Страница 60 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В каких пределах могут изменяться:

а) тангенс;

б) котангенс острого угла?

а) тангенс

Острый угол $\alpha$ — это угол, который удовлетворяет неравенству $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. Поскольку длины катетов являются положительными величинами, их отношение также всегда будет положительным. Следовательно, тангенс острого угла всегда больше нуля: $\tan(\alpha) > 0$.

Чтобы определить точные пределы, рассмотрим поведение тангенса на границах этого интервала. Используем определение тангенса через синус и косинус: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

Когда угол $\alpha$ стремится к $0^\circ$ (оставаясь положительным), значение $\sin(\alpha)$ стремится к $0$, а $\cos(\alpha)$ стремится к $1$. В этом пределе значение тангенса стремится к $\frac{0}{1} = 0$.

Когда угол $\alpha$ стремится к $90^\circ$ (оставаясь меньше $90^\circ$), значение $\sin(\alpha)$ стремится к $1$, а $\cos(\alpha)$ стремится к $0$ (оставаясь положительным). В этом пределе значение тангенса неограниченно возрастает и стремится к $+\infty$.

Поскольку функция тангенса непрерывна и монотонно возрастает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, она принимает все возможные значения между $0$ и $+\infty$. Таким образом, тангенс острого угла может быть любым положительным числом.

Ответ: тангенс острого угла может изменяться в пределах от $0$ до $+\infty$, не включая эти значения. Математически это записывается как $\tan(\alpha) \in (0, +\infty)$.

б) котангенс

Для острого угла $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), котангенс в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего. Это отношение всегда положительно, так как длины сторон — положительные числа. Следовательно, котангенс острого угла всегда больше нуля: $\cot(\alpha) > 0$.

Рассмотрим поведение котангенса, используя его определение через косинус и синус: $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Когда угол $\alpha$ стремится к $0^\circ$ (оставаясь положительным), значение $\cos(\alpha)$ стремится к $1$, а $\sin(\alpha)$ стремится к $0$ (оставаясь положительным). В этом пределе значение котангенса неограниченно возрастает и стремится к $+\infty$.

Когда угол $\alpha$ стремится к $90^\circ$ (оставаясь меньше $90^\circ$), значение $\cos(\alpha)$ стремится к $0$, а $\sin(\alpha)$ стремится к $1$. В этом пределе значение котангенса стремится к $\frac{0}{1} = 0$.

Поскольку функция котангенса непрерывна и монотонно убывает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$, она принимает все возможные значения между $+\infty$ и $0$. Таким образом, котангенс острого угла, так же как и тангенс, может быть любым положительным числом.

Ответ: котангенс острого угла может изменяться в пределах от $0$ до $+\infty$, не включая эти значения. Математически это записывается как $\cot(\alpha) \in (0, +\infty)$.

10. Для каких углов синус равен косинусу?

Чтобы найти углы, для которых синус равен косинусу, нам необходимо решить тригонометрическое уравнение:

$\sin(x) = \cos(x)$

Для решения этого уравнения мы можем преобразовать его, разделив обе части на $\cos(x)$. Прежде чем это сделать, нужно убедиться, что $\cos(x) \neq 0$.

Предположим, что $\cos(x) = 0$. Это возможно для углов $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число. Для этих же углов значение $\sin(x)$ равно либо 1 (если $n$ четное), либо -1 (если $n$ нечетное). В любом случае, $\sin(x) \neq 0$. Таким образом, равенство $\sin(x) = \cos(x)$ не может выполняться, когда $\cos(x) = 0$, так как это привело бы к неверному утверждению $1 = 0$ или $-1 = 0$. Следовательно, мы можем безопасно разделить обе части уравнения на $\cos(x)$:

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 1$

Используя определение тангенса $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, получаем более простое уравнение:

$\tan(x) = 1$

Теперь найдем все углы $x$, для которых тангенс равен 1. Известно, что в первой четверти тангенс равен 1 для угла $\frac{\pi}{4}$ радиан (или 45°).

Функция тангенса является периодической с периодом $\pi$ (или 180°). Это означает, что значения тангенса повторяются через каждый интервал в $\pi$ радиан. Поэтому, чтобы найти все решения, мы должны добавить к частному решению $\frac{\pi}{4}$ все целые кратные периода $\pi$.

Общее решение уравнения $\tan(x) = 1$ имеет вид:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Эти углы соответствуют точкам на единичной окружности, лежащим на биссектрисе первого и третьего координатных углов (прямая $y=x$). В градусах это решение можно записать как $x = 45^\circ + 180^\circ \cdot k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: Синус равен косинусу для углов $x$, которые можно выразить общей формулой $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ (в радианах) или $x = 45^\circ + 180^\circ \cdot k$ (в градусах), где $k$ — любое целое число.

