Страница 59 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Найдите тангенс и котангенс угла: а) А; б) В, изображенного на рисунке 13.5.

а)

б)

Рис. 13.5

а)

Для нахождения тангенса и котангенса угла A в прямоугольном треугольнике ABC (рисунок а), где угол C прямой, определим длины катетов по клеткам.

Прилежащий к углу A катет — это сторона AC. Его длина составляет 5 единиц (клеток).

Противолежащий углу A катет — это сторона BC. Его длина составляет 3 единицы (клетки).

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

$ \tan(A) = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{5} $

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

$ \cot(A) = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{3} $

Ответ: $ \tan(A) = \frac{3}{5} $, $ \cot(A) = \frac{5}{3} $.

б)

Для нахождения тангенса и котангенса угла B в прямоугольном треугольнике ABC (рисунок б), где угол C прямой, определим длины катетов по клеткам.

Прилежащий к углу B катет — это сторона BC. Его длина составляет 5 единиц (клеток).

Противолежащий углу B катет — это сторона AC. Его длина составляет 3 единицы (клетки).

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

$ \tan(B) = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{5} $

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

$ \cot(B) = \frac{BC}{AC} = \frac{5}{3} $

Ответ: $ \tan(B) = \frac{3}{5} $, $ \cot(B) = \frac{5}{3} $.

2. Найдите тангенс и котангенс угла: а) А; б) В, изображенного на рисунке 13.6.

а)

б)

Рис. 13.6

а)

Для нахождения тангенса и котангенса угла A воспользуемся методом, основанным на свойствах углов на координатной плоскости. Введем систему координат так, чтобы узел сетки в левом нижнем углу имел координаты (0, 0). Тогда вершины треугольника будут иметь следующие координаты: A(0, 1), B(3, 5), C(5, 2). Длина стороны одной клетки сетки равна 1.

Угол A треугольника ABC (∠BAC) можно представить как разность двух углов, которые стороны AB и AC образуют с горизонтальной осью, проходящей через точку A. Проведем через точку A прямую, параллельную оси абсцисс.

Пусть $ \alpha $ — угол между лучом AC и этой горизонтальной прямой. Построим прямоугольный треугольник, опуская перпендикуляр из точки C на эту прямую. Катеты этого треугольника будут равны разности координат: противолежащий катет равен $ 5 - 1 = 4 $ (ошибка, должно быть $y_C - y_A = 2 - 1 = 1$), а прилежащий катет равен $ 5 - 0 = 5 $. Таким образом, тангенс угла $ \alpha $ равен:

$ \tan(\alpha) = \frac{2 - 1}{5 - 0} = \frac{1}{5} $

Пусть $ \beta $ — угол между лучом AB и той же горизонтальной прямой. Построим прямоугольный треугольник, опуская перпендикуляр из точки B. Противолежащий катет этого треугольника равен $ 5 - 1 = 4 $, а прилежащий катет равен $ 3 - 0 = 3 $. Тангенс угла $ \beta $ равен:

$ \tan(\beta) = \frac{5 - 1}{3 - 0} = \frac{4}{3} $

Угол A равен разности углов $ \beta $ и $ \alpha $, то есть $ A = \beta - \alpha $. Воспользуемся формулой тангенса разности:

$ \tan(A) = \tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan(\beta) - \tan(\alpha)}{1 + \tan(\beta)\tan(\alpha)} $

Подставим найденные значения:

$ \tan(A) = \frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{5}}{1 + \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{5}} = \frac{\frac{20 - 3}{15}}{1 + \frac{4}{15}} = \frac{\frac{17}{15}}{\frac{15 + 4}{15}} = \frac{\frac{17}{15}}{\frac{19}{15}} = \frac{17}{19} $

Котангенс угла A является обратной величиной к тангенсу:

$ \cot(A) = \frac{1}{\tan(A)} = \frac{1}{\frac{17}{19}} = \frac{19}{17} $

Ответ: $ \tan(A) = \frac{17}{19} $, $ \cot(A) = \frac{19}{17} $.

б)

Для нахождения тангенса и котангенса угла B воспользуемся теоремой косинусов. Введем систему координат с началом в левом нижнем узле сетки (0, 0). Координаты вершин треугольника: A(0, 0), B(3, 5), C(2, 6).

