Страница 54 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В прямоугольнике один из углов между диагоналями равен $120^{\circ}$. Найдите отношение между его меньшей стороной и диагональю и углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника:

A. $1 : 2$; $60^{\circ}$, $120^{\circ}$.

B. $2 : 3$; $30^{\circ}$, $60^{\circ}$.

C. $1 : 3$; $30^{\circ}$, $30^{\circ}$.

D. $1 : 2$; $30^{\circ}$, $60^{\circ}$.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По свойству диагоналей прямоугольника, они равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = BO = CO = DO$. Это означает, что треугольники, образованные при пересечении диагоналей, являются равнобедренными.

По условию, один из углов между диагоналями равен $120°$. Диагонали образуют две пары вертикальных углов: одну пару тупых углов и одну пару острых. Пусть тупой угол $\angle AOD = 120°$. Смежный с ним угол будет острым: $\angle AOB = 180° - 120° = 60°$.

Найдем углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOB$ (так как $AO = BO$). Угол при вершине $\angle AOB = 60°$. Углы при основании равны и вычисляются как $(180° - 60°) / 2 = 60°$. Таким образом, $\angle OAB = \angle OBA = 60°$.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOD$ (так как $AO = DO$). Угол при вершине $\angle AOD = 120°$. Углы при основании равны и вычисляются как $(180° - 120°) / 2 = 30°$. Таким образом, $\angle OAD = \angle ODA = 30°$.

Следовательно, диагонали образуют со сторонами прямоугольника углы $30°$ и $60°$.

Найдем отношение между его меньшей стороной и диагональю.

В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. В нашем случае тупой угол между диагоналями ($\angle AOD = 120°$) лежит напротив большей стороны прямоугольника ($AD$), а острый угол ($\angle AOB = 60°$) — напротив меньшей стороны ($AB$). Значит, $AB$ — меньшая сторона.

Пусть длина диагонали равна $d$, то есть $BD = d$. Так как диагонали делятся пополам, то $AO = BO = d/2$.

Ранее мы установили, что треугольник $\triangle AOB$ имеет все углы по $60°$, а значит, он равносторонний. Отсюда следует, что его стороны равны: $AB = AO = BO = d/2$.

Таким образом, длина меньшей стороны прямоугольника равна половине длины диагонали.

Найдем искомое отношение: $\frac{\text{меньшая сторона}}{\text{диагональ}} = \frac{AB}{BD} = \frac{d/2}{d} = \frac{1}{2}$.

Это отношение можно записать как $1:2$.

Сопоставляя полученные результаты (отношение $1:2$ и углы $30°$, $60°$) с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ находится под буквой D.

Ответ: D. 1:2; 30°, 60°.

8. Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника, равной 13 см, проведены прямые, параллельные его катетам. Определите вид образовавшегося четырехугольника и найдите его диагональ:

А. Параллелограмм; 13 см.

В. Прямоугольник; 13 см.

С. Квадрат; 6,5 см.

D. Прямоугольник; 6,5 см.

Определение вида образовавшегося четырехугольника

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Его катеты — это стороны $AC$ и $BC$, а гипотенуза — $AB$. По условию, длина гипотенузы $AB = 13$ см.

Обозначим середину гипотенузы $AB$ как точку $M$. Через точку $M$ проведем прямую, параллельную катету $AC$, которая пересечет катет $BC$ в точке $N$. Также через точку $M$ проведем прямую, параллельную катету $BC$, которая пересечет катет $AC$ в точке $K$. В результате образуется четырехугольник $CKMN$.

Рассмотрим свойства этого четырехугольника:

1. По построению, сторона $MN$ параллельна стороне $AC$ (и, следовательно, отрезку $KC$).

2. По построению, сторона $MK$ параллельна стороне $BC$ (и, следовательно, отрезку $CN$).

Поскольку у четырехугольника $CKMN$ противоположные стороны попарно параллельны, по определению он является параллелограммом.

