Номер 31, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В треугольнике ABC угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin A = \frac{3}{5}$, $BC = 3$. Найдите высоту $CH$.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $\angle C = 90^\circ$, $\sin A = \frac{3}{5}$ и длина катета $BC = 3$. Необходимо найти высоту $CH$.

1. Нахождение гипотенузы AB.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ синус острого угла $A$ определяется как отношение противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$:

$\sin A = \frac{BC}{AB}$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти длину гипотенузы $AB$:

$\frac{3}{5} = \frac{3}{AB}$

Из этого уравнения следует, что $AB = 5$.

2. Нахождение катета AC.

Зная длины гипотенузы $AB$ и катета $BC$, мы можем найти длину второго катета $AC$ с помощью теоремы Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

$AC^2 + 3^2 = 5^2$

$AC^2 + 9 = 25$

$AC^2 = 25 - 9 = 16$

$AC = \sqrt{16} = 4$

3. Нахождение высоты CH.

Существует несколько способов найти высоту $CH$.

Способ 1: Через площадь треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения катетов, а также как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$

Приравняем эти два выражения:

$AC \cdot BC = AB \cdot CH$

Выразим высоту $CH$ и подставим найденные значения сторон:

$CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$

Способ 2: Через тригонометрию в треугольнике ACH.

Рассмотрим треугольник $ACH$. Так как $CH$ — высота, то $\angle CHA = 90^\circ$, и треугольник $ACH$ является прямоугольным. В этом треугольнике $CH$ — катет, противолежащий углу $A$, а $AC$ — гипотенуза. По определению синуса:

$\sin A = \frac{CH}{AC}$

Отсюда выражаем $CH$:

$CH = AC \cdot \sin A$

Подставляем известные значения $AC=4$ и $\sin A = \frac{3}{5}$:

$CH = 4 \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 2.4