11. Для каких острых углов:

а) $\sin(\alpha) < \cos(\alpha)$;

б) $\sin(\alpha) > \cos(\alpha)$?

Для решения этой задачи рассмотрим поведение тригонометрических функций синуса и косинуса для острых углов. Острый угол $\alpha$ находится в диапазоне $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. В этом интервале и синус, и косинус принимают положительные значения.

Ключевой точкой для сравнения является угол, при котором значения синуса и косинуса равны. Найдем этот угол, решив уравнение:

$\sin(\alpha) = \cos(\alpha)$

Поскольку для острых углов $\cos(\alpha) \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos(\alpha)$:

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 1$

Используя определение тангенса $\text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, получаем:

$\text{tg}(\alpha) = 1$

Единственным острым углом, для которого это верно, является $\alpha = 45^\circ$.

Теперь мы можем проанализировать поведение функций на двух подинтервалах: $(0^\circ, 45^\circ)$ и $(45^\circ, 90^\circ)$. На всем интервале $(0^\circ, 90^\circ)$ функция $\sin(\alpha)$ монотонно возрастает (от 0 до 1), а функция $\cos(\alpha)$ монотонно убывает (от 1 до 0).

а) синус меньше косинуса

Мы ищем острые углы $\alpha$, для которых выполняется неравенство $\sin(\alpha) < \cos(\alpha)$.

Рассмотрим интервал $0^\circ < \alpha < 45^\circ$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $\alpha = 30^\circ$. Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, а $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$, следовательно, $\cos(30^\circ) > \sin(30^\circ)$.

Поскольку на интервале $(0^\circ, 45^\circ)$ функция $\sin(\alpha)$ возрастает, а $\cos(\alpha)$ убывает, и в конечной точке интервала ($\alpha = 45^\circ$) их значения становятся равными, то на всем этом интервале синус будет меньше косинуса.

Ответ: синус меньше косинуса для острых углов $\alpha$, удовлетворяющих неравенству $0^\circ < \alpha < 45^\circ$.

б) синус больше косинуса

Мы ищем острые углы $\alpha$, для которых выполняется неравенство $\sin(\alpha) > \cos(\alpha)$.

Рассмотрим интервал $45^\circ < \alpha < 90^\circ$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $\alpha = 60^\circ$. Мы знаем, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Очевидно, что $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$, следовательно, $\sin(60^\circ) > \cos(60^\circ)$.

После точки равенства $\alpha = 45^\circ$ функция $\sin(\alpha)$ продолжает возрастать, а $\cos(\alpha)$ продолжает убывать. Это означает, что для любого угла в интервале $(45^\circ, 90^\circ)$ значение синуса будет больше значения косинуса.

Ответ: синус больше косинуса для острых углов $\alpha$, удовлетворяющих неравенству $45^\circ < \alpha < 90^\circ$.

12. Существует ли угол, для которого синус равен тангенсу?

Да, такой угол существует. Чтобы это доказать, составим и решим соответствующее тригонометрическое уравнение.

Пусть искомый угол будет $\alpha$. Согласно условию задачи, его синус должен быть равен его тангенсу:

$\sin(\alpha) = \tan(\alpha)$

Вспомним определение тангенса: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$. Это равенство справедливо для всех углов, у которых косинус не равен нулю, то есть $\cos(\alpha) \neq 0$. Углы, для которых $\cos(\alpha) = 0$, имеют вид $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n$ (или $90^\circ + 180^\circ n$), где $n$ – любое целое число. Для этих углов тангенс не определен.

Подставим определение тангенса в исходное уравнение:

$\sin(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\sin(\alpha) - \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 0$

Вынесем общий множитель $\sin(\alpha)$ за скобки:

$\sin(\alpha) \left(1 - \frac{1}{\cos(\alpha)}\right) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два возможных случая.

1. Первый множитель равен нулю: $\sin(\alpha) = 0$.
Это уравнение имеет решения $\alpha = \pi k$ (или $180^\circ k$), где $k$ – любое целое число. Для этих углов косинус равен $\cos(\pi k) = (-1)^k$, то есть он равен либо $1$, либо $-1$. В любом случае он не равен нулю, значит, тангенс для этих углов существует. Если $\sin(\alpha) = 0$, то $\tan(\alpha) = \frac{0}{\cos(\alpha)} = 0$. Таким образом, равенство $0=0$ выполняется, и все углы вида $\pi k$ являются решениями.

