Страница 78 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В треугольнике ABC угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin A = \frac{3}{5}$, $BC = 3$. Найдите высоту $CH$.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $\angle C = 90^\circ$, $\sin A = \frac{3}{5}$ и длина катета $BC = 3$. Необходимо найти высоту $CH$.

1. Нахождение гипотенузы AB.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ синус острого угла $A$ определяется как отношение противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$:

$\sin A = \frac{BC}{AB}$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти длину гипотенузы $AB$:

$\frac{3}{5} = \frac{3}{AB}$

Из этого уравнения следует, что $AB = 5$.

2. Нахождение катета AC.

Зная длины гипотенузы $AB$ и катета $BC$, мы можем найти длину второго катета $AC$ с помощью теоремы Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

$AC^2 + 3^2 = 5^2$

$AC^2 + 9 = 25$

$AC^2 = 25 - 9 = 16$

$AC = \sqrt{16} = 4$

3. Нахождение высоты CH.

Существует несколько способов найти высоту $CH$.

Способ 1: Через площадь треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения катетов, а также как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$

Приравняем эти два выражения:

$AC \cdot BC = AB \cdot CH$

Выразим высоту $CH$ и подставим найденные значения сторон:

$CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$

Способ 2: Через тригонометрию в треугольнике ACH.

Рассмотрим треугольник $ACH$. Так как $CH$ — высота, то $\angle CHA = 90^\circ$, и треугольник $ACH$ является прямоугольным. В этом треугольнике $CH$ — катет, противолежащий углу $A$, а $AC$ — гипотенуза. По определению синуса:

$\sin A = \frac{CH}{AC}$

Отсюда выражаем $CH$:

$CH = AC \cdot \sin A$

Подставляем известные значения $AC=4$ и $\sin A = \frac{3}{5}$:

$CH = 4 \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 2.4

32. В треугольнике $\triangle ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos A = \frac{4}{5}$, $BC = 3$, $CH$ — высота. Найдите $AH$.

Дано: треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, $\cos A = \frac{4}{5}$, $BC = 3$. $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$.

Для нахождения длины отрезка $AH$ можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Через тригонометрические соотношения в двух треугольниках

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Найдем катет $AC$. Для этого сначала найдем тангенс угла $A$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Так как $A$ — острый угол, его синус положителен.
$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
Теперь можем найти тангенс угла $A$:
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.

2. В треугольнике $ABC$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$:
$\tan A = \frac{BC}{AC}$.
Подставим известные значения:
$\frac{3}{4} = \frac{3}{AC}$.
Отсюда находим, что $AC = 4$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $ACH$. Поскольку $CH$ — высота, то угол $\angle CHA = 90^\circ$, и треугольник $ACH$ является прямоугольным. В этом треугольнике $AH$ — это катет, прилежащий к углу $A$, а $AC$ — гипотенуза.
По определению косинуса в прямоугольном треугольнике $ACH$ имеем:
$\cos A = \frac{AH}{AC}$.
Подставим известные значения $\cos A = \frac{4}{5}$ и $AC = 4$:
$\frac{4}{5} = \frac{AH}{4}$.
Выразим $AH$:
$AH = 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{5} = 3,2$.

Способ 2: Через метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

1. Сначала найдем длины сторон $AC$ и $AB$ в треугольнике $ABC$. Как и в первом способе (шаги 1 и 2), находим, что $AC = 4$.

2. Найдем гипотенузу $AB$. Мы можем сделать это, используя косинус угла $A$:
$\cos A = \frac{AC}{AB}$.
$\frac{4}{5} = \frac{4}{AB}$.
Отсюда следует, что $AB = 5$.

3. В прямоугольном треугольнике существует метрическое соотношение: квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Отрезок $AH$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу $AB$. Таким образом, справедливо равенство:
$AC^2 = AH \cdot AB$.
Подставим известные значения $AC=4$ и $AB=5$ в эту формулу:
$4^2 = AH \cdot 5$
$16 = 5 \cdot AH$
$AH = \frac{16}{5} = 3,2$.

