Страница 53 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Может ли одна биссектриса треугольника проходить через середину другой?

Предположим, что такое возможно. Пусть в невырожденном треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$ одна биссектриса, например, биссектриса $AL$ угла $A$, проходит через середину $M$ другой биссектрисы, например, биссектрисы $BK$ угла $B$. Точка $K$ лежит на стороне $AC$, а точка $L$ — на стороне $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. В этом треугольнике отрезок $AM$ является медианой, проведенной к стороне $BK$, так как по нашему предположению точка $M$ — середина отрезка $BK$.

Также по предположению, прямая $AM$ является биссектрисой угла $A$ треугольника $ABC$, а значит, и биссектрисой угла $BAK$ в треугольнике $ABK$.

Таким образом, в треугольнике $ABK$ медиана $AM$ и биссектриса из той же вершины $A$ совпадают. Согласно свойству треугольника, это возможно только в том случае, если треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $BK$. Следовательно, стороны, прилежащие к углу $A$, равны: $AB = AK$.

Теперь найдем длину отрезка $AK$. Так как $BK$ — биссектриса угла $B$ в треугольнике $ABC$, то по свойству биссектрисы она делит противолежащую сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a}$

При этом $AK + KC = AC = b$. Из пропорции можно выразить $KC = AK \cdot \frac{a}{c}$. Подставим это выражение в сумму длин отрезков:

$AK + AK \cdot \frac{a}{c} = b$

$AK \left(1 + \frac{a}{c}\right) = b$

$AK \left(\frac{c+a}{c}\right) = b$

Отсюда находим $AK = \frac{bc}{a+c}$.

Теперь используем полученное ранее условие равнобедренности треугольника $ABK$: $AB = AK$. Подставляя известные значения ($AB=c$), получаем равенство:

$c = \frac{bc}{a+c}$

Поскольку $c$ — длина стороны треугольника, $c > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $c$:

$1 = \frac{b}{a+c}$

Из этого следует, что $a+c = b$.

Данное равенство противоречит неравенству треугольника, которое утверждает, что для любого невырожденного треугольника сумма длин двух сторон всегда строго больше длины третьей стороны ($a+c > b$). Равенство $a+c=b$ может выполняться только для вырожденного треугольника, у которого все три вершины лежат на одной прямой.

Мы пришли к противоречию, следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Нет, в невырожденном треугольнике одна биссектриса не может проходить через середину другой.

13. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Дано:

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. $CM$ — медиана, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Это означает, что точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$, то есть $AM = MB$.

Доказать:

$CM = \frac{1}{2} AB$.

Доказательство:

Рассмотрим один из способов доказательства, основанный на достроении треугольника до прямоугольника.

1. Достроим треугольник $\triangle ABC$ до четырехугольника $ADBC$. Для этого через вершину $A$ проведем прямую, параллельную катету $BC$, а через вершину $B$ — прямую, параллельную катету $AC$. Точку пересечения этих прямых обозначим $D$.

2. Полученная фигура $ADBC$ является параллелограммом по определению, так как ее противоположные стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $BD \parallel AC$).

3. Поскольку в параллелограмме $ADBC$ есть прямой угол ($\angle ACB = 90^\circ$ по условию), то этот параллелограмм является прямоугольником.

4. Отрезки $AB$ и $CD$ — диагонали прямоугольника $ADBC$. Согласно свойству прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

5. По условию, $CM$ — медиана, проведенная к стороне $AB$, значит, точка $M$ — середина $AB$. Так как диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, точка $M$ также является точкой пересечения диагоналей $AB$ и $CD$ и их общей серединой.

6. Из того, что $M$ — середина диагонали $CD$, следует, что $CM = \frac{1}{2} CD$.

7. Из того, что диагонали прямоугольника равны, следует, что $AB = CD$.

8. Заменяя в равенстве из пункта 6 длину $CD$ на равную ей длину $AB$, получаем: $CM = \frac{1}{2} AB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Утверждение доказано: медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

14. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Укажите положение центра описанной окружности и найдите ее радиус.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство окружности, описанной около прямоугольного треугольника.