Далее, так как исходный треугольник $ABC$ прямоугольный, его катеты $AC$ и $BC$ перпендикулярны, то есть $\angle C = 90^\circ$. Поскольку $MN \parallel AC$ и $AC \perp BC$, то и прямая $MN$ перпендикулярна прямой $BC$. Следовательно, угол $\angle KCN = 90^\circ$ (это угол исходного треугольника), а также, например, $\angle MNC = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, четырехугольник $CKMN$ — это прямоугольник.

Ответ: Прямоугольник.

Нахождение диагонали четырехугольника

Диагоналями образовавшегося прямоугольника $CKMN$ являются отрезки $CM$ и $KN$. В прямоугольнике диагонали равны по длине, поэтому нам достаточно найти длину одной из них, например, диагонали $CM$.

Отрезок $CM$ соединяет вершину прямого угла $C$ исходного треугольника $ABC$ с точкой $M$, которая является серединой гипотенузы $AB$. Таким образом, отрезок $CM$ является медианой, проведенной к гипотенузе.

Существует свойство прямоугольного треугольника, согласно которому медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.

Длина гипотенузы $AB$ нам известна из условия задачи: $AB = 13$ см.

Следовательно, длина медианы $CM$ (которая также является диагональю прямоугольника $CKMN$) равна:

$CM = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6,5$ см.

Ответ: 6,5 см.

9. Высоты, проведенные из вершины ромба, образуют угол $100^\circ$. Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами:

A. $80^\circ$, $100^\circ$.

B. $50^\circ$, $130^\circ$.

C. $40^\circ$, $50^\circ$.

D. $25^\circ$, $65^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся свойством высот ромба, проведенных из одной вершины. Угол между такими высотами равен одному из углов ромба. В частности:
- Угол между высотами, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу ромба.
- Угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

По условию, угол между высотами равен $100^\circ$. Так как этот угол является тупым ($100^\circ > 90^\circ$), он может быть равен только тупому углу ромба. Следовательно, тупой угол ромба составляет $100^\circ$.

Сумма смежных углов в ромбе равна $180^\circ$. Найдем острый угол ромба:
$180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Таким образом, углы ромба равны $80^\circ$ и $100^\circ$.

Теперь найдем углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то есть делят каждый угол при вершине пополам.
- Диагональ, проведенная между острыми углами, делит тупые углы ($100^\circ$) на два угла по: $100^\circ / 2 = 50^\circ$.
- Диагональ, проведенная между тупыми углами, делит острые углы ($80^\circ$) на два угла по: $80^\circ / 2 = 40^\circ$.

Следовательно, углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, равны $40^\circ$ и $50^\circ$.
Среди предложенных вариантов правильным является вариант C.
Ответ: 40°, 50°.

10. В ромбе последовательно соединены середины сторон. Определите вид получившегося четырехугольника:

A. Параллелограмм.

B. Прямоугольник.

C. Ромб.

D. Квадрат.

Пусть дан ромб $ABCD$ со стороной $a$. Пусть $M, N, P, Q$ — середины сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Необходимо определить вид получившегося четырехугольника $MNPQ$.

1. Рассмотрим стороны нового четырехугольника.

В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ является средней линией, так как он соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По свойству средней линии, $MN$ параллелен диагонали $AC$ и равен ее половине: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $QP$ является средней линией. Следовательно, $QP \parallel AC$ и $QP = \frac{1}{2}AC$.

Из этого следует, что $MN \parallel QP$ и $MN = QP$. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, $MNPQ$ — параллелограмм.

Теперь рассмотрим другую пару сторон. В треугольнике $ABD$ отрезок $MQ$ является средней линией. Следовательно, $MQ \parallel BD$ и $MQ = \frac{1}{2}BD$.

2. Рассмотрим углы нового четырехугольника.

Важным свойством ромба является то, что его диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Мы выяснили, что стороны получившегося параллелограмма $MNPQ$ параллельны диагоналям исходного ромба $ABCD$: $MN \parallel AC$ и $MQ \parallel BD$.

Поскольку $AC \perp BD$, то и параллельные им прямые $MN$ и $MQ$ также будут перпендикулярны. Это означает, что угол между смежными сторонами параллелограмма $MNPQ$ прямой: $\angle QMN = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

3. Проверим, является ли он квадратом.

