Страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Используя рисунок 11.12, докажите, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Рис. 11.12

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $CD$ — биссектриса угла $C$. Требуется доказать, что $\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}$.

Используем дополнительное построение, показанное на рисунке: проведём через точку $B$ прямую, параллельную $CD$. Пусть она пересекает продолжение стороны $AC$ в точке $E$. По построению, $CD \parallel BE$.

Так как $CD \parallel BE$, то при секущей $AE$ соответственные углы равны: $\angle ACD = \angle CEB$.

Также, при секущей $BC$ накрест лежащие углы равны: $\angle BCD = \angle CBE$.

Поскольку $CD$ — биссектриса, то по определению $\angle ACD = \angle BCD$.

Из этих трех равенств следует, что $\angle CEB = \angle CBE$. Следовательно, треугольник $CBE$ — равнобедренный с основанием $BE$, и его боковые стороны равны: $BC = CE$.

Теперь применим к треугольнику $ABE$ теорему о пропорциональных отрезках (обобщённую теорему Фалеса). Так как прямая $CD$ параллельна стороне $BE$ и пересекает стороны $AB$ и $AE$, то она делит их в одинаковом отношении: $\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CE}$.

Заменяя в этой пропорции $CE$ на равный ему отрезок $BC$ (из предыдущего шага), получаем искомое соотношение: $\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Это выражается формулой $\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}$.

16. В треугольнике $ABC$ $CD$ — биссектриса, $AB = 5$, $AC = 4$, $BC = 6$ (рис. 11.13). Найдите длины отрезков $AD$ и $BD$.

Рис. 11.13

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Это свойство гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

В треугольнике $ABC$ биссектриса $CD$ делит сторону $AB$ на отрезки $AD$ и $BD$. Согласно свойству, их отношение равно отношению сторон $AC$ и $BC$:

$ \frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC} $

Подставим известные значения длин сторон из условия задачи: $AC = 4$ и $BC = 6$.

$ \frac{AD}{BD} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $

Из условия также известно, что длина всей стороны $AB = 5$. Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $AB$, то $AD + BD = AB = 5$.

Обозначим длину отрезка $AD$ через $x$. Тогда длина отрезка $BD$ будет равна $5 - x$.

Теперь подставим эти выражения в полученную ранее пропорцию:

$ \frac{x}{5-x} = \frac{2}{3} $

Решим это уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ 3 \cdot x = 2 \cdot (5 - x) $

$ 3x = 10 - 2x $

Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть уравнения:

$ 3x + 2x = 10 $

$ 5x = 10 $

$ x = \frac{10}{5} = 2 $

Таким образом, мы нашли длину отрезка $AD$: $AD = x = 2$.

Теперь найдем длину отрезка $BD$:

$ BD = 5 - x = 5 - 2 = 3 $

Ответ: $AD = 2$, $BD = 3$.

17. Великий ученый Фалес Милетский основал одну из прекраснейших наук – геометрию (www.math.ru, www.mccme.ru).

Синтаксический разбор предложения

Предложение для анализа: «Великий ученый Фалес Милетский основал одну из прекраснейших наук – геометрию».

Это предложение является повествовательным, невосклицательным, простым, двусоставным, распространенным и полным. Оно осложнено обособленным приложением «геометрию», которое поясняет одно из слов в основной части.

Разбор по членам предложения:

• Грамматическая основа:ученый Фалес Милетский основал.

- Подлежащее:ученый Фалес Милетский. Выражено неделимым словосочетанием, состоящим из имени существительного в роли приложения и имени собственного.

- Сказуемое:основал. Простое глагольное сказуемое, выраженное глаголом в форме прошедшего времени, мужского рода, единственного числа.

• Второстепенные члены предложения:

- Определение:Великий. Согласованное определение, относится к подлежащему (ученый Фалес Милетский), выражено именем прилагательным.

- Дополнение:одну из наук. Прямое дополнение, зависит от сказуемого основал (основал что?). Выражено количественно-именным словосочетанием (числительное «одну» + существительное «наук» в родительном падеже с предлогом «из»).

- Определение:прекраснейших. Согласованное определение, относится к слову наук и выражено прилагательным в превосходной степени.

- Приложение:геометрию. Обособленное приложение, которое относится к дополнению одну из наук и конкретизирует его. Выражено именем существительным в винительном падеже.

Ответ: Предложение простое, распространенное, с грамматической основой «ученый Фалес Милетский основал», осложнено обособленным приложением «геометрию», которое поясняет дополнение.

Пунктуационный разбор предложения

В предложении «Великий ученый Фалес Милетский основал одну из прекраснейших наук – геометрию (www.math.ru, www.mccme.ru).» расставлены следующие знаки препинания:

• Тире (–): ставится для обособления приложения «геометрию», которое стоит в конце предложения и носит пояснительный характер. Тире в данном случае интонационно и логически подчеркивает уточняющую информацию.

• Скобки (): используются для выделения вставной конструкции, которая содержит дополнительную, справочную информацию (адреса веб-сайтов). Эта конструкция грамматически не связана с основным предложением.

• Запятая (,): ставится внутри скобок для разделения однородных элементов — перечисляемых адресов сайтов.

• Точка (.): ставится в конце предложения, так как оно является законченным повествовательным высказыванием.

Ответ: Тире в предложении обособляет приложение, скобки выделяют вставную конструкцию со справочной информацией, запятая разделяет однородные элементы внутри скобок, а точка завершает предложение.