2. Второй множитель равен нулю: $1 - \frac{1}{\cos(\alpha)} = 0$.
Это уравнение можно преобразовать к виду $\frac{1}{\cos(\alpha)} = 1$, откуда следует, что $\cos(\alpha) = 1$. Решениями этого уравнения являются углы $\alpha = 2\pi k$ (или $360^\circ k$), где $k$ – любое целое число. Заметим, что эти углы являются подмножеством решений из первого случая (когда $k$ – четное число). Для этих углов $\sin(\alpha) = 0$, и мы снова получаем верное равенство $0=0$.

Таким образом, мы доказали, что существует бесконечное множество углов, для которых синус равен тангенсу. Например, для угла $0^\circ$: $\sin(0^\circ) = 0$ и $\tan(0^\circ) = 0$. Или для угла $180^\circ$: $\sin(180^\circ) = 0$ и $\tan(180^\circ) = 0$.

Ответ: Да, существует. Этому условию удовлетворяет любой угол вида $\alpha = \pi k$ (или $180^\circ \cdot k$), где $k$ – любое целое число.

13. Для каких углов тангенс равен котангенсу?

Чтобы найти углы, для которых тангенс равен котангенсу, необходимо решить тригонометрическое уравнение:

$tg(x) = ctg(x)$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Функция $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$ определена, когда $cos(x) \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Функция $ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$ определена, когда $sin(x) \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Таким образом, уравнение имеет смысл при $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого числа $k$.

Решить данное уравнение можно несколькими способами.

Способ 1: через тангенс

Воспользуемся тождеством $ctg(x) = \frac{1}{tg(x)}$. Подставим его в исходное уравнение:

$tg(x) = \frac{1}{tg(x)}$

Домножим обе части уравнения на $tg(x)$. Это корректное преобразование, так как в области допустимых значений $tg(x) \neq 0$ (иначе $ctg(x)$ не был бы определен).

$tg^2(x) = 1$

Это уравнение распадается на два простейших:

1. $tg(x) = 1$. Решением является серия углов $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $tg(x) = -1$. Решением является серия углов $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ (что то же самое, что и $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$.

Эти два семейства решений можно объединить в одно. Если отметить эти точки на тригонометрической окружности, они будут соответствовать серединам каждой из четырех координатных четвертей. Угловое расстояние между соседними точками составляет $\frac{\pi}{2}$. Таким образом, общее решение можно записать одной формулой: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Способ 2: через синус и косинус

Запишем тангенс и котангенс через их определения:

$\frac{sin(x)}{cos(x)} = \frac{cos(x)}{sin(x)}$

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$sin^2(x) = cos^2(x)$

Перенесем все в одну сторону: $cos^2(x) - sin^2(x) = 0$.

Выражение слева является формулой косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$.

Получаем уравнение:

$cos(2x) = 0$

Решением этого уравнения является $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив обе части на 2, находим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. В градусной мере это соответствует углам $45^\circ + 90^\circ \cdot n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

14. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) основание равно 6, боковые стороны равны 5. Найдите косинус угла $A$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. По условию, боковые стороны $AC = BC = 5$, а основание $AB = 6$.

Для нахождения косинуса угла $A$ проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это означает, что точка $H$ делит основание $AB$ пополам.

Найдем длину отрезка $AH$:

$AH = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$, где $\angle AHC = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известны:

- гипотенуза $AC = 5$ (боковая сторона исходного треугольника);

- катет $AH = 3$ (половина основания).

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $A$ в треугольнике $AHC$ прилежащим катетом является $AH$, а гипотенузой — $AC$.

Следовательно, можем записать:

$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AC}$

Подставим известные значения в формулу:

$\cos(\angle A) = \frac{3}{5} = 0.6$

Ответ: $0.6$

15. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) боковые стороны равны 6, высота, опущенная на основание, равна 4. Найдите синус угла $A$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AC = BC = 6$. Основанием является сторона $AB$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AB$. По условию задачи, длина этой высоты $CH = 4$.

Высота, опущенная на основание в равнобедренном треугольнике, перпендикулярна основанию. Следовательно, треугольник $ACH$ является прямоугольным, где угол $CHA$ — прямой ($90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $ACH$ нам известны следующие элементы:

1. Гипотенуза $AC$, которая является боковой стороной исходного треугольника, равна 6.

2. Катет $CH$, который является высотой, равен 4.

Нам необходимо найти синус угла $A$. Угол $A$ (или, что то же самое, угол $CAH$) — это один из острых углов прямоугольного треугольника $ACH$.

