Страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

29. Самолет взлетает под углом $6^\circ$ к поверхности земли. На какую высоту он поднимется, пролетев 20 км? На каком расстоянии от аэропорта будет самолет, поднявшись на высоту 5 км над землей?

На какую высоту он поднимется, пролетев 20 км?

Траекторию полета самолета, высоту и расстояние по земле можно представить как стороны прямоугольного треугольника.
В этом треугольнике нам известно:
- Длина гипотенузы (путь, пройденный самолетом) $c = 20$ км.
- Угол взлета (угол между гипотенузой и поверхностью земли) $\alpha = 6^\circ$.
Высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Для ее нахождения воспользуемся тригонометрической функцией синус:
$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{c}$
Выразим из формулы высоту $h$:
$h = c \cdot \sin(\alpha)$
Подставим известные значения:
$h = 20 \cdot \sin(6^\circ)$
Используя калькулятор, находим значение синуса: $\sin(6^\circ) \approx 0,1045$.
$h \approx 20 \cdot 0,1045 = 2,09$ км.
Ответ: Самолет поднимется на высоту примерно 2,09 км.

На каком расстоянии от аэропорта будет самолет, поднявшись на высоту 5 км над землей?

В этой части задачи мы снова рассматриваем тот же прямоугольный треугольник.
Теперь нам известно:
- Высота полета (противолежащий катет) $h = 5$ км.
- Угол взлета $\alpha = 6^\circ$.
Расстояние от аэропорта по земле $d$ является прилежащим катетом к углу $\alpha$. Для его нахождения воспользуемся тригонометрической функцией тангенс:
$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{d}$
Выразим из формулы расстояние $d$:
$d = \frac{h}{\tan(\alpha)}$
Подставим известные значения:
$d = \frac{5}{\tan(6^\circ)}$
Используя калькулятор, находим значение тангенса: $\tan(6^\circ) \approx 0,1051$.
$d \approx \frac{5}{0,1051} \approx 47,57$ км.
Ответ: Самолет будет находиться на расстоянии примерно 47,57 км от аэропорта (по земле).

30. Чему равен угол, под которым видно солнце над горизонтом, когда длина тени человека равна его росту; в два раза длиннее роста человека?

Угол $α$, под которым видно солнце над горизонтом, можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный ростом человека, его тенью и солнечным лучом. Рост человека $h$ будет противолежащим катетом к углу $α$, а длина его тени $l$ — прилежащим катетом. Тангенс угла высоты солнца над горизонтом определяется по формуле: $tan(α) = h/l$.

когда длина тени человека равна его росту

В этом случае, согласно условию, длина тени равна росту человека, то есть $l = h$.

Подставим это соотношение в формулу для тангенса угла:

$tan(α) = \frac{h}{l} = \frac{h}{h} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, это $45°$.

$α = arctan(1) = 45°$

Ответ: $45°$.

когда длина тени в два раза длиннее роста человека

В этом случае, согласно условию, длина тени в два раза больше роста человека, то есть $l = 2h$.

Подставим это соотношение в формулу для тангенса угла:

$tan(α) = \frac{h}{l} = \frac{h}{2h} = \frac{1}{2} = 0.5$

Для нахождения угла $α$ вычислим арктангенс от 0.5:

$α = arctan(0.5) \approx 26.57°$

Ответ: $\approx 26.6°$.

31. Определите расстояние от Земли до Луны, если радиус Луны равен 1680 км и виден с Земли под углом $\alpha = 15'$.

Для определения расстояния от Земли до Луны ($L$) воспользуемся геометрическим подходом. Мы можем представить прямоугольный треугольник, вершинами которого являются наблюдатель на Земле, центр Луны и точка на краю видимого диска Луны. В таком треугольнике радиус Луны ($R_Л$) будет катетом, противолежащим углу $\alpha$, а искомое расстояние до Луны ($L$) — прилежащим катетом. Угол $\alpha$ — это угловой радиус Луны, под которым он виден с Земли.

