Страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

38. Пифагор — один из величайших ученых Древней Греции, а теорема Пифагора — одна из самых главных теорем геометрии (www.math.ru, www.mccme.ru).

Пифагор

Пифагор Самосский (около 570 — около 495 гг. до н. э.) — это один из величайших древнегреческих философов, математиков и мистиков, который основал религиозно-философскую школу, известную как пифагореизм. Его жизнь окутана множеством легенд, и отделить исторические факты от вымысла довольно трудно. Хотя его имя навсегда связано с знаменитой теоремой, вклад Пифагора и его последователей гораздо шире.

Пифагорейцы верили, что в основе всего мироздания лежат числа и числовые отношения. Они сделали важные открытия не только в математике, но и в теории музыки, установив связь между гармоничными музыкальными интервалами и простыми числовыми пропорциями. Их учение оказало огромное влияние на развитие науки и философии, в частности на Платона и Аристотеля.

Ответ: Пифагор — выдающийся древнегреческий ученый, философ и математик, основатель школы пифагореизма, внесший фундаментальный вклад в понимание мира через числа и их соотношения.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора является одной из основополагающих теорем евклидовой геометрии. Она устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Формулировка теоремы следующая: площадь квадрата, построенного на гипотенузе (стороне, лежащей напротив прямого угла), равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (сторонах, прилежащих к прямому углу).

Математически это выражается формулой:

$a^2 + b^2 = c^2$

где $a$ и $b$ — это длины катетов, а $c$ — длина гипотенузы.

Например, если катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см, то длину гипотенузы можно найти так:

$c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$c = \sqrt{169} = 13$ см.

Эта теорема имеет огромное практическое значение и применяется повсеместно: от строительства и архитектуры до навигации и компьютерной графики. Хотя само соотношение было известно и до Пифагора в Вавилоне и Египте, именно греческой школе приписывают его первое строгое математическое доказательство, что закрепило его фундаментальный статус в геометрии.

Ответ: Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$), и является одной из самых важных и широко применяемых теорем в геометрии.

39. Используя теорему Пифагора, попробуйте выяснить, чему равна сумма $\sin^2 A + \cos^2 A$.

Для того чтобы выяснить, чему равна сумма $\sin^2 A + \cos^2 A$, используя теорему Пифагора, необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник. Пусть в этом треугольнике есть острый угол $A$. Обозначим стороны этого треугольника следующим образом:

• $a$ — катет, противолежащий углу $A$;
• $b$ — катет, прилежащий к углу $A$;
• $c$ — гипотенуза.

По определению тригонометрических функций синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике:

Синус угла $A$ — это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.
$\sin A = \frac{a}{c}$

Косинус угла $A$ — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.
$\cos A = \frac{b}{c}$

Теперь найдем сумму квадратов этих величин. Для этого подставим определения синуса и косинуса в искомое выражение:

$\sin^2 A + \cos^2 A = \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2$

Выполним возведение в квадрат и сложим полученные дроби:

$\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим это равенство в числитель нашей дроби:

$\frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$

Таким образом, мы доказали, что $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Это равенство является фундаментальным в тригонометрии и называется основным тригонометрическим тождеством.

Ответ: Сумма $\sin^2 A + \cos^2 A$ равна 1.