Найдем квадраты длин сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками $ d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 $:

$ AB^2 = (3-0)^2 + (5-0)^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34 $

$ BC^2 = (2-3)^2 + (6-5)^2 = (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2 $

$ AC^2 = (2-0)^2 + (6-0)^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40 $

По теореме косинусов для угла B в треугольнике ABC имеем:

$ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B) $

Подставим найденные значения квадратов длин сторон:

$ 40 = 34 + 2 - 2 \cdot \sqrt{34} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(B) $

$ 40 = 36 - 2 \sqrt{68} \cdot \cos(B) $

$ 4 = -2 \sqrt{4 \cdot 17} \cdot \cos(B) $

$ 4 = -2 \cdot 2 \sqrt{17} \cdot \cos(B) $

$ 4 = -4 \sqrt{17} \cdot \cos(B) $

Отсюда находим косинус угла B:

$ \cos(B) = -\frac{4}{4\sqrt{17}} = -\frac{1}{\sqrt{17}} $

Так как косинус отрицательный, угол B является тупым. Теперь найдем синус угла B, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(B) + \cos^2(B) = 1 $. Для углов треугольника (от 0° до 180°) синус всегда положителен.

$ \sin^2(B) = 1 - \cos^2(B) = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{17}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{17} = \frac{16}{17} $

$ \sin(B) = \sqrt{\frac{16}{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} $

Теперь можем найти тангенс и котангенс угла B:

$ \tan(B) = \frac{\sin(B)}{\cos(B)} = \frac{\frac{4}{\sqrt{17}}}{-\frac{1}{\sqrt{17}}} = -4 $

$ \cot(B) = \frac{\cos(B)}{\sin(B)} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{17}}}{\frac{4}{\sqrt{17}}} = -\frac{1}{4} $

Ответ: $ \tan(B) = -4 $, $ \cot(B) = -\frac{1}{4} $.

3. На клетчатой бумаге изобразите угол, тангенс которого равен:

а) $0.5$;

б) $2$.

Для того чтобы изобразить на клетчатой бумаге угол с заданным тангенсом, мы воспользуемся определением тангенса в прямоугольном треугольнике. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету: $ \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} $. Мы можем построить такой прямоугольный треугольник, у которого длины катетов, измеренные в клетках, будут соответствовать этому отношению.

а) 0,5;

Требуется построить угол $\alpha$, тангенс которого равен 0,5. Представим 0,5 в виде дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$.
Это означает, что искомый угол является острым углом в прямоугольном треугольнике, у которого отношение противолежащего катета к прилежащему катету равно $\frac{1}{2}$.
На клетчатой бумаге построим такой треугольник: возьмем прилежащий катет длиной 2 клетки и противолежащий катет длиной 1 клетка. Искомый угол $\alpha$ показан на рисунке ниже.

Ответ: Искомый угол – это острый угол прямоугольного треугольника, построенного на клетчатой бумаге, у которого прилежащий катет равен 2 клеткам, а противолежащий катет равен 1 клетке.

б) 2.

Требуется построить угол $\beta$, тангенс которого равен 2. Представим 2 в виде дроби: $2 = \frac{2}{1}$.
Это означает, что искомый угол является острым углом в прямоугольном треугольнике, у которого отношение противолежащего катета к прилежащему катету равно $\frac{2}{1}$.
На клетчатой бумаге построим такой треугольник: возьмем прилежащий катет длиной 1 клетка и противолежащий катет длиной 2 клетки. Искомый угол $\beta$ показан на рисунке ниже.

Ответ: Искомый угол – это острый угол прямоугольного треугольника, построенного на клетчатой бумаге, у которого прилежащий катет равен 1 клетке, а противолежащий катет равен 2 клеткам.

4. Используя таблицу приближенных значений тригонометрических функций, найдите приближенное значение:

a) $sin 45^\circ$;

б) $tg 30^\circ$;

в) $sin 60^\circ$;

г) $tg 60^\circ$.

а) Для нахождения приближенного значения $\sin{45^\circ}$ необходимо воспользоваться таблицей приближенных значений тригонометрических функций. В таких таблицах для $\sin{45^\circ}$ обычно приводится значение, полученное из его точного выражения. Точное значение $\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то приближенное значение будет $\sin{45^\circ} \approx \frac{1.414}{2} = 0.707$.
Ответ: $\sin{45^\circ} \approx 0.707$

б) Для нахождения приближенного значения $\tg{30^\circ}$ также обратимся к таблице. Точное значение тангенса этого угла составляет $\tg{30^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Используя приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$, вычисляем: $\tg{30^\circ} \approx \frac{1.732}{3} \approx 0.577$.
Ответ: $\tg{30^\circ} \approx 0.577$

в) Приближенное значение для $\sin{60^\circ}$ находим аналогичным образом. Точное значение $\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставляя приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$, получаем: $\sin{60^\circ} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$. Это и есть табличное значение.
Ответ: $\sin{60^\circ} \approx 0.866$

г) Для нахождения приближенного значения $\tg{60^\circ}$ используем таблицу. Точное значение этой функции равно $\tg{60^\circ} = \sqrt{3}$. Приближенное значение, которое можно найти в таблице, составляет $\sqrt{3} \approx 1.732$.
Ответ: $\tg{60^\circ} \approx 1.732$

5. Может ли:

а) синус;

б) косинус угла быть больше 1?