Положение центра описанной окружности
Существует теорема, согласно которой центр окружности, описанной около любого прямоугольного треугольника, всегда находится в середине его гипотенузы. Это связано с тем, что вписанный угол, равный $90^\circ$, опирается на диаметр окружности. Таким образом, гипотенуза данного прямоугольного треугольника является диаметром его описанной окружности, а центр этой окружности, соответственно, лежит на середине гипотенузы.

Нахождение радиуса описанной окружности
Радиус описанной окружности ($R$) равен половине ее диаметра. Так как гипотенуза ($c$) является диаметром, радиус можно найти по формуле:
$R = \frac{c}{2}$
По условию задачи, длина гипотенузы $c = 10$. Подставим это значение в формулу:
$R = \frac{10}{2} = 5$

Ответ: Центр описанной окружности находится на середине гипотенузы, а ее радиус равен 5.

15. Изобразите острый угол с вершиной А. На одной его стороне отметьте точки $B_1, B_2$. Опустите из них перпендикуляры $B_1C_1, B_2C_2$ на другую сторону угла. Измерьте стороны получившихся треугольников $AB_1C_1$ и $AB_2C_2$. Найдите отношения

$\frac{B_1C_1}{AB_1}$ и $\frac{B_2C_2}{AB_2}$; $\frac{AC_1}{AB_1}$ и $\frac{AC_2}{AB_2}$; $\frac{B_1C_1}{AC_1}$ и $\frac{B_2C_2}{AC_2}$.

Что можно сказать об этих отношениях?

Для решения задачи выполним следующие построения. Изобразим острый угол с вершиной в точке $A$. На одной его стороне выберем две произвольные точки $B_1$ и $B_2$. Из этих точек опустим перпендикуляры $B_1C_1$ и $B_2C_2$ на другую сторону угла.

В результате мы получили два прямоугольных треугольника: $\triangle AB_1C_1$ (с прямым углом $\angle C_1$) и $\triangle AB_2C_2$ (с прямым углом $\angle C_2$). Эти треугольники имеют общий острый угол $\angle A$.

Поскольку треугольники $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle AB_2C_2$ имеют по два равных угла (общий угол $\angle A$ и прямые углы $\angle AC_1B_1 = \angle AC_2B_2 = 90^\circ$), они подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны: $ \frac{AB_1}{AB_2} = \frac{AC_1}{AC_2} = \frac{B_1C_1}{B_2C_2} $

Теперь найдем и сравним заданные отношения, используя свойство пропорции.

$\frac{B_1C_1}{AB_1}$ и $\frac{B_2C_2}{AB_2}$
Рассмотрим часть пропорции $ \frac{AB_1}{AB_2} = \frac{B_1C_1}{B_2C_2} $. По свойству пропорции (поменяв местами средние члены), получаем $ \frac{B_1C_1}{AB_1} = \frac{B_2C_2}{AB_2} $. Это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, которое называется синусом угла $A$ и обозначается как $ \sin A $.
Ответ: Данные отношения равны, так как оба они равны синусу угла $A$.

$\frac{AC_1}{AB_1}$ и $\frac{AC_2}{AB_2}$
Рассмотрим часть пропорции $ \frac{AB_1}{AB_2} = \frac{AC_1}{AC_2} $. Поменяв местами средние члены, получаем $ \frac{AC_1}{AB_1} = \frac{AC_2}{AB_2} $. Это отношение прилежащего катета к гипотенузе, которое называется косинусом угла $A$ и обозначается как $ \cos A $.
Ответ: Данные отношения равны, так как оба они равны косинусу угла $A$.