Связь между этими величинами описывается тригонометрической функцией тангенса:

$ \tan(\alpha) = \frac{R_Л}{L} $

Отсюда можно выразить расстояние $L$:

$ L = \frac{R_Л}{\tan(\alpha)} $

Поскольку угол $\alpha$ очень мал, можно использовать приближение для малых углов, согласно которому тангенс угла примерно равен самому углу, выраженному в радианах ($ \tan(\alpha) \approx \alpha_{рад} $). Это значительно упрощает расчеты.

$ L \approx \frac{R_Л}{\alpha_{рад}} $

Сначала переведем заданный угол $\alpha = 15'$ из угловых минут в радианы. В одном градусе содержится 60 угловых минут, а в $\pi$ радианах — 180 градусов.

$ \alpha = 15' = \frac{15}{60}^\circ = 0.25^\circ $

Теперь переведем градусы в радианы:

$ \alpha_{рад} = 0.25^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{720} \text{ рад} $

Теперь подставим известные значения ($R_Л = 1680$ км и $\alpha_{рад} = \frac{\pi}{720}$ рад) в нашу формулу:

$ L \approx \frac{1680 \text{ км}}{\frac{\pi}{720}} = \frac{1680 \cdot 720}{\pi} \text{ км} $

Выполним вычисление, используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:

$ L \approx \frac{1209600}{3.14159} \approx 385002.5 \text{ км} $

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем приблизительное расстояние от Земли до Луны.

Ответ: $385000$ км.

32. Под дождем, капли которого падают вертикально со скоростью $7 \text{ м/с}$, едет автобус. Пассажирам этого автобуса кажется, что идет косой дождь. Под каким углом к поверхности земли им кажется падают капли, если скорость автобуса составляет $35 \text{ км/ч}$?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом относительности движения. Скорость капель дождя, которую наблюдают пассажиры, является векторной разностью скорости капель относительно земли и скорости автобуса относительно земли. Введем обозначения: $\vec{v}_к$ — это скорость капель относительно земли (направлена вертикально вниз, модуль $v_к = 7 \text{ м/с}$), а $\vec{v}_а$ — это скорость автобуса относительно земли (направлена горизонтально, модуль $v_а = 35 \text{ км/ч}$).

В первую очередь необходимо привести скорости к единой системе измерений, в данном случае — к метрам в секунду (м/с). Переведем скорость автобуса из км/ч в м/с.
$v_а = 35 \text{ км/ч} = 35 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{350}{36} \text{ м/с} = \frac{175}{18} \text{ м/с}$.
Для удобства расчетов можно представить это значение в виде десятичной дроби: $v_а \approx 9,72 \text{ м/с}$.

Скорость капель относительно автобуса ($\vec{v}_{отн}$) находится по формуле векторного вычитания:
$\vec{v}_{отн} = \vec{v}_к - \vec{v}_а = \vec{v}_к + (-\vec{v}_а)$.
Это означает, что для определения направления и величины относительной скорости нужно к вектору скорости капель $\vec{v}_к$ (вертикально вниз) прибавить вектор $-\vec{v}_а$, который равен по модулю вектору скорости автобуса, но направлен в противоположную сторону (горизонтально, против движения автобуса).

Векторы $\vec{v}_к$ и $-\vec{v}_а$ взаимно перпендикулярны. Их векторная сумма $\vec{v}_{отн}$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где катетами служат векторы $\vec{v}_к$ и $-\vec{v}_а$. Угол $\alpha$, под которым пассажирам кажется, что падают капли, — это угол между вектором относительной скорости $\vec{v}_{отн}$ и горизонталью (поверхностью земли). Этот угол можно найти из тригонометрических соотношений в данном треугольнике скоростей.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета (модуль вертикальной скорости $v_к$) к прилежащему катету (модуль горизонтальной скорости $v_а$):
$\tan(\alpha) = \frac{v_к}{v_а}$.

Подставим числовые значения в полученную формулу:
$\tan(\alpha) = \frac{7 \text{ м/с}}{\frac{175}{18} \text{ м/с}} = \frac{7 \cdot 18}{175}$.
Сократим дробь, зная, что $175 = 7 \cdot 25$:
$\tan(\alpha) = \frac{7 \cdot 18}{7 \cdot 25} = \frac{18}{25} = 0,72$.

