Номер 32, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

32. В треугольнике $\triangle ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos A = \frac{4}{5}$, $BC = 3$, $CH$ — высота. Найдите $AH$.

Дано: треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, $\cos A = \frac{4}{5}$, $BC = 3$. $CH$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$.

Для нахождения длины отрезка $AH$ можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Через тригонометрические соотношения в двух треугольниках

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Найдем катет $AC$. Для этого сначала найдем тангенс угла $A$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Так как $A$ — острый угол, его синус положителен.
$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
Теперь можем найти тангенс угла $A$:
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.

2. В треугольнике $ABC$ тангенс угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к прилежащему катету $AC$:
$\tan A = \frac{BC}{AC}$.
Подставим известные значения:
$\frac{3}{4} = \frac{3}{AC}$.
Отсюда находим, что $AC = 4$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $ACH$. Поскольку $CH$ — высота, то угол $\angle CHA = 90^\circ$, и треугольник $ACH$ является прямоугольным. В этом треугольнике $AH$ — это катет, прилежащий к углу $A$, а $AC$ — гипотенуза.
По определению косинуса в прямоугольном треугольнике $ACH$ имеем:
$\cos A = \frac{AH}{AC}$.
Подставим известные значения $\cos A = \frac{4}{5}$ и $AC = 4$:
$\frac{4}{5} = \frac{AH}{4}$.
Выразим $AH$:
$AH = 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{5} = 3,2$.

Способ 2: Через метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

1. Сначала найдем длины сторон $AC$ и $AB$ в треугольнике $ABC$. Как и в первом способе (шаги 1 и 2), находим, что $AC = 4$.

2. Найдем гипотенузу $AB$. Мы можем сделать это, используя косинус угла $A$:
$\cos A = \frac{AC}{AB}$.
$\frac{4}{5} = \frac{4}{AB}$.
Отсюда следует, что $AB = 5$.

3. В прямоугольном треугольнике существует метрическое соотношение: квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Отрезок $AH$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу $AB$. Таким образом, справедливо равенство:
$AC^2 = AH \cdot AB$.
Подставим известные значения $AC=4$ и $AB=5$ в эту формулу:
$4^2 = AH \cdot 5$
$16 = 5 \cdot AH$
$AH = \frac{16}{5} = 3,2$.

Ответ: 3,2