Для того чтобы прямоугольник $MNPQ$ был квадратом, его смежные стороны должны быть равны: $MN = MQ$. Так как $MN = \frac{1}{2}AC$ и $MQ = \frac{1}{2}BD$, условие равенства сторон сводится к равенству диагоналей ромба: $AC = BD$. Диагонали ромба равны только в частном случае, когда ромб является квадратом. В общем случае диагонали ромба не равны. Следовательно, в общем случае $MN \neq MQ$, и четырехугольник $MNPQ$ не является квадратом.

Таким образом, фигура, полученная соединением середин сторон ромба, является прямоугольником.

Ответ: В. Прямоугольник.

11. Дан квадрат, сторона которого равна $1 \text{ см}$, его диагональ служит стороной другого квадрата. Найдите диагональ второго квадрата:

A. $0,5 \text{ см}$.

B. $1 \text{ см}$.

C. $2 \text{ см}$.

D. $4 \text{ см}$.

Обозначим сторону первого квадрата как $a_1$. По условию задачи, $a_1 = 1$ см.

Диагональ квадрата ($d$) связана с его стороной ($a$) соотношением, которое следует из теоремы Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Отсюда формула для диагонали: $d = a\sqrt{2}$.

Найдем диагональ первого квадрата, $d_1$:
$d_1 = a_1\sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ см.

Согласно условию, диагональ первого квадрата служит стороной второго квадрата. Обозначим сторону второго квадрата как $a_2$.
Следовательно, $a_2 = d_1 = \sqrt{2}$ см.

Теперь найдем диагональ второго квадрата, $d_2$, используя ту же формулу:
$d_2 = a_2\sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ см.

Таким образом, диагональ второго квадрата равна 2 см, что соответствует варианту C.

Ответ: 2 см.

12. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат таким образом, что они имеют один общий угол, а противолежащая ему вершина принадлежит гипотенузе данного треугольника. Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен 12 см:

А. 12 см.

В. 16 см.

С. 24 см.

D. 48 см.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. По условию, катеты треугольника равны $AC = BC = 12$ см. В треугольник вписан квадрат $CDFE$ таким образом, что его прямой угол совпадает с прямым углом треугольника (вершина $C$), две его вершины $D$ и $F$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно, а четвертая вершина $E$ лежит на гипотенузе $AB$.

Обозначим сторону квадрата через $x$. Тогда $CD = CF = DE = EF = x$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным прямоугольным, его углы при гипотенузе равны по $45^\circ$, то есть $\angle CAB = \angle CBA = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ADE$, который образуется в верхней части исходного треугольника. Так как $CDFE$ — это квадрат, его сторона $DE$ перпендикулярна стороне $CD$. Сторона квадрата $CD$ лежит на катете $AC$ треугольника. Следовательно, сторона $DE$ перпендикулярна катету $AC$. Это означает, что угол $\angle ADE$ прямой, т.е. $\angle ADE = 90^\circ$.

Теперь мы знаем два угла в треугольнике $ADE$: $\angle DAE = \angle CAB = 45^\circ$ и $\angle ADE = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle AED$ можно найти так: $\angle AED = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $ADE$ два угла равны ($\angle DAE = \angle AED = 45^\circ$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой: $AD = DE$.

Мы знаем, что $DE$ — это сторона квадрата, поэтому $DE = x$. Следовательно, $AD = x$.

Катет $AC$ исходного треугольника состоит из двух отрезков: $AD$ и $DC$. Таким образом, $AC = AD + DC$.

Подставим известные значения в это равенство: $AC = 12$ см, $AD = x$ и $DC = x$ (так как $DC$ — сторона квадрата).

Получаем уравнение: $12 = x + x$.

$12 = 2x$

Отсюда находим сторону квадрата: $x = \frac{12}{2} = 6$ см.

Задача требует найти периметр квадрата. Периметр $P$ квадрата со стороной $x$ вычисляется по формуле $P = 4x$.