По определению, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

Для угла $A$ в треугольнике $ACH$ противолежащим катетом является высота $CH$, а гипотенузой — сторона $AC$.

Таким образом, мы можем записать формулу для синуса угла $A$:

$ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{AC} $

Теперь подставим известные нам значения в эту формулу:

$ \sin A = \frac{4}{6} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$ \sin A = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $.

16. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) основание равно 10, высота, опущенная на основание, равна 8. Найдите тангенс угла $A$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AC = BC$, а основание $AB = 10$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AB$. По условию, длина высоты $CH = 8$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Это означает, что высота $CH$ делит основание $AB$ на два равных отрезка, то есть $H$ — середина $AB$.

Найдем длину отрезка $AH$:
$AH = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Высота $CH$ перпендикулярна основанию $AB$, следовательно, треугольник $AHC$ является прямоугольным с прямым углом $H$.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. Для угла $A$ в прямоугольном треугольнике $AHC$:
- противолежащий катет — это высота $CH$;
- прилежащий катет — это отрезок $AH$.

Таким образом, формула для нахождения тангенса угла $A$:
$\tg A = \frac{CH}{AH}$

Подставим известные нам значения в эту формулу:
$\tg A = \frac{8}{5} = 1,6$.

Ответ: 1,6

17. Найдите тангенс и котангенс угла: а) А; б) В, изображенного на рисунке 13.7.

а)

б)

Рис. 13.7

а) Для того чтобы найти тангенс и котангенс угла A, рассмотрим прямоугольный треугольник, который можно построить на сетке. Угол A является одним из острых углов этого треугольника. Одна из сторон угла A горизонтальна. Мы можем выбрать на другой (наклонной) стороне угла точку, которая находится на пересечении линий сетки, и опустить из нее перпендикуляр на горизонтальную сторону. В результате мы получим прямоугольный треугольник. Длина катета, противолежащего углу A, равна 3 единицам (клеткам), а длина катета, прилежащего к углу A, равна 4 единицам. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. $ \tan(A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{3}{4} $. Котангенс — это обратная величина к тангенсу, то есть отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего. $ \cot(A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{4}{3} $.
Ответ: $ \tan(A) = \frac{3}{4} $, $ \cot(A) = \frac{4}{3} $.

б) Угол B образован двумя лучами, и его нельзя напрямую вписать в прямоугольный треугольник, стороны которого параллельны линиям сетки. Однако мы можем представить угол B как разность двух углов. Проведем из вершины B горизонтальный луч вправо. Пусть $ \alpha_1 $ — угол между этим горизонтальным лучом и верхней стороной угла B, а $ \alpha_2 $ — угол между горизонтальным лучом и нижней стороной угла B. Тогда искомый угол $ B = \alpha_1 - \alpha_2 $. Теперь найдем тангенсы углов $ \alpha_1 $ и $ \alpha_2 $, используя прямоугольные треугольники, построенные на сетке. Для угла $ \alpha_1 $: противолежащий катет равен 4 клеткам, прилежащий катет — 1 клетке. $ \tan(\alpha_1) = \frac{4}{1} = 4 $. Для угла $ \alpha_2 $: противолежащий катет равен 2 клеткам, прилежащий катет — 4 клеткам. $ \tan(\alpha_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $. Воспользуемся формулой тангенса разности углов: $ \tan(B) = \tan(\alpha_1 - \alpha_2) = \frac{\tan(\alpha_1) - \tan(\alpha_2)}{1 + \tan(\alpha_1) \tan(\alpha_2)} $. Подставим наши значения: $ \tan(B) = \frac{4 - \frac{1}{2}}{1 + 4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{8-1}{2}}{1 + 2} = \frac{\frac{7}{2}}{3} = \frac{7}{6} $. Котангенс угла B равен: $ \cot(B) = \frac{1}{\tan(B)} = \frac{1}{\frac{7}{6}} = \frac{6}{7} $.
Ответ: $ \tan(B) = \frac{7}{6} $, $ \cot(B) = \frac{6}{7} $.

18. Найдите тангенс и котангенс угла: а) A; б) B, изображенного на рисунке 13.8.