Ответ: 3,2

33. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$, $\sin A = \frac{3}{5}$, $AC = 4$, $CH$ — высота. Найдите $BH$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ известны катет $AC=4$ и синус угла $A$: $\sin A = \frac{3}{5}$.
Сначала найдем косинус угла $A$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Поскольку угол $A$ является острым углом в прямоугольном треугольнике, его косинус положителен.
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
В треугольнике $ABC$ косинус угла $A$ определяется как отношение прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$: $\cos A = \frac{AC}{AB}$.
Подставим известные значения: $\frac{4}{5} = \frac{4}{AB}$.
Из этого уравнения находим гипотенузу: $AB = 5$.
Теперь найдем второй катет $BC$. Синус угла $A$ — это отношение противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$: $\sin A = \frac{BC}{AB}$.
Подставим известные значения: $\frac{3}{5} = \frac{BC}{5}$.
Отсюда находим катет $BC = 3$.
Высота $CH$, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, делит гипотенузу на два отрезка: $AH$ и $BH$. Отрезок $BH$ является проекцией катета $BC$ на гипотенузу $AB$. В прямоугольном треугольнике существует метрическое соотношение: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета $BC$ это соотношение выглядит так: $BC^2 = AB \cdot BH$.
Подставим найденные длины сторон $BC=3$ и $AB=5$ в эту формулу:
$3^2 = 5 \cdot BH$
$9 = 5 \cdot BH$
$BH = \frac{9}{5} = 1.8$
Ответ: 1.8

34. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $AC = 6$, $\sin C = \frac{4}{5}$. Найдите высоту $CH$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, угол $A$ равен углу $C$.

$\angle A = \angle C$

Из этого следует, что синусы этих углов также равны:

$\sin A = \sin C = \frac{4}{5}$

Рассмотрим высоту $CH$. Она проведена из вершины $C$ к стороне $AB$. Таким образом, треугольник $AHC$ является прямоугольным, где угол $H$ прямой ($\angle AHC = 90^\circ$), $AC$ — гипотенуза, а $CH$ — катет, лежащий напротив угла $A$.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для треугольника $AHC$ это записывается так:

$\sin A = \frac{CH}{AC}$

Нам известны значения $\sin A$ и $AC$. Подставим их в формулу:

$\frac{4}{5} = \frac{CH}{6}$

Теперь выразим из этого уравнения высоту $CH$:

$CH = 6 \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{5} = 4.8$

Ответ: 4.8

35. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, $AC = 5$, $\cos C = 0,8$. Найдите высоту $CH$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), то треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle A = \angle C$.

По условию задачи нам известен косинус угла $C$: $\cos C = 0,8$. Так как $\angle A = \angle C$, то и $\cos A = 0,8$.

Высота $CH$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Таким образом, треугольник $AHC$ является прямоугольным (с прямым углом $\angle AHC$). В этом треугольнике гипотенузой является сторона $AC$, а искомая высота $CH$ — катетом, противолежащим углу $A$.

Для нахождения катета $CH$ нам потребуется синус угла $A$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.

Вычислим $\sin A$:
$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.
Так как $A$ — это угол в треугольнике, его синус положителен, поэтому:
$\sin A = \sqrt{0,36} = 0,6$.

В прямоугольном треугольнике $AHC$ синус угла $A$ определяется как отношение противолежащего катета $CH$ к гипотенузе $AC$:
$\sin A = \frac{CH}{AC}$.

Отсюда мы можем выразить и найти длину высоты $CH$:
$CH = AC \cdot \sin A$.
Подставим известные значения $AC=5$ и $\sin A = 0,6$:
$CH = 5 \cdot 0,6 = 3$.

Ответ: 3

36. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 1$, угол $C$ равен $120^\circ$. Найдите высоту $AH$.

В треугольнике $ABC$ дан угол $\angle C = 120^\circ$, который является тупым. Высота $AH$, проведенная из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$, будет падать на продолжение этой стороны за точку $C$. Таким образом, образуется прямоугольный треугольник $ACH$ с прямым углом $\angle AHC = 90^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике $ACH$ сторона $AC$ является гипотенузой. По условию задачи, $AC = 1$.

