Страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какие точки относятся к числу замечательных точек треугольника?

2. Как называется точка пересечения медиан треугольника?

3. Всегда ли высоты треугольника пересекаются?

4. Как называется точка пересечения высот или их продолжений?

1. Какие точки относятся к числу замечательных точек треугольника?

К числу классических замечательных точек треугольника относят четыре точки, каждая из которых обладает уникальными геометрическими свойствами и является точкой пересечения определённых линий, построенных в треугольнике:

• Точка пересечения медиан — называется центроидом или центром тяжести. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• Точка пересечения биссектрис — называется инцентром. Это центр окружности, вписанной в треугольник.

• Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам — это центр окружности, описанной около треугольника.

• Точка пересечения высот (или их продолжений) — называется ортоцентром. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону.

Ответ: Точка пересечения медиан (центроид), точка пересечения биссектрис (инцентр), точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности) и точка пересечения высот (ортоцентр).

2. Как называется точка пересечения медиан треугольника?

Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или центром тяжести. В любом треугольнике все три медианы пересекаются в одной точке. Эта точка обладает важным свойством: она делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Например, для медианы $AM_a$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$, точка пересечения медиан $M$ делит ее так, что $AM:MM_a = 2:1$.

Ответ: Центроид или центр тяжести.

3. Всегда ли высоты треугольника пересекаются?

Нет, не всегда, если рассматривать высоты как отрезки. Пересечение высот в одной точке зависит от типа треугольника:

• В остроугольном треугольнике все три высоты являются отрезками внутри треугольника и пересекаются в одной точке (ортоцентре), которая также находится внутри.

• В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с его катетами, а третья проведена к гипотенузе. Они все пересекаются в одной точке — вершине прямого угла.

• В тупоугольном треугольнике только одна высота лежит внутри треугольника. Две другие высоты опускаются на продолжения сторон и лежат вне треугольника. Следовательно, сами отрезки-высоты не пересекаются в одной точке.

Однако прямые, содержащие высоты треугольника, всегда пересекаются в одной точке — ортоцентре. В случае тупоугольного треугольника эта точка лежит вне его.

Ответ: Нет, высоты как отрезки пересекаются в одной точке только для остроугольных и прямоугольных треугольников.

4. Как называется точка пересечения высот или их продолжений?

Точка, в которой пересекаются прямые, содержащие высоты треугольника, называется ортоцентром. Расположение ортоцентра напрямую зависит от вида треугольника:

• В остроугольном треугольнике ортоцентр находится внутри треугольника.

• В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.

• В тупоугольном треугольнике ортоцентр находится вне треугольника.

Ответ: Ортоцентр.

1. Может ли точка пересечения биссектрис треугольника находиться вне этого треугольника?

1. Нет, точка пересечения биссектрис треугольника не может находиться вне этого треугольника. Давайте разберемся почему.

Биссектрисой угла треугольника называется отрезок, который делит этот угол пополам и соединяет вершину угла с точкой на противолежащей стороне. Важно, что этот отрезок, за исключением своих концов (вершины и точки на стороне), полностью лежит внутри треугольника.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем биссектрису $AL$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Все точки отрезка $AL$, кроме $A$ и $L$, находятся строго внутри треугольника.

Теперь проведем вторую биссектрису, например, $BM$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Аналогично, все точки отрезка $BM$, кроме $B$ и $M$, находятся строго внутри треугольника.

Две биссектрисы $AL$ и $BM$ обязательно пересекутся в некоторой точке $I$. Поскольку точка $I$ принадлежит биссектрисе $AL$, она должна находиться внутри треугольника. Поскольку точка $I$ также принадлежит биссектрисе $BM$, она также должна находиться внутри треугольника. Таким образом, точка пересечения двух биссектрис всегда лежит внутри треугольника.

В геометрии доказывается, что и третья биссектриса (из вершины $C$) также пройдет через эту же точку $I$. Эта точка называется центром вписанной окружности треугольника, или инцентром.

Так как точка пересечения принадлежит всем трем биссектрисам, каждая из которых (как отрезок) находится внутри треугольника, то и сама точка пересечения не может оказаться за его пределами.

Ответ: Нет, не может. Точка пересечения биссектрис (инцентр) всегда находится внутри треугольника.

2. Может ли точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника находиться вне этого треугольника?

Да, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника может находиться вне этого треугольника. Эта точка является центром описанной около треугольника окружности, то есть точкой, равноудаленной от всех трех его вершин. Положение этой точки относительно треугольника напрямую зависит от его углов.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Остроугольный треугольник. Если все углы треугольника острые (то есть меньше $90^\circ$), то центр описанной окружности всегда находится внутри треугольника.

2. Прямоугольный треугольник. Если один из углов треугольника прямой (равен $90^\circ$), то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, то есть на границе (на стороне) треугольника.

3. Тупоугольный треугольник. Если один из углов треугольника тупой (больше $90^\circ$), то центр описанной окружности всегда находится вне треугольника.

Чтобы доказать это для тупоугольного треугольника, рассмотрим треугольник $ABC$, в котором угол $C$ — тупой ($\angle C > 90^\circ$). Пусть $O$ — точка пересечения серединных перпендикуляров, то есть центр описанной окружности. По определению, $OA = OB = OC = R$, где $R$ — радиус этой окружности.

Рассмотрим центральный угол $\angle AOB$ и вписанный угол $\angle ACB$. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу $AB$. Существует теорема о том, что величина центрального угла вдвое больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Однако эта формулировка ($\angle AOB = 2\angle ACB$) верна только тогда, когда центр окружности $O$ и вершина вписанного угла $C$ лежат по одну сторону от хорды $AB$, что соответствует случаю остроугольного треугольника.

Если предположить, что в нашем тупоугольном треугольнике точка $O$ лежит внутри, то мы придем к противоречию: так как $\angle C > 90^\circ$, то $2\angle C > 180^\circ$. Угол $\angle AOB$ в треугольнике $AOB$ не может быть больше $180^\circ$. Следовательно, наше предположение неверно.

Для тупоугольного треугольника центр описанной окружности $O$ и вершина тупого угла $C$ лежат по разные стороны от противолежащей стороны $AB$. Это и означает, что точка $O$ находится вне треугольника $ABC$.

Ответ: Да, может. Это происходит в том случае, если треугольник является тупоугольным.

3. Где расположена точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам прямоугольного треугольника?

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам любого треугольника является центром описанной около него окружности. Этот центр равноудален от всех трех вершин треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$. Стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а $AB$ — гипотенузой. Точка пересечения серединных перпендикуляров, будучи центром описанной окружности, должна быть равноудалена от вершин $A$, $B$ и $C$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Пусть $M$ — середина гипотенузы $AB$. Тогда медиана $CM$ равна $AM$ и $BM$, так как $AM$ и $BM$ также равны половине гипотенузы $AB$.

Получаем равенство: $CM = AM = BM$.

Это означает, что точка $M$ (середина гипотенузы) равноудалена от всех трех вершин треугольника. Следовательно, именно эта точка и является центром описанной окружности, а значит, и точкой пересечения серединных перпендикуляров.

Ответ: Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам прямоугольного треугольника расположена на середине его гипотенузы.