а) синус

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим определение синуса угла. В прямоугольном треугольнике синус острого угла $\alpha$ определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, то есть ее длина всегда больше длины любого из катетов. Следовательно, отношение длины катета к длине гипотенузы всегда будет числом, меньшим или равным 1. Равенство 1 достигается только в вырожденном случае, когда угол равен $90^\circ$, и противолежащий катет совпадает с гипотенузой.

Другой способ рассуждения — через единичную окружность. Синус угла — это ордината (координата $y$) точки на единичной окружности, соответствующей этому углу. Поскольку радиус окружности равен 1, значения ординат всех ее точек лежат в диапазоне от -1 до 1. Таким образом, максимальное значение, которое может принимать синус, равно 1.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ следует, что $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$. Так как $\cos^2(\alpha) \ge 0$, то $\sin^2(\alpha) \le 1$. Это означает, что $-1 \le \sin(\alpha) \le 1$. Следовательно, синус угла не может быть больше 1.

Ответ: нет, синус угла не может быть больше 1. Его значения лежат в пределах от -1 до 1 включительно.

б) косинус

Рассмотрим определение косинуса угла. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла $\alpha$ — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

Как и в случае с синусом, гипотенуза всегда длиннее катета. Поэтому отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы всегда будет меньше или равно 1. Равенство 1 достигается, когда угол равен $0^\circ$, и прилежащий катет совпадает с гипотенузой.

Если использовать единичную окружность, то косинус угла — это абсцисса (координата $x$) точки на этой окружности. Так как радиус окружности равен 1, значения абсцисс всех ее точек лежат в диапазоне от -1 до 1. Следовательно, максимальное значение косинуса равно 1.

Аналогично синусу, из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ следует, что $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$. Так как $\sin^2(\alpha) \ge 0$, то $\cos^2(\alpha) \le 1$. Это означает, что $-1 \le \cos(\alpha) \le 1$. Таким образом, косинус угла не может быть больше 1.

Ответ: нет, косинус угла не может быть больше 1. Его значения также лежат в пределах от -1 до 1 включительно.

6. Может ли:

а) тангенс;

б) котангенс угла равняться 10?

а) тангенс;
Да, тангенс угла может равняться 10. Чтобы это показать, можно использовать два подхода.

1. Геометрический подход. Тангенс острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. Это отношение может быть любым положительным числом. Мы можем легко представить прямоугольный треугольник, у которого катеты равны, например, 10 см и 1 см. Для угла $\alpha$, противолежащего катету длиной 10 см, тангенс будет равен: $tg(\alpha) = \frac{10}{1} = 10$.

2. Функциональный подход. Областью значений тригонометрической функции $y = tg(x)$ является множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Поскольку 10 — это действительное число, оно входит в область значений тангенса. Это означает, что обязательно существует такой угол $x$, для которого $tg(x) = 10$. Этот угол можно найти с помощью арктангенса: $x = arctg(10)$.

Ответ: да, может.

б) котангенс;
Да, котангенс угла также может равняться 10. Объяснение аналогично предыдущему пункту.

1. Геометрический подход. Котангенс острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике — это отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета. Для прямоугольного треугольника с катетами 10 см и 1 см котангенс угла $\alpha$, прилежащего к катету длиной 10 см, будет равен: $ctg(\alpha) = \frac{10}{1} = 10$.

2. Функциональный подход. Область значений функции $y = ctg(x)$ также является множеством всех действительных чисел: $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Число 10 принадлежит этой области, следовательно, существует такой угол $x$, для которого $ctg(x) = 10$. Данный угол равен $x = arcctg(10)$.

Ответ: да, может.

7. На клетчатой бумаге изобразите угол, котангенс которого равен:

а) $0,75$;

б) $1,25$.

Для того чтобы изобразить угол по известному значению его котангенса на клетчатой бумаге, мы используем прямоугольный треугольник. Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета. Формула выглядит так: $ctg(\alpha) = \frac{прилежащий \ катет}{противолежащий \ катет}$. Мы можем использовать стороны клеток в качестве единиц измерения для построения катетов.