а) A

б) B

Рис. 13.8

а) Для нахождения тангенса и котангенса угла A, построим прямоугольный треугольник, используя узлы сетки. Вершина A является вершиной этого треугольника. Одна сторона угла A лежит на вертикальной линии сетки. Из вершины A отложим по этой вертикальной линии вверх 3 клетки и поставим точку D. Из точки D проведем горизонтальный отрезок вправо до пересечения с другой стороной угла A. Обозначим эту точку пересечения как C. Длина этого отрезка DC составляет 5 клеток. Мы получили прямоугольный треугольник ADC с прямым углом в точке D. Угол, который мы ищем, — это $ \angle CAD $, или угол A. В этом треугольнике катет DC, противолежащий углу A, равен 5, а катет AD, прилежащий к углу A, равен 3.
По определению, тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:$ \tan(A) = \frac{DC}{AD} = \frac{5}{3} $.
Котангенс — это отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего, или величина, обратная тангенсу:$ \cot(A) = \frac{AD}{DC} = \frac{1}{\tan(A)} = \frac{3}{5} $.
Ответ: $ \tan(A) = \frac{5}{3}, \cot(A) = \frac{3}{5} $.

б) Угол, тангенс и котангенс которого нужно найти, обозначен на рисунке как $ \alpha $, а в условии как B. Будем решать для угла B. Для этого введем систему координат с началом в точке B. Ось Ox направим горизонтально вправо, а ось Oy — вертикально вверх. Стороны угла B — это два луча, выходящие из точки B.
Верхний луч проходит через точку P, координаты которой можно определить по сетке: 4 клетки вправо и 1 клетка вниз от B. Таким образом, координаты точки P: $(4, -1)$.
Нижний луч проходит через точку Q с координатами: 2 клетки вправо и 3 клетки вниз от B. Координаты точки Q: $(2, -3)$.
Угловой коэффициент (тангенс угла наклона к оси Ox) для верхнего луча равен $ m_1 = \frac{-1}{4} $.
Угловой коэффициент для нижнего луча равен $ m_2 = \frac{-3}{2} $.
Тангенс угла $ \alpha $ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $ m_1 $ и $ m_2 $ вычисляется по формуле:$ \tan(B) = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| $.
Подставим наши значения:$ \tan(B) = \left| \frac{-\frac{3}{2} - (-\frac{1}{4})}{1 + (-\frac{3}{2}) \cdot (-\frac{1}{4})} \right| = \left| \frac{-\frac{6}{4} + \frac{1}{4}}{1 + \frac{3}{8}} \right| = \left| \frac{-\frac{5}{4}}{\frac{11}{8}} \right| = \left| -\frac{5}{4} \cdot \frac{8}{11} \right| = \left| -\frac{40}{44} \right| = \frac{10}{11} $.
Котангенс — это величина, обратная тангенсу:$ \cot(B) = \frac{1}{\tan(B)} = \frac{1}{10/11} = \frac{11}{10} $.
Ответ: $ \tan(B) = \frac{10}{11}, \cot(B) = \frac{11}{10} $.

19. Для каких углов:

а) тангенс меньше котангенса;

б) тангенс больше котангенса?

Для решения этой задачи мы будем решать тригонометрические неравенства. Обозначим искомый угол через $x$.

а) тангенс меньше котангенса

Нам необходимо найти все углы $x$, для которых выполняется неравенство:

$\tan(x) < \cot(x)$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс не определен, когда $\cos(x) = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. Котангенс не определен, когда $\sin(x) = 0$, то есть при $x = \pi k$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi m}{2}$, где $n, k, m$ — любые целые числа.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\tan(x) - \cot(x) < 0$

Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус и приведем к общему знаменателю:

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} < 0$

$\frac{\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} < 0$

Воспользуемся формулами двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$ и $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

Числитель: $\sin^2(x) - \cos^2(x) = -(\cos^2(x) - \sin^2(x)) = -\cos(2x)$.

Знаменатель: $\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Подставим эти выражения в неравенство:

$\frac{-\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} < 0$

$-2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} < 0$

$-2\cot(2x) < 0$

Разделим обе части на -2, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\cot(2x) > 0$

Функция котангенс положительна в I и III координатных четвертях. Это означает, что ее аргумент, $2x$, должен удовлетворять условию:

$\pi k < 2x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим все части этого двойного неравенства на 2:

$\frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) тангенс больше котангенса

Теперь нам необходимо найти все углы $x$, для которых выполняется неравенство:

$\tan(x) > \cot(x)$

Решение этого неравенства аналогично предыдущему пункту. Преобразования приводят к следующему неравенству:

$\tan(x) - \cot(x) > 0$

$\frac{-\cos(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} > 0$

$-2\cot(2x) > 0$

Разделим обе части на -2, снова изменив знак неравенства:

$\cot(2x) < 0$

Функция котангенс отрицательна во II и IV координатных четвертях. Это означает, что ее аргумент, $2x$, должен удовлетворять условию:

$\frac{\pi}{2} + \pi k < 2x < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим все части этого двойного неравенства на 2:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.