Номер 29, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

29. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ – высота, $AB = 5$, $\cos A = 0,8$. Найдите $AH$.

Дано: треугольник $ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $CH$ — высота, $AB = 5$, $cos A = 0,8$.
Найти: $AH$.

Решение:

Способ 1: через два треугольника

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. По определению косинуса острого угла, косинус угла $A$ равен отношению прилежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$: $cos A = \frac{AC}{AB}$

Из этой формулы мы можем найти длину катета $AC$. Нам известны $AB = 5$ и $cos A = 0,8$: $AC = AB \cdot cos A = 5 \cdot 0,8 = 4$

2. Теперь рассмотрим треугольник $ACH$. Поскольку $CH$ — это высота, опущенная на сторону $AB$, то угол $\angle CHA$ прямой и равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $ACH$ также является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ACH$ сторона $AC$ является гипотенузой, а $AH$ — катетом, прилежащим к углу $A$. Снова воспользуемся определением косинуса для угла $A$: $cos A = \frac{AH}{AC}$

Выразим из этой формулы искомую длину $AH$: $AH = AC \cdot cos A$

Подставим уже известные нам значения $AC = 4$ и $cos A = 0,8$: $AH = 4 \cdot 0,8 = 3,2$

Способ 2: через метрические соотношения

1. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для катета $AC$ и его проекции $AH$ на гипотенузу $AB$ это соотношение записывается как: $AC^2 = AB \cdot AH$

2. Чтобы использовать эту формулу, нам сначала нужно найти длину катета $AC$. Как и в первом способе, находим $AC$ из треугольника $ABC$: $cos A = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AC = AB \cdot cos A = 5 \cdot 0,8 = 4$

3. Теперь подставим значения $AC=4$ и $AB=5$ в метрическое соотношение и найдем $AH$: $4^2 = 5 \cdot AH$
$16 = 5 \cdot AH$
$AH = \frac{16}{5} = 3,2$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $3,2$