Страница 66 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Сформулируйте теорему Пифагора.

2. Когда жил Пифагор?

3. Какие тройки целых чисел называются пифагорейскими?

4. Назовите значения тригонометрических функций угла $30^\circ$.

5. Назовите значения тригонометрических функций угла $45^\circ$.

6. Как выражается радиус описанной окружности через основание равнобедренного треугольника и высоту, опущенную на это основание?

1. Сформулируйте теорему Пифагора. Теорема Пифагора — это одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, которая устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Формулировка теоремы: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (стороны, лежащей напротив прямого угла) равен сумме квадратов длин катетов (сторон, прилежащих к прямому углу). Если обозначить длины катетов как $a$ и $b$, а длину гипотенузы как $c$, то теорема записывается в виде формулы: $a^2 + b^2 = c^2$. Ответ: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2. Когда жил Пифагор? Пифагор Самосский — это древнегреческий философ, математик и основатель религиозно-философской школы пифагореизма. Хотя точные даты его жизни являются предметом дискуссий среди историков, общепринято считать, что он жил в VI веке до нашей эры. Наиболее часто указываемые даты его жизни — примерно с 570 по 495 год до н.э. Ответ: Пифагор жил приблизительно в 570–495 годах до н.э.

3. Какие тройки целых чисел называются пифагорейскими? Пифагорейскими тройками называют три натуральных (целых положительных) числа $a$, $b$ и $c$, которые удовлетворяют уравнению теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Такие числа могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. Простейший и самый известный пример пифагорейской тройки — (3, 4, 5), так как $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Другими примерами являются тройки (5, 12, 13), (8, 15, 17) и (7, 24, 25). Ответ: Пифагорейские тройки — это наборы из трёх натуральных чисел $(a, b, c)$, для которых выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$.

4. Назовите значения тригонометрических функций угла 30°. Значения основных тригонометрических функций для угла $30^\circ$ (или $\frac{\pi}{6}$ радиан) являются стандартными и часто используются в геометрии и анализе. Они следующие:
Синус: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
Косинус: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Тангенс: $\tan(30^\circ) = \frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Котангенс: $\cot(30^\circ) = \frac{\cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$
Ответ: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot(30^\circ) = \sqrt{3}$.

5. Назовите значения тригонометрических функций угла 45°. Угол $45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ радиан) соответствует равнобедренному прямоугольному треугольнику, что упрощает нахождение значений его тригонометрических функций. Значения следующие:
Синус: $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Косинус: $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Тангенс: $\tan(45^\circ) = \frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)} = 1$
Котангенс: $\cot(45^\circ) = \frac{\cos(45^\circ)}{\sin(45^\circ)} = 1$
Ответ: $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(45^\circ) = 1$, $\cot(45^\circ) = 1$.

6. Как выражается радиус описанной окружности через основание равнобедренного треугольника и высоту, опущенную на это основание? Пусть у равнобедренного треугольника основание равно $a$, высота, опущенная на это основание, равна $h$, а боковая сторона — $b$. Радиус $R$ описанной окружности для любого треугольника можно найти по формуле $R = \frac{xyz}{4S}$, где $x, y, z$ — стороны, а $S$ — площадь. Для равнобедренного треугольника стороны равны $a, b, b$, а площадь $S = \frac{1}{2}ah$. Тогда $R = \frac{a \cdot b \cdot b}{4(\frac{1}{2}ah)} = \frac{b^2}{2h}$. По теореме Пифагора для половины нашего треугольника, $b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$. Подставив это выражение в формулу для радиуса, получим зависимость только от $a$ и $h$:
$R = \frac{h^2 + (a/2)^2}{2h} = \frac{h^2 + a^2/4}{2h} = \frac{4h^2 + a^2}{8h}$.
Ответ: Радиус описанной окружности $R$ выражается через основание $a$ и высоту $h$ по формуле: $R = \frac{a^2 + 4h^2}{8h}$.

1. У прямоугольного треугольника заданы катеты $a$ и $b$. Найдите гипотенузу $c$, если:

а) $a = 3$, $b = 4$;

б) $a = 5$, $b = 12$;

в) $a = 8$, $b = 15$.

Для нахождения гипотенузы $c$ прямоугольного треугольника по известным катетам $a$ и $b$ используется теорема Пифагора. Формула теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Следовательно, гипотенузу можно вычислить по формуле: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

а)

Дано: катет $a = 3$, катет $b = 4$.

Подставим значения в формулу:

$c = \sqrt{3^2 + 4^2}$

$c = \sqrt{9 + 16}$

$c = \sqrt{25}$

$c = 5$

Ответ: 5.

б)

Дано: катет $a = 5$, катет $b = 12$.

Подставим значения в формулу:

$c = \sqrt{5^2 + 12^2}$

$c = \sqrt{25 + 144}$

$c = \sqrt{169}$

$c = 13$

Ответ: 13.

в)

Дано: катет $a = 8$, катет $b = 15$.

Подставим значения в формулу:

$c = \sqrt{8^2 + 15^2}$

$c = \sqrt{64 + 225}$

$c = \sqrt{289}$

$c = 17$

Ответ: 17.

2. У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза $c$ и катет $a$. Найдите второй катет, если:

а) $c = 5$, $a = 3$;

б) $c = 13$, $a = 5$;

в) $c = 10$, $a = 8$.

Для нахождения второго катета прямоугольного треугольника используется теорема Пифагора. Согласно этой теореме, сумма квадратов катетов ($a$ и $b$) равна квадрату гипотенузы ($c$): $a^2 + b^2 = c^2$. Из этой формулы можно выразить неизвестный катет, например $b$:

$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Применим эту формулу для каждого случая.

а) Дано: гипотенуза $c = 5$ и катет $a = 3$. Найдем второй катет $b$.
$b = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4.

б) Дано: гипотенуза $c = 13$ и катет $a = 5$. Найдем второй катет $b$.
$b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.
Ответ: 12.

в) Дано: гипотенуза $c = 10$ и катет $a = 8$. Найдем второй катет $b$.
$b = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$.
Ответ: 6.

3. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника ABC, изображенного на рисунке 14.5. Стороны квадратных клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 14.5

а)

На рисунке а) изображен прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Стороны этого треугольника (катеты) лежат на линиях сетки. Длина стороны одной клетки равна 1. Чтобы найти длину гипотенузы AB, сначала определим длины катетов AC и BC, посчитав количество клеток.

Длина катета AC составляет 4 клетки, следовательно, $AC = 4$.

Длина катета BC составляет 2 клетки, следовательно, $BC = 2$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

Подставим известные значения:

$AB^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$

Отсюда находим длину гипотенузы AB:

$AB = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

Ответ: $2\sqrt{5}$.

б)

На рисунке б) также изображен прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Определим длины его катетов по клеткам.

Длина катета AC составляет 3 клетки, следовательно, $AC = 3$.

Длина катета BC составляет 4 клетки, следовательно, $BC = 4$.

Применим теорему Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.

Подставим значения длин катетов:

$AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Найдем длину гипотенузы AB:

$AB = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 5.

4. Найдите диагональ квадрата со стороной 1.

Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся теоремой Пифагора. Диагональ делит квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника. В таком треугольнике катетами являются стороны квадрата, а гипотенузой — сама диагональ.
Пусть сторона квадрата равна $a$, а диагональ равна $d$. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$a^2 + a^2 = d^2$
$2a^2 = d^2$
По условию задачи сторона квадрата $a = 1$. Подставим это значение в формулу:
$2 \cdot 1^2 = d^2$
$2 \cdot 1 = d^2$
$d^2 = 2$
$d = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$