Номер 33, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

33. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$, $\sin A = \frac{3}{5}$, $AC = 4$, $CH$ — высота. Найдите $BH$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ известны катет $AC=4$ и синус угла $A$: $\sin A = \frac{3}{5}$.
Сначала найдем косинус угла $A$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Поскольку угол $A$ является острым углом в прямоугольном треугольнике, его косинус положителен.
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
В треугольнике $ABC$ косинус угла $A$ определяется как отношение прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$: $\cos A = \frac{AC}{AB}$.
Подставим известные значения: $\frac{4}{5} = \frac{4}{AB}$.
Из этого уравнения находим гипотенузу: $AB = 5$.
Теперь найдем второй катет $BC$. Синус угла $A$ — это отношение противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$: $\sin A = \frac{BC}{AB}$.
Подставим известные значения: $\frac{3}{5} = \frac{BC}{5}$.
Отсюда находим катет $BC = 3$.
Высота $CH$, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, делит гипотенузу на два отрезка: $AH$ и $BH$. Отрезок $BH$ является проекцией катета $BC$ на гипотенузу $AB$. В прямоугольном треугольнике существует метрическое соотношение: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета $BC$ это соотношение выглядит так: $BC^2 = AB \cdot BH$.
Подставим найденные длины сторон $BC=3$ и $AB=5$ в эту формулу:
$3^2 = 5 \cdot BH$
$9 = 5 \cdot BH$
$BH = \frac{9}{5} = 1.8$
Ответ: 1.8