Страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Выведите формулу для радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника, основание которого равно $c$, а боковая сторона равна $b$.

Для вывода формулы радиуса описанной окружности воспользуемся общей формулой, связывающей радиус, стороны треугольника и его площадь. Пусть дан равнобедренный треугольник со сторонами b, b и c (где c – основание).

1. Формула радиуса описанной окружности

Радиус R окружности, описанной около любого треугольника со сторонами x, y, z и площадью S, вычисляется по формуле:

$R = \frac{xyz}{4S}$

В нашем случае стороны треугольника равны b, b и c. Подставляя эти значения, получаем:

$R = \frac{b \cdot b \cdot c}{4S} = \frac{b^2c}{4S}$

2. Нахождение площади треугольника (S)

Чтобы использовать эту формулу, нам необходимо найти площадь S равнобедренного треугольника. Площадь треугольника можно найти как половину произведения его основания на высоту.

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$

где h – высота, проведенная к основанию c. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{c}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной b (гипотенуза), высотой h (катет) и половиной основания $\frac{c}{2}$ (второй катет). По теореме Пифагора:

$h^2 + (\frac{c}{2})^2 = b^2$

Выразим отсюда высоту h:

$h^2 = b^2 - \frac{c^2}{4} = \frac{4b^2 - c^2}{4}$

$h = \sqrt{\frac{4b^2 - c^2}{4}} = \frac{\sqrt{4b^2 - c^2}}{2}$

Теперь подставим найденную высоту в формулу для площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{\sqrt{4b^2 - c^2}}{2} = \frac{c\sqrt{4b^2 - c^2}}{4}$

3. Вывод итоговой формулы для радиуса (R)

Теперь у нас есть все компоненты для нахождения радиуса R. Подставим выражение для площади S в формулу, полученную в первом шаге:

$R = \frac{b^2c}{4S} = \frac{b^2c}{4 \cdot \frac{c\sqrt{4b^2 - c^2}}{4}}$

Сокращаем 4 в числителе и знаменателе дроби в знаменателе:

$R = \frac{b^2c}{c\sqrt{4b^2 - c^2}}$

Сокращаем c в числителе и знаменателе:

$R = \frac{b^2}{\sqrt{4b^2 - c^2}}$

Это и есть искомая формула.

Ответ: $R = \frac{b^2}{\sqrt{4b^2 - c^2}}$

24. Найдите синус и косинус угла $A$, изображенного на рисунке 14.14.

а)

б)

Рис. 14.14

Для нахождения синуса и косинуса угла А воспользуемся определениями этих тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Для этого на каждом рисунке достроим прямоугольный треугольник, где угол А будет одним из острых углов. Стороны треугольника определим по клеткам.

а)

Достроим прямоугольный треугольник так, чтобы одна его вершина совпадала с вершиной угла A, а другая лежала на наклонной стороне угла в узле сетки. Из этой точки опустим перпендикуляр на горизонтальную сторону угла.

Получим прямоугольный треугольник, в котором:

- противолежащий катет (длина вертикального отрезка) равен 2 клеткам;

- прилежащий катет (длина горизонтального отрезка) равен 4 клеткам.

Найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора:

гипотенуза $c = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Теперь найдем синус и косинус угла A.

Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(A) = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(A) = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\sin(A) = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos(A) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

б)

Аналогично пункту а), достроим прямоугольный треугольник.

Получим прямоугольный треугольник, в котором:

- противолежащий катет равен 4 клеткам;

- прилежащий катет равен 2 клеткам.

Найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора:

гипотенуза $c = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Теперь найдем синус и косинус угла A.

Синус угла:

$\sin(A) = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Косинус угла:

$\cos(A) = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\sin(A) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\cos(A) = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

25. Стебель камыша выступает из воды озера на 1 м (рис. 14.15). Его верхний конец отклонили от вертикального положения на 2 м, и он оказался на уровне воды. Найдите глубину озера в месте, где растет камыш.

Пусть $h$ — это глубина озера в метрах в том месте, где растет камыш. Это также длина подводной части стебля, когда он находится в вертикальном положении.

Из условия задачи известно, что над водой выступает 1 метр стебля. Значит, общая длина стебля камыша равна $h + 1$ метров.

Когда верхний конец камыша отклонили так, что он коснулся поверхности воды, образовался прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника являются глубина озера $h$ и расстояние, на которое отклонили камыш от вертикального положения, то есть 2 м. Гипотенузой является сам стебель камыша, так как он наклонился, но его основание осталось на дне. Длина гипотенузы равна полной длине стебля, то есть $h + 1$ м.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Составим уравнение:

$h^2 + 2^2 = (h + 1)^2$

Решим это уравнение относительно $h$:

$h^2 + 4 = h^2 + 2 \cdot h \cdot 1 + 1^2$

$h^2 + 4 = h^2 + 2h + 1$

Вычтем $h^2$ из обеих частей уравнения:

$4 = 2h + 1$

Перенесем известные слагаемые в одну сторону, а неизвестные — в другую:

$4 - 1 = 2h$

$3 = 2h$

Теперь найдем $h$:

$h = \frac{3}{2}$

$h = 1.5$

Следовательно, глубина озера в месте, где растет камыш, составляет 1.5 метра.

