF}$ имеет координаты $(F_x - C_x, F_y - C_y) = (5-4, 3-4) = (1, -1)$.
Координаты точки D будут $(F_x + (F_x - C_x), F_y + (F_y - C_y)) = (5+1, 3-1) = (6, 2)$. Итак, $D(6, 2)$.

3. Соединяем точки A(1,1), B(3,5), C(4,4) и D(6,2), чтобы получить трапецию ABCD.

Ответ: Вершина B находится в точке с координатами (3, 5). Вершина D находится в точке с координатами (6, 2). Соединив точки A, B, C, D, получаем искомую трапецию.

б)

Введем систему координат аналогично предыдущему пункту. Координаты заданных точек: $A(1, 1)$, $C(2, 5)$, $E(1, 2)$, $F(3, 6)$.

1. Найдем координаты точки B, симметричной A относительно E.
Вектор $\vec{AE}$ имеет координаты $(E_x - A_x, E_y - A_y) = (1-1, 2-1) = (0, 1)$.
Координаты точки B: $(E_x + (E_x - A_x), E_y + (E_y - A_y)) = (1+0, 2+1) = (1, 3)$. Итак, $B(1, 3)$.

2. Найдем координаты точки D, симметричной C относительно F.
Вектор $\vec{CF}$ имеет координаты $(F_x - C_x, F_y - C_y) = (3-2, 6-5) = (1, 1)$.
Координаты точки D: $(F_x + (F_x - C_x), F_y + (F_y - C_y)) = (3+1, 6+1) = (4, 7)$. Итак, $D(4, 7)$.

3. Соединяем точки A(1,1), B(1,3), C(2,5) и D(4,7). В полученной трапеции ABCD стороны AD и BC являются основаниями, так как вектор $\vec{BC} = (1, 2)$ и вектор $\vec{AD} = (3, 6)$ коллинеарны ($\vec{AD}=3\vec{BC}$).

Ответ: Вершина B находится в точке с координатами (1, 3). Вершина D находится в точке с координатами (4, 7). Соединив точки A, B, C, D, получаем искомую трапецию.

15. В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ разделена на четыре равные части и через полученные точки деления проведены прямые, параллельные стороне $AC$, равной 18. Найдите отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника (рис. 10.6).

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AC = 18$. Сторона $BC$ разделена на четыре равные части точками $M_1, M_2, M_3$, если считать от вершины $B$ к $C$. То есть, $BM_1 = M_1M_2 = M_2M_3 = M_3C$. Через эти точки проведены прямые, параллельные стороне $AC$, которые пересекают сторону $AB$ в точках $N_1, N_2, N_3$ соответственно. Требуется найти длины отрезков $N_1M_1, N_2M_2, N_3M_3$.

Для решения этой задачи мы будем использовать теорему о подобных треугольниках. Прямые, параллельные одной из сторон треугольника, отсекают от него треугольники, подобные исходному.

Пусть длина каждого из четырех равных отрезков на стороне $BC$ равна $x$. Тогда $BM_1 = x$, $BM_2 = 2x$, $BM_3 = 3x$ и вся сторона $BC = 4x$.

1. Нахождение длины отрезка $N_1M_1$

Рассмотрим треугольник $N_1BM_1$. Он подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle N_1BM_1 \sim \triangle ABC$), так как:

• $\angle B$ — общий для обоих треугольников.
• $\angle BN_1M_1 = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $N_1M_1$ и $AC$ и секущей $AB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{N_1M_1}{AC} = \frac{BM_1}{BC}$

Подставим известные значения: $AC = 18$, $BM_1 = x$, $BC = 4x$.

$\frac{N_1M_1}{18} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$

Отсюда находим длину отрезка $N_1M_1$:

$N_1M_1 = 18 \cdot \frac{1}{4} = 4.5$

Ответ: 4.5

2. Нахождение длины отрезка $N_2M_2$

Рассмотрим треугольник $N_2BM_2$. Он также подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle N_2BM_2 \sim \triangle ABC$) по тем же причинам.

Запишем соотношение для их сторон:

$\frac{N_2M_2}{AC} = \frac{BM_2}{BC}$

Подставим известные значения: $AC = 18$, $BM_2 = 2x$, $BC = 4x$.

$\frac{N_2M_2}{18} = \frac{2x}{4x} = \frac{1}{2}$

Отсюда находим длину отрезка $N_2M_2$:

$N_2M_2 = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$

Ответ: 9

3. Нахождение длины отрезка $N_3M_3$

Рассмотрим треугольник $N_3BM_3$. Он подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle N_3BM_3 \sim \triangle ABC$).

Соотношение для их сторон:

$\frac{N_3M_3}{AC} = \frac{BM_3}{BC}$

Подставим известные значения: $AC = 18$, $BM_3 = 3x$, $BC = 4x$.

$\frac{N_3M_3}{18} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$

Отсюда находим длину отрезка $N_3M_3$:

$N_3M_3 = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = 13.5$

Ответ: 13.5

Итого, длины отрезков, начиная от ближайшего к вершине B, составляют 4.5, 9 и 13.5.