а)

Необходимо изобразить угол $\alpha$, котангенс которого равен 0,75.
1. Сначала представим десятичную дробь 0,75 в виде обыкновенной дроби. Это поможет нам определить длины катетов. $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{3}{4}$.
2. Таким образом, мы имеем $ctg(\alpha) = \frac{3}{4}$. Это означает, что для искомого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике отношение прилежащего катета к противолежащему катету равно 3 к 4.
3. Теперь построим этот треугольник на клетчатой бумаге. Выберем длины катетов, равные 3 и 4 клеткам.
- Отметим точку A, которая будет вершиной искомого угла.
- От точки A вправо по линиям сетки отложим 3 клетки и поставим точку C. Отрезок AC — это прилежащий катет.
- От точки C вверх по линиям сетки отложим 4 клетки и поставим точку B. Отрезок CB — это противолежащий катет. Угол при вершине C будет прямым.
- Соединим точки A и B, чтобы получить гипотенузу AB.
Полученный угол $\angle BAC$ и есть искомый угол $\alpha$, так как его котангенс равен отношению прилежащего катета AC к противолежащему катету CB: $ctg(\alpha) = \frac{AC}{CB} = \frac{3}{4} = 0,75$.
Ответ: Искомый угол — это острый угол прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 клетки, который прилежит к катету длиной 3 клетки.

б)

Необходимо изобразить угол $\beta$, котангенс которого равен 1,25.
1. Представим десятичную дробь 1,25 в виде обыкновенной дроби. $1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5 \times 25}{4 \times 25} = \frac{5}{4}$.
2. Таким образом, мы имеем $ctg(\beta) = \frac{5}{4}$. Это означает, что для искомого угла $\beta$ в прямоугольном треугольнике отношение прилежащего катета к противолежащему катету равно 5 к 4.
3. Построим соответствующий треугольник на клетчатой бумаге, выбрав длины катетов равными 5 и 4 клеткам.
- Отметим точку D, которая будет вершиной искомого угла.
- От точки D вправо по линиям сетки отложим 5 клеток и поставим точку F. Отрезок DF — это прилежащий катет.
- От точки F вверх по линиям сетки отложим 4 клетки и поставим точку E. Отрезок FE — это противолежащий катет. Угол при вершине F будет прямым.
- Соединим точки D и E, чтобы получить гипотенузу DE.
Полученный угол $\angle EDF$ и есть искомый угол $\beta$, так как его котангенс равен отношению прилежащего катета DF к противолежащему катету FE: $ctg(\beta) = \frac{DF}{FE} = \frac{5}{4} = 1,25$.
Ответ: Искомый угол — это острый угол прямоугольного треугольника с катетами 5 и 4 клетки, который прилежит к катету длиной 5 клеток.

8. В каких пределах могут изменяться:

а) синус;

б) косинус острого угла?

а) синус
Острым углом называется угол $\alpha$, который удовлетворяет неравенству $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Для определения пределов изменения синуса острого угла рассмотрим прямоугольный треугольник. Синус острого угла $\alpha$ в нем определяется как отношение длины противолежащего катета ($a$) к длине гипотенузы ($c$):
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$
Поскольку длины сторон треугольника всегда положительны, $a > 0$ и $c > 0$. Следовательно, их отношение, синус, также будет положительным: $\sin(\alpha) > 0$.
В прямоугольном треугольнике любой катет всегда короче гипотенузы, то есть $a < c$. Если разделить обе части этого неравенства на положительное число $c$, получим $\frac{a}{c} < 1$, или $\sin(\alpha) < 1$.
Объединяя эти два условия, получаем, что синус острого угла заключен в пределах от 0 до 1. При этом, поскольку острый угол строго больше $0^\circ$ и строго меньше $90^\circ$, значения синуса не достигают граничных значений 0 и 1. Значение $\sin(\alpha)$ стремится к 0, когда $\alpha$ стремится к $0^\circ$, и стремится к 1, когда $\alpha$ стремится к $90^\circ$.
Таким образом, синус острого угла может принимать любое значение из интервала (0, 1).
Ответ: синус острого угла может изменяться в пределах от 0 до 1, не включая эти значения, то есть $0 < \sin(\alpha) < 1$.

б) косинус
Аналогично рассмотрим косинус острого угла $\alpha$. В прямоугольном треугольнике он определяется как отношение длины прилежащего катета ($b$) к длине гипотенузы ($c$):
$\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$
Длины сторон $b$ и $c$ положительны, поэтому $\cos(\alpha) > 0$.
Прилежащий катет также всегда короче гипотенузы, то есть $b < c$. Разделив это неравенство на $c$, получим $\frac{b}{c} < 1$, или $\cos(\alpha) < 1$.
Таким образом, косинус острого угла также заключен в пределах от 0 до 1. Граничные значения не достигаются, так как угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Значение $\cos(\alpha)$ стремится к 1, когда $\alpha$ стремится к $0^\circ$, и стремится к 0, когда $\alpha$ стремится к $90^\circ$.
Следовательно, косинус острого угла может принимать любое значение из интервала (0, 1).
Ответ: косинус острого угла может изменяться в пределах от 0 до 1, не включая эти значения, то есть $0 < \cos(\alpha) < 1$.