Номер 24, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ – высота, угол $A$ равен $30^\circ$, $AC = 1$. Найдите $BH$.

По условию, в треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, и катет $AC = 1$. $CH$ является высотой, опущенной на гипотенузу $AB$, поэтому треугольник $ACH$ также является прямоугольным ($\angle CHA = 90^\circ$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Катет $CH$ лежит напротив угла $A$. Его длину можно найти, используя определение синуса: $CH = AC \cdot \sin(\angle A) = 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем угол $B$ в исходном треугольнике $ABC$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а угол $C$ прямой, то сумма острых углов $A$ и $B$ равна $90^\circ$: $\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$, в котором $\angle CHB = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