Ответ: 1.5 м.

26. Найдите неизвестные отрезки (рис. 14.16).

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

Рис. 14.16

а) На рисунке изображен прямоугольный треугольник $ABD$ с прямым углом при вершине $A$. Катеты треугольника равны $AB = 3$ и $AD = 2$. Неизвестный отрезок $BD$ является гипотенузой. Для ее нахождения воспользуемся теоремой Пифагора:

$BD^2 = AB^2 + AD^2$

$BD^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$

$BD = \sqrt{13}$

Ответ: $\sqrt{13}$

б) На рисунке фигура $EFHD$ является квадратом, так как его углы при вершинах $F$ и $H$ прямые, а фигура имеет правильную форму. Длина стороны $EF$ равна 2, следовательно, все стороны квадрата равны 2. В частности, сторона $FH = 2$. Треугольник $FHG$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$. В этом треугольнике два острых угла, $\angle HFG$ и $\angle HGF$, отмечены как равные. Это означает, что треугольник $FHG$ является равнобедренным, и его катеты равны: $HG = FH$. Поскольку $FH = 2$, то и $HG = 2$. Неизвестный отрезок $FG$ является гипотенузой этого треугольника. Найдем ее по теореме Пифагора:

$FG^2 = FH^2 + HG^2$

$FG^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

$FG = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$

в) На сторонах треугольника $ABC$ стоят одинаковые метки, что означает, что треугольник является равносторонним. Все его стороны равны: $AB = BC = AC = 3$. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Отрезок $AD$ является высотой, опущенной на сторону $BC$, следовательно, треугольник $ADC$ - прямоугольный с гипотенузой $AC=3$ и острым углом $\angle C = 60^\circ$. Неизвестный отрезок $AD$ является катетом этого треугольника. Его длину можно найти через синус угла $C$:

$\sin(C) = \frac{AD}{AC}$

$AD = AC \cdot \sin(60^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

г) Фигура $KLMN$ является ромбом, так как все ее стороны отмечены как равные. Диагонали ромба $KM$ и $LN$ взаимно перпендикулярны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Дано: $KM=2$ и $LN=3$. Найдем длины половин диагоналей:

$KO = \frac{KM}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$LO = \frac{LN}{2} = \frac{3}{2}$

Треугольник $KOL$ является прямоугольным с катетами $KO$ и $LO$. Неизвестный отрезок $KL$ (сторона ромба) является гипотенузой в этом треугольнике. Найдем ее по теореме Пифагора:

$KL^2 = KO^2 + LO^2$

$KL^2 = 1^2 + (\frac{3}{2})^2 = 1 + \frac{9}{4} = \frac{4+9}{4} = \frac{13}{4}$

$KL = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

д) Предположим, что треугольник $PQR$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $Q$ ($\angle PQR = 90^\circ$). Его катеты $PQ=2$ и $QR=4$. Точка $O$ является серединой гипотенузы $PR$, так как отрезки $PO$ и $OR$ отмечены как равные. Отрезок $QO$, длину которого нужно найти, является медианой, проведенной к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, ее длина равна половине длины гипотенузы. Сначала найдем гипотенузу $PR$ по теореме Пифагора:

$PR^2 = PQ^2 + QR^2$

$PR^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$

$PR = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Теперь найдем длину медианы $QO$:

$QO = \frac{1}{2}PR = \frac{1}{2}(2\sqrt{5}) = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

е) В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ отмечены как равные, значит, треугольник равнобедренный с основанием $AC$. Дано: боковые стороны $AB=BC=5$ и основание $AC=4$. Отрезок $BH$ является биссектрисой угла $B$ (углы $ABH$ и $CBH$ отмечены как равные). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, $BH$ - высота ($BH \perp AC$) и медиана ($AH = HC$). Так как $BH$ - медиана, она делит основание $AC$ пополам:

$HC = \frac{AC}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Так как $BH$ - высота, треугольник $BHC$ является прямоугольным. Неизвестный отрезок $BH$ является катетом этого треугольника. Найдем его по теореме Пифагора:

$BH^2 + HC^2 = BC^2$

$BH^2 + 2^2 = 5^2$

$BH^2 + 4 = 25$

$BH^2 = 21$

$BH = \sqrt{21}$

Ответ: $\sqrt{21}$

ж) На рисунке точки $E$, $G$, $F$ лежат на одной прямой. Отрезок $HG$ перпендикулярен этой прямой, так как угол $EGH$ прямой. Это означает, что треугольник $HGF$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $G$. Нам даны длины катетов этого треугольника: $HG=1$ и $GF=5$. Неизвестный отрезок $HF$ является гипотенузой. Найдем ее длину по теореме Пифагора:

$HF^2 = HG^2 + GF^2$

$HF^2 = 1^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26$

$HF = \sqrt{26}$

Ответ: $\sqrt{26}$