Угол $\angle ACH$ является смежным с углом $\angle BCA$ (то есть с углом $C$ исходного треугольника). Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle ACH$:

$\angle ACH = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $ACH$ нам известна гипотенуза $AC = 1$ и угол $\angle ACH = 60^\circ$. Искомая высота $AH$ является катетом, противолежащим этому углу. Для нахождения длины катета $AH$ воспользуемся определением синуса:

$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$

Выразим отсюда $AH$ и подставим известные значения:

$AH = AC \cdot \sin(\angle ACH) = 1 \cdot \sin(60^\circ)$

Так как значение синуса $60^\circ$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$AH = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

37. В треугольнике ABC $AC = BC$, угол $C$ равен $120^\circ$, $AB = 1$. Найдите $AC$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны, треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона $AB$, следовательно, углы $\angle A$ и $\angle B$ равны.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Зная, что $\angle C = 120^\circ$, мы можем найти углы $\angle A$ и $\angle B$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
$\angle A + \angle A + 120^\circ = 180^\circ$
$2\angle A = 180^\circ - 120^\circ$
$2\angle A = 60^\circ$
$\angle A = \angle B = 30^\circ$

Теперь мы можем использовать теорему синусов, которая гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:
$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим известные значения в формулу: сторону $AB = 1$, угол $\angle B = 30^\circ$ и угол $\angle C = 120^\circ$.
$\frac{AC}{\sin(30^\circ)} = \frac{1}{\sin(120^\circ)}$

Найдем значения синусов:
$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в наше уравнение:
$\frac{AC}{1/2} = \frac{1}{\sqrt{3}/2}$
$2 \cdot AC = \frac{2}{\sqrt{3}}$
$AC = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$AC = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

38. В треугольнике $ABC$ $AC = BC$, угол $C$ равен $120^\circ$, $AC = 1$. Найдите $AB$.

В данной задаче нам дан треугольник $ABC$, в котором стороны $AC$ и $BC$ равны, что означает, что треугольник является равнобедренным. Длины равных сторон составляют $AC = BC = 1$. Угол, заключенный между этими сторонами, $\angle C$, равен $120^\circ$. Нам необходимо найти длину третьей стороны, $AB$.Для нахождения стороны треугольника, когда известны две другие стороны и угол между ними, наиболее удобным методом является теорема косинусов.Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.Применительно к нашему треугольнику для стороны $AB$ формула будет выглядеть так:$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$Подставим известные нам значения в эту формулу:$AB^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$Для дальнейших вычислений нам нужно найти значение $\cos(120^\circ)$. Используя формулу приведения, получаем:$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$Теперь подставим это значение обратно в наше уравнение:$AB^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})$$AB^2 = 2 - (-1)$$AB^2 = 2 + 1$$AB^2 = 3$Чтобы найти длину стороны $AB$, извлечем квадратный корень из полученного результата:$AB = \sqrt{3}$Таким образом, длина стороны $AB$ составляет $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

39. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 1$, угол $C$ равен $135^\circ$. Найдите высоту $AH$.

В треугольнике $ABC$ даны стороны $AC = BC = 1$ и угол $\angle C = 135^\circ$. Необходимо найти длину высоты $AH$.

Высота $AH$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Поскольку угол $C$ является тупым ($135^\circ > 90^\circ$), основание высоты, точка $H$, будет лежать на продолжении стороны $BC$ за точку $C$.

В результате мы получаем прямоугольный треугольник $AHC$, в котором $\angle AHC = 90^\circ$. Сторона $AC$ является гипотенузой этого треугольника, и её длина по условию равна 1.

Угол $\angle ACH$ является смежным с углом $\angle ACB$. Сумма смежных углов составляет $180^\circ$. Следовательно, мы можем найти величину угла $\angle ACH$:
$\angle ACH = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $AHC$ нам известен острый угол $\angle ACH = 45^\circ$ и гипотенуза $AC = 1$. Искомая высота $AH$ является катетом, противолежащим углу $\angle ACH$. Для нахождения длины этого катета воспользуемся определением синуса:
$\sin(\angle ACH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AC}$

Выразим $AH$ из этой формулы:
$AH = AC \cdot \sin(\angle ACH)$

Подставим известные значения и вычислим длину высоты $AH$:
$AH = 1 \cdot \sin(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

40. В треугольнике ABC $AC = BC = 1$, угол C равен $150^\circ$. Найдите высоту $AH$.

Поскольку угол C в треугольнике ABC тупой ($150° > 90°$), высота AH, опущенная из вершины A на сторону BC, будет находиться вне треугольника, на продолжении стороны BC за точку C.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. В нем:

1. $∠AHC = 90°$, так как AH — высота.

2. Гипотенуза AC = 1 по условию.

3. Угол ACH является смежным с углом BCA. Сумма смежных углов равна 180°, поэтому:

$∠ACH = 180° - ∠BCA = 180° - 150° = 30°$.

В прямоугольном треугольнике AHC катет AH лежит напротив угла $∠ACH = 30°$. Длина катета, лежащего напротив угла в 30°, равна половине длины гипотенузы.