$P = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Ответ: 24 см.

13. Стороны треугольника относятся как 3 : 4 : 5. Его периметр равен 72 см. Найдите стороны треугольника, вершины которого находятся в серединах сторон данного треугольника:

A. 3 см, 4 см, 5 см.

B. 18 см, 24 см, 30 см.

C. 12 см, 24 см, 30 см.

D. 9 см, 12 см, 15 см.

1. Найдем стороны исходного треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Согласно условию, их отношение равно $3:4:5$. Это можно записать как: $a = 3x$, $b = 4x$, $c = 5x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P = a + b + c = 3x + 4x + 5x = 12x$.

По условию задачи, периметр равен 72 см. Составим и решим уравнение: $12x = 72$ $x = 72 / 12$ $x = 6$

Теперь найдем длины сторон исходного треугольника, подставив значение $x$: $a = 3 \cdot 6 = 18$ см $b = 4 \cdot 6 = 24$ см $c = 5 \cdot 6 = 30$ см

2. Найдем стороны нового треугольника.

Вершины нового треугольника находятся в серединах сторон данного треугольника. Такой треугольник называется срединным, а его стороны являются средними линиями исходного треугольника.

По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, стороны нового треугольника будут в два раза меньше сторон исходного треугольника: $a' = a / 2 = 18 / 2 = 9$ см $b' = b / 2 = 24 / 2 = 12$ см $c' = c / 2 = 30 / 2 = 15$ см

Таким образом, стороны искомого треугольника равны 9 см, 12 см и 15 см.

Сравнивая полученный результат с вариантами ответов, видим, что он соответствует варианту D.

Ответ: D. 9 см, 12 см, 15 см.

14. Диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, острый угол, лежащий против этой диагонали, равен $40^\circ$. Найдите остальные углы трапеции, если меньшее основание равно другой боковой стороне:

A. $40^\circ$, $140^\circ$, $40^\circ$.

B. $100^\circ$, $80^\circ$, $90^\circ$.

C. $80^\circ$, $100^\circ$, $140^\circ$.

D. $50^\circ$, $100^\circ$, $40^\circ$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$.

Согласно условиям задачи:

1. Диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне. Примем, что диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$. Это означает, что $\angle ACD = 90^\circ$.

2. Острый угол, лежащий против этой диагонали, равен $40^\circ$. В треугольнике $ACD$ углом, лежащим напротив стороны $AC$, является угол $D$. Следовательно, $\angle ADC = 40^\circ$.

3. Меньшее основание равно другой боковой стороне. Меньшее основание это $BC$, а другая боковая сторона — $AB$. Таким образом, $AB = BC$.

Начнем решение с рассмотрения треугольника $ACD$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а нам известны два угла ($\angle ADC = 40^\circ$ и $\angle ACD = 90^\circ$), мы можем найти третий угол $\angle CAD$:

$\angle CAD = 180^\circ - \angle ADC - \angle ACD = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ$.

В трапеции основания параллельны ($AD \parallel BC$), а диагональ $AC$ является секущей. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, поэтому:

$\angle BCA = \angle CAD = 50^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. По условию $AB = BC$, значит, он равнобедренный с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$\angle BAC = \angle BCA = 50^\circ$.

Зная два угла в треугольнике $ABC$, найдем третий угол, который является углом $B$ трапеции:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Теперь мы можем определить все четыре угла трапеции:

• Угол $A$ состоит из двух углов: $\angle DAB = \angle CAD + \angle BAC = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ$.

• Угол $B$ мы уже нашли: $\angle ABC = 80^\circ$.

• Угол $C$ состоит из двух углов: $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 50^\circ + 90^\circ = 140^\circ$.

• Угол $D$ был дан в условии: $\angle ADC = 40^\circ$.

Итак, углы трапеции равны $100^\circ, 80^\circ, 140^\circ, 40^\circ$. В задаче требовалось найти остальные углы, помимо данного угла в $40^\circ$. Это углы $80^\circ, 100^\circ, 140^\circ$.

Ответ: $80^\circ, 100^\circ, 140^\circ$.