Теперь найдем сам угол $\alpha$, вычислив арктангенс полученного значения:
$\alpha = \arctan(0,72) \approx 35,75^\circ$.
Округлив значение, получаем, что угол составляет примерно $36^\circ$.
Ответ: пассажирам кажется, что капли падают под углом примерно $36^\circ$ к поверхности земли.

33. Как можно вычислить угол:
а) подъема лестницы в доме;
б) наклона крыши дома? Какие измерения при этом надо выполнить?

а) подъема лестницы в доме
Для вычисления угла подъема лестницы можно использовать принципы тригонометрии, рассмотрев лестничный марш как гипотенузу в прямоугольном треугольнике. Катетами этого треугольника будут полная высота подъема и горизонтальная проекция лестницы.

Необходимые измерения:
1. Измерить полную вертикальную высоту, на которую поднимается лестница (расстояние от пола одного этажа до пола следующего). Обозначим эту высоту как $h$ (противолежащий катет).
2. Измерить горизонтальную длину, которую занимает лестница на полу (ее проекцию на пол). Обозначим эту длину как $l$ (прилежащий катет).

Вычисление:
Угол подъема $\alpha$ можно найти через тангенс, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(\alpha) = \frac{h}{l}$
Следовательно, сам угол вычисляется с помощью функции арктангенса:
$\alpha = \arctan(\frac{h}{l})$

Альтернативный, часто более простой способ, — измерить параметры одной ступени: высоту подступенка ($h_{ступ}$) и ширину проступи ($l_{ступ}$). Отношение этих величин также даст тангенс угла подъема: $\tan(\alpha) = \frac{h_{ступ}}{l_{ступ}}$.

Ответ: Необходимо измерить высоту подъема лестницы $h$ и ее горизонтальную проекцию $l$. Угол подъема $\alpha$ вычисляется по формуле $\alpha = \arctan(\frac{h}{l})$.

б) наклона крыши дома
Угол наклона ската крыши также вычисляется с помощью модели прямоугольного треугольника. Гипотенузой будет сам скат крыши, а катетами — высота конька и горизонтальная проекция ската.

Необходимые измерения (для стандартной двускатной крыши):
1. Измерить вертикальную высоту от уровня чердачного перекрытия до самой высокой точки крыши — конька. Обозначим эту высоту как $H$ (противолежащий катет).
2. Измерить горизонтальное расстояние от края стены (или от точки опоры стропил) до вертикальной оси, проходящей через конёк. Для симметричной крыши это расстояние равно половине ширины дома. Обозначим его как $L$ (прилежащий катет).

Вычисление:
Угол наклона крыши $\beta$ находится через тангенс, который равен отношению высоты конька к горизонтальной проекции ската:
$\tan(\beta) = \frac{H}{L}$
Соответственно, угол $\beta$ равен:
$\beta = \arctan(\frac{H}{L})$

Ответ: Необходимо измерить высоту конька $H$ (от уровня перекрытия) и горизонтальную проекцию ската $L$ (обычно половину ширины дома). Угол наклона $\beta$ вычисляется по формуле $\beta = \arctan(\frac{H}{L})$.

34. Архитектурное сооружение “Астана — Байтерек” считается символом обновления, символом Астаны, символом Казахстана. Оно представляет собой высокую металлическую конструкцию с огромным позолоченным стеклянным шаром на вершине (рис. 13.14). Высота сооружения составляет 97 м, а с шаром, венчающим конструкцию — 105 м. Человек, находясь на некотором расстоянии от Байтерека, видит его верхушку и людей в панорамном зале. Как можно вычислить углы $B$, $D$? Какие измерения при этом надо выполнить?

Рис. 13.14

Какие измерения при этом надо выполнить?
Для того чтобы вычислить углы, указанные на схеме, необходимо произвести одно измерение. Наблюдатель находится в точке C, а монумент представляет собой вертикальный отрезок AB. Треугольники ABC и ADC являются прямоугольными. Чтобы решить задачу с помощью тригонометрии, помимо известных высот (катетов AD и AB), нужно знать еще один элемент в этих треугольниках. Самым простым для измерения в данной ситуации является расстояние от наблюдателя до основания сооружения.

Ответ: Необходимо измерить расстояние от точки наблюдения C до основания монумента A, то есть найти длину катета AC.

Как можно вычислить углы B, D?
Для решения задачи воспользуемся данными из условия и результатами измерений.
Дано:
Высота до панорамного зала: $AD = 97$ м.
Полная высота сооружения: $AB = 105$ м.
Измеренное расстояние:
Расстояние от наблюдателя до основания: $AC = x$ м.

На схеме показаны два прямоугольных треугольника ($△ADC$ и $△ABC$) и один произвольный треугольник ($△BDC$). Углы, которые нужно найти (обозначенные как B и D), — это углы $∠CBD$ и $∠BDC$ соответственно.

Алгоритм вычисления:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $△ABC$.
В этом треугольнике нам известны два катета: $AB = 105$ м и $AC = x$ м. Мы можем найти угол $∠ACB$ через тангенс:
$tan(∠ACB) = \frac{AB}{AC} = \frac{105}{x}$
Следовательно, $∠ACB = \arctan(\frac{105}{x})$.
Угол B (то есть $∠ABC$ или $∠CBD$) является вторым острым углом в этом прямоугольном треугольнике. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому:
$∠B = 90° - ∠ACB = 90° - \arctan(\frac{105}{x})$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $△ADC$.
В этом треугольнике нам также известны два катета: $AD = 97$ м и $AC = x$ м. Найдем угол $∠ACD$:
$tan(∠ACD) = \frac{AD}{AC} = \frac{97}{x}$
Следовательно, $∠ACD = \arctan(\frac{97}{x})$.
Теперь найдем угол $∠ADC$. Это второй острый угол в треугольнике $△ADC$:
$∠ADC = 90° - ∠ACD$.
Угол D (то есть $∠BDC$) и угол $∠ADC$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол (180°) вдоль вертикальной прямой AB. Значит:
$∠D = 180° - ∠ADC = 180° - (90° - ∠ACD) = 90° + ∠ACD$.
Подставив выражение для $∠ACD$, получаем:
$∠D = 90° + \arctan(\frac{97}{x})$

Таким образом, зная расстояние $x$, мы можем вычислить оба искомых угла.

Ответ: Сначала нужно измерить расстояние $AC = x$. Затем углы B и D вычисляются по формулам: $∠B = 90° - \arctan(\frac{105}{x})$ и $∠D = 90° + \arctan(\frac{97}{x})$.

35. Человек спускается по канатной дороге под углом 83° от горнолыжного курорта «Шымбулак» до базовой станции катка «Медеу», которая является третьей в мире по протяженности (рис. 13.15). Медеу расположен на высоте 1691 м над уровнем моря, а Шымбулак — 2260 м. Найдите длину канатной дороги.

Рис. 13.15

Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрию, представив ситуацию в виде прямоугольного треугольника. В этом треугольнике:

• Длина канатной дороги будет гипотенузой (L).
• Разница высот между горнолыжным курортом "Шымбулак" и катком "Медеу" будет катетом, противолежащим углу спуска (h).
• Угол спуска, равный 83°, будет углом между гипотенузой и горизонтальным катетом (α).

Сначала найдем разницу высот (катет h):

$h = \text{Высота Шымбулака} - \text{Высота Медеу}$

$h = 2260 \text{ м} - 1691 \text{ м} = 569 \text{ м}$

Теперь, зная противолежащий катет и угол, мы можем найти длину гипотенузы (L) с помощью синуса угла:

$sin(α) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{L}$

Выразим из этой формулы длину канатной дороги L:

$L = \frac{h}{sin(α)}$

Подставим известные значения в формулу: $h = 569$ м и $α = 83°$.

$L = \frac{569}{sin(83°)}$

Вычислим значение синуса 83°. $sin(83°) \approx 0.9925$.

$L \approx \frac{569}{0.9925} \approx 573.299 \text{ м}$

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: длина канатной дороги составляет приблизительно 573,3 м.