Следовательно, $AH = \frac{1}{2} \cdot AC$.

Подставим известное значение AC:

$AH = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$.

Или используя определение синуса:

$sin(∠ACH) = \frac{AH}{AC}$

$AH = AC \cdot sin(∠ACH) = 1 \cdot sin(30°) = 1 \cdot 0.5 = 0.5$.

Ответ: 0.5

41. Попробуйте определить тригонометрические функции для прямого
и тупого углов.

Для определения тригонометрических функций углов, которые не являются острыми (т.е. для прямого, тупого, развернутого и т.д. углов), традиционное определение через соотношения сторон в прямоугольном треугольнике расширяют с помощью единичной окружности в декартовой системе координат.

Рассмотрим окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R=1$. Угол $\alpha$ откладывается от положительного направления оси Ox против часовой стрелки. Конечная сторона угла пересекает единичную окружность в точке $P$ с координатами $(x, y)$.

Тригонометрические функции для любого угла $\alpha$ определяются через координаты этой точки:
• Синус угла: $\sin(\alpha) = y$
• Косинус угла: $\cos(\alpha) = x$
• Тангенс угла: $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$ (при $x \neq 0$)
• Котангенс угла: $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$ (при $y \neq 0$)

Используя это общее определение, найдем значения функций для прямого и тупого углов.

Тригонометрические функции для прямого угла

Прямой угол равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан. Если отложить этот угол от положительного направления оси Ox, его конечная сторона совпадет с положительным направлением оси Oy.

Точка пересечения этой стороны с единичной окружностью имеет координаты $P(0, 1)$. Таким образом, для угла $\alpha = 90^\circ$ мы имеем $x = 0$ и $y = 1$.

Подставим эти значения в определения тригонометрических функций:
• $\sin(90^\circ) = y = 1$
• $\cos(90^\circ) = x = 0$
• $\tan(90^\circ) = \frac{y}{x} = \frac{1}{0}$. Деление на ноль невозможно, поэтому тангенс для прямого угла не определен.
• $\cot(90^\circ) = \frac{x}{y} = \frac{0}{1} = 0$

Ответ: Для прямого угла ($\alpha = 90^\circ$): $\sin(90^\circ) = 1$, $\cos(90^\circ) = 0$, $\cot(90^\circ) = 0$, а $\tan(90^\circ)$ не определен.

Тригонометрические функции для тупого угла

Тупой угол $\alpha$ — это угол, который удовлетворяет неравенству $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (или $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$). В декартовой системе координат конечная сторона такого угла находится во второй координатной четверти.

Для любой точки $P(x, y)$ во второй четверти ее абсцисса (координата $x$) отрицательна ($x < 0$), а ордината (координата $y$) положительна ($y > 0$).

Следовательно, знаки тригонометрических функций для тупого угла $\alpha$ будут следующими:
• $\sin(\alpha) = y > 0$ (синус тупого угла положителен).
• $\cos(\alpha) = x < 0$ (косинус тупого угла отрицателен).
• $\tan(\alpha) = \frac{y}{x}$. Так как $y > 0$ и $x < 0$, их отношение будет отрицательным, то есть $\tan(\alpha) < 0$.
• $\cot(\alpha) = \frac{x}{y}$. Так как $x < 0$ и $y > 0$, их отношение будет отрицательным, то есть $\cot(\alpha) < 0$.

Для вычисления конкретных значений можно использовать формулы приведения. Если $\alpha$ — тупой угол, то угол $\beta = 180^\circ - \alpha$ является острым. Значения тригонометрических функций для угла $\alpha$ связаны со значениями для угла $\beta$ следующими соотношениями:
• $\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)$
• $\cos(\alpha) = -\cos(180^\circ - \alpha)$
• $\tan(\alpha) = -\tan(180^\circ - \alpha)$
• $\cot(\alpha) = -\cot(180^\circ - \alpha)$

Например, для угла $135^\circ$ смежный острый угол равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Тогда:
$\sin(135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tan(135^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$

Ответ: Для тупого угла $\alpha$ ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$): синус положителен ($\sin(\alpha) > 0$), а косинус, тангенс и котангенс отрицательны ($\cos(\alpha) < 0$, $\tan(\alpha) < 0$, $\cot(\alpha) < 0$). Их значения могут быть найдены через значения функций смежного с ним острого угла $\beta = 180^\circ - \alpha$ с помощью формул приведения.