Историческая справка

Фалес Милетский (около 624 – 546 гг. до н. э.) — древнегреческий философ и математик, которого традиционно считают одним из первых ученых в истории. Утверждение, что он «основал геометрию», отражает его ключевую роль в трансформации этой науки.

Геометрические знания существовали и до Фалеса (например, в Древнем Египте и Вавилоне), но они были набором практических правил для землемерия, строительства и астрономических расчетов, полученных опытным путем. Главная заслуга Фалеса заключается в том, что он первым начал применять дедуктивный метод — он ввел понятие доказательства и стал выводить геометрические факты логическим путем из набора базовых аксиом и определений. Именно это превратило геометрию из прикладной дисциплины в строгую теоретическую науку.

Фалесу приписывают доказательство нескольких основополагающих теорем, в том числе:

• Теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника.

• Теорему о равенстве вертикальных углов.

• Теорему о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым.

• Теорему о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса).

Таким образом, Фалес заложил фундамент геометрии как логической системы, какой мы ее знаем сегодня.

Ответ: Фалес Милетский считается основателем геометрии, поскольку он первым ввел в нее метод логического доказательства, тем самым превратив её из набора эмпирических правил в строгую теоретическую науку.

18. Изобразите какой-нибудь треугольник. Проведите его медианы.

Для решения этой задачи необходимо сначала дать определение медианы треугольника, а затем пошагово описать и продемонстрировать её построение.

Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. У любого треугольника есть ровно три медианы.

Процесс построения медиан можно разбить на следующие шаги:

Шаг 1. Изобразите произвольный треугольник.
Начнем с построения любого треугольника. Обозначим его вершины буквами $A$, $B$ и $C$. Треугольник может быть остроугольным, прямоугольным или тупоугольным — это не имеет значения, так как медианы строятся одинаково для всех типов треугольников.

Шаг 2. Найдите середины каждой из сторон.
Для каждой стороны треугольника необходимо найти её середину. Это можно сделать с помощью линейки, измерив длину стороны и разделив её пополам.
• Найдём середину стороны $BC$ и обозначим её точкой $M_a$.
• Найдём середину стороны $AC$ и обозначим её точкой $M_b$.
• Найдём середину стороны $AB$ и обозначим её точкой $M_c$.

Шаг 3. Проведите медианы.
Теперь соедините каждую вершину с серединой противоположной стороны отрезком.
• Соедините вершину $A$ с точкой $M_a$. Отрезок $AM_a$ — первая медиана.
• Соедините вершину $B$ с точкой $M_b$. Отрезок $BM_b$ — вторая медиана.
• Соедините вершину $C$ с точкой $M_c$. Отрезок $CM_c$ — третья медиана.

Важным свойством медиан является то, что все три медианы любого треугольника всегда пересекаются в одной точке. Эта точка называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Ниже представлен наглядный пример треугольника с проведенными в нем медианами.

На рисунке показан треугольник $ABC$. Медиана $AM_a$ (красная) проведена из вершины $A$ к середине $M_a$ стороны $BC$. Медиана $BM_b$ (зеленая) — из $B$ к $M_b$. Медиана $CM_c$ (синяя) — из $C$ к $M_c$. Все они пересекаются в одной точке (фиолетовая), которая является центроидом.

Ответ: Выше представлено пошаговое описание с определением и графическое изображение треугольника с проведенными в нем тремя медианами.

19. Изобразите какой-нибудь:

а) остроугольный;

б) тупоугольный треугольник. Проведите его высоты.

а) Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого все три угла являются острыми (то есть их градусная мера меньше $90^\circ$). Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону (или на её продолжение).
В остроугольном треугольнике все три высоты располагаются внутри самого треугольника.
Изобразим остроугольный треугольник $ABC$ и его высоты $AH_a$, $BH_b$ и $CH_c$.
- $AH_a$ – высота из вершины $A$ на сторону $BC$.
- $BH_b$ – высота из вершины $B$ на сторону $AC$.
- $CH_c$ – высота из вершины $C$ на сторону $AB$.
Все три высоты пересекаются в одной точке $O$, которая называется ортоцентром треугольника. В остроугольном треугольнике ортоцентр всегда находится внутри.

Ответ: На рисунке показан остроугольный треугольник и его три высоты, которые пересекаются в одной точке (ортоцентре) внутри треугольника.

б) Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов тупой (его градусная мера больше $90^\circ$).
Построение высот в тупоугольном треугольнике имеет свои особенности. Только одна высота, проведенная из вершины тупого угла, будет находиться внутри треугольника. Две другие высоты, проведенные из вершин острых углов, будут лежать вне треугольника, и для их построения необходимо продлевать стороны.
Изобразим тупоугольный треугольник $ABC$, где угол $\angle B$ – тупой.
- Высота $BH_b$, проведенная из вершины тупого угла $B$ к стороне $AC$, находится внутри треугольника.
- Для проведения высоты $AH_a$ из вершины $A$, необходимо продлить сторону $BC$ за вершину $B$. Высота $AH_a$ опускается на это продолжение.
- Аналогично, для проведения высоты $CH_c$ из вершины $C$, необходимо продлить сторону $AB$ за вершину $B$. Высота $CH_c$ опускается на это продолжение.
Прямые, на которых лежат все три высоты, пересекаются в одной точке $O$ (ортоцентре), которая в тупоугольном треугольнике всегда находится вне его.

Ответ: На рисунке показан тупоугольный треугольник. Одна его высота лежит внутри, а две другие — снаружи, на продолжениях сторон. Прямые, содержащие все три высоты, пересекаются в ортоцентре, расположенном вне треугольника.