$\frac{B_1C_1}{AC_1}$ и $\frac{B_2C_2}{AC_2}$
Рассмотрим часть пропорции $ \frac{AC_1}{AC_2} = \frac{B_1C_1}{B_2C_2} $. Поменяв местами средние члены, получаем $ \frac{B_1C_1}{AC_1} = \frac{B_2C_2}{AC_2} $. Это отношение противолежащего катета к прилежащему катету, которое называется тангенсом угла $A$ и обозначается как $ \text{tg} A $.
Ответ: Данные отношения равны, так как оба они равны тангенсу угла $A$.

Что можно сказать об этих отношениях?
Можно сделать вывод, что все три пары отношений состоят из равных между собой величин. Значение каждого такого отношения ($ \frac{B_1C_1}{AB_1} $, $ \frac{AC_1}{AB_1} $, $ \frac{B_1C_1}{AC_1} $) не зависит от выбора точки на стороне угла (т.е. от размеров конкретного прямоугольного треугольника), а определяется исключительно величиной острого угла $A$. Эти отношения являются определениями основных тригонометрических функций острого угла: синуса, косинуса и тангенса.
Ответ: В каждой паре отношения равны между собой, так как они представляют собой тригонометрические функции (синус, косинус и тангенс) общего для обоих треугольников угла $A$ и их значение зависит только от величины этого угла.

1. Найдите углы четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5:

A. $10^\circ, 20^\circ, 40^\circ, 50^\circ$.

B. $20^\circ, 160^\circ, 30^\circ, 150^\circ$.

C. $30^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 150^\circ$.

D. $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 90^\circ$.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.

Согласно условию, углы четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 4 и 5. Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда величины углов можно записать как $1x$, $2x$, $4x$ и $5x$.

Составим уравнение, зная, что сумма всех углов равна $360^\circ$:
$1x + 2x + 4x + 5x = 360^\circ$

Упростим левую часть уравнения, сложив коэффициенты при $x$:
$(1 + 2 + 4 + 5)x = 360^\circ$
$12x = 360^\circ$

Теперь найдем значение $x$:
$x = \frac{360^\circ}{12}$
$x = 30^\circ$

Зная коэффициент пропорциональности, вычислим каждый угол:

Первый угол: $1 \cdot x = 1 \cdot 30^\circ = 30^\circ$
Второй угол: $2 \cdot x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$
Третий угол: $4 \cdot x = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$
Четвертый угол: $5 \cdot x = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$

Таким образом, углы четырехугольника равны $30^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$ и $150^\circ$. Этот набор значений соответствует варианту ответа C.

Ответ: C. 30°, 60°, 120°, 150°.

2. Найдите сумму внешних углов четырехугольника (по одному при каждой вершине):

A. $90^\circ$.

B. $180^\circ$.

C. $270^\circ$.

D. $360^\circ$.

2. Чтобы найти сумму внешних углов четырехугольника, взятых по одному при каждой вершине, можно использовать два основных свойства многоугольников: формулу суммы внутренних углов и соотношение между внутренним и внешним углом при одной вершине.

Сумма внутренних углов любого выпуклого $n$-угольника вычисляется по формуле: $S_{внутр.} = (n-2) \times 180^\circ$. Для четырехугольника число сторон $n=4$. Следовательно, сумма его внутренних углов равна:
$S_{внутр.} = (4-2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ$.

Внешний угол при каждой вершине является смежным с внутренним углом. Это означает, что их сумма равна $180^\circ$. Пусть внутренние углы четырехугольника равны $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$, а соответствующие им внешние углы — $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$. Тогда для каждой вершины справедливо:
$\alpha_1 + \beta_1 = 180^\circ$
$\alpha_2 + \beta_2 = 180^\circ$
$\alpha_3 + \beta_3 = 180^\circ$
$\alpha_4 + \beta_4 = 180^\circ$

Если сложить эти четыре равенства, мы получим сумму всех внутренних и всех внешних углов:
$(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4) + (\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4) = 4 \times 180^\circ = 720^\circ$.

Мы уже знаем, что сумма внутренних углов $(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4)$ равна $360^\circ$. Подставим это значение в полученное уравнение:
$360^\circ + (\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4) = 720^\circ$.

Теперь найдем искомую сумму внешних углов:
$\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4 = 720^\circ - 360^\circ = 360^\circ$.

Таким образом, сумма внешних углов четырехугольника равна $360^\circ$. Стоит отметить, что сумма внешних углов (по одному при каждой вершине) любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$.

Сравнивая результат с вариантами, заключаем, что верный ответ — D.
Ответ: D. 360°.

3. Сумма двух углов четырехугольника, прилежащих к одной стороне, равна $90^\circ$. Найдите угол между биссектрисами этих углов:

A. $30^\circ$.

B. $45^\circ$.

C. $90^\circ$.

D. $135^\circ$.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — это два угла четырехугольника, прилежащие к одной стороне. Согласно условию задачи, их сумма составляет $90^\circ$.

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Проведем биссектрисы этих углов. Биссектрисы пересекаются и вместе со стороной, к которой прилежат исходные углы, образуют треугольник.

Два угла этого нового треугольника будут равны половинам углов $\alpha$ и $\beta$, так как биссектриса делит угол пополам. Эти углы равны $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$.

Третий угол этого треугольника, обозначим его $\gamma$, и есть искомый угол между биссектрисами. Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, мы можем записать следующее равенство:

$\gamma + \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 180^\circ$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки, чтобы сгруппировать углы $\alpha$ и $\beta$:

$\gamma + \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ$

Теперь подставим в это уравнение известное из условия значение суммы $\alpha + \beta = 90^\circ$:

$\gamma + \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ$

$\gamma + 45^\circ = 180^\circ$

Наконец, найдем искомый угол $\gamma$:

$\gamma = 180^\circ - 45^\circ$

$\gamma = 135^\circ$

Таким образом, угол, образованный пересечением биссектрис, равен $135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$

4. Три параллельные прямые пересечены тремя параллельными прямыми. Сколько при этом образовалось параллелограммов:

А. $4$ B. $6$ C. $8$ D. $9$?

Для образования параллелограмма необходимо выбрать две различные параллельные прямые из первого набора и две различные параллельные прямые из второго набора. Условие задачи предоставляет нам два набора параллельных прямых, в каждом из которых по три прямые.

Эта задача является комбинаторной. Нам нужно вычислить, сколькими способами можно выбрать 2 прямые из 3 в первом наборе, и сколькими способами можно выбрать 2 прямые из 3 во втором наборе. Общее число параллелограммов будет произведением этих двух чисел.

Число способов выбрать $k$ элементов из набора в $n$ элементов (без учета порядка) называется числом сочетаний и рассчитывается по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Сначала вычислим количество способов выбрать 2 прямые из первого набора, состоящего из 3 параллельных прямых ($n=3$, $k=2$):

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$

Затем вычислим количество способов выбрать 2 прямые из второго набора, который также состоит из 3 параллельных прямых ($n=3$, $k=2$):

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$

Чтобы найти общее количество параллелограммов, нужно перемножить полученные результаты:

Общее количество = (Число сочетаний для первого набора) $\times$ (Число сочетаний для второго набора) = $3 \times 3 = 9$.

Также можно визуализировать задачу. Три параллельные прямые, пересекающие три другие параллельные прямые, образуют сетку из 4-х самых маленьких параллелограммов. Подсчитаем все возможные параллелограммы: 4 маленьких (размера 1x1), 2 горизонтальных (размера 1x2), 2 вертикальных (размера 2x1) и 1 большой (размера 2x2). В сумме: $4 + 2 + 2 + 1 = 9$ параллелограммов.

Ответ: 9

5. Сколько различных параллелограммов можно получить из двух равных разносторонних треугольников, прикладывая их друг к другу различными способами:

A. 2. B. 3. C. 4. D. 6?

Пусть дан разносторонний треугольник. Обозначим длины его сторон как $a$, $b$ и $c$. Поскольку треугольник разносторонний, все его стороны имеют разную длину: $a \neq b \neq c$.

Чтобы составить параллелограмм из двух равных (конгруэнтных) треугольников, их необходимо приложить друг к другу по одной из равных сторон. Эта общая сторона становится одной из диагоналей полученного параллелограмма, а две другие стороны каждого треугольника становятся смежными сторонами параллелограмма.

Поскольку у разностороннего треугольника три стороны разной длины, существует ровно три различных способа соединить два таких треугольника, чтобы получить параллелограмм. Рассмотрим каждый из них.

Первый способ

Соединяем треугольники по стороне длиной $a$. В результате получаем параллелограмм, сторонами которого являются две другие стороны треугольника — $b$ и $c$.

Второй способ

Соединяем треугольники по стороне длиной $b$. В результате получаем параллелограмм со сторонами $a$ и $c$.

Третий способ

Соединяем треугольники по стороне длиной $c$. В результате получаем параллелограмм со сторонами $a$ и $b$.

Теперь сравним полученные параллелограммы. Два параллелограмма считаются различными, если у них разные наборы длин сторон. Мы получили три параллелограмма со следующими наборами длин сторон: $\{b, c\}$, $\{a, c\}$ и $\{a, b\}$.

Так как по условию $a$, $b$ и $c$ — это различные длины, то и все три набора длин сторон различны. Следовательно, мы получаем три различных, не конгруэнтных друг другу параллелограмма.

Ответ: 3

6. Высота, проведенная из вершины тупого угла параллелограмма, делит этот угол в отношении $1:2$. Найдите углы параллелограмма:

A. $30^\circ, 150^\circ$.

B. $60^\circ, 120^\circ$.

C. $45^\circ, 135^\circ$.

D. $45^\circ, 90^\circ$.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — смежные углы параллелограмма, где $\alpha$ — острый угол, а $\beta$ — тупой. По свойству параллелограмма, сумма его углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать соотношение:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Проведем высоту из вершины тупого угла $\beta$ на прилежащую сторону. Эта высота образует прямоугольный треугольник. Один из острых углов этого треугольника — это угол $\alpha$ параллелограмма, а другой — это часть тупого угла $\beta$. Обозначим эту часть как $\beta_1$. Поскольку сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, мы получаем второе соотношение:

$\alpha + \beta_1 = 90^\circ$

По условию задачи, высота делит тупой угол $\beta$ в отношении $1:2$. Это означает, что угол $\beta$ состоит из двух частей, которые мы можем обозначить как $x$ и $2x$. Следовательно, полный тупой угол равен $\beta = x + 2x = 3x$. Часть угла $\beta_1$, которая является углом в прямоугольном треугольнике, может быть равна либо $x$, либо $2x$. Рассмотрим оба варианта.

Вариант 1: Меньшая часть тупого угла является частью прямоугольного треугольника, то есть $\beta_1 = x$.
Из второго уравнения $\alpha = 90^\circ - \beta_1 = 90^\circ - x$.
Подставим выражения для $\alpha$ и $\beta$ в первое уравнение:
$(90^\circ - x) + 3x = 180^\circ$
$90^\circ + 2x = 180^\circ$
$2x = 90^\circ$
$x = 45^\circ$.
Теперь мы можем найти углы параллелограмма:
Острый угол $\alpha = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Тупой угол $\beta = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.
Эта пара углов ($45^\circ, 135^\circ$) является корректным решением.

Вариант 2: Большая часть тупого угла является частью прямоугольного треугольника, то есть $\beta_1 = 2x$.
Из второго уравнения $\alpha = 90^\circ - \beta_1 = 90^\circ - 2x$.
Подставим выражения для $\alpha$ и $\beta$ в первое уравнение:
$(90^\circ - 2x) + 3x = 180^\circ$
$90^\circ + x = 180^\circ$
$x = 90^\circ$.
В этом случае тупой угол $\beta = 3x = 3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$. Угол в параллелограмме не может быть равен $270^\circ$, поэтому этот вариант не подходит.

Таким образом, единственно возможные значения углов параллелограмма — это $45^\circ$ и $135^\circ$.

Ответ: C. $45^\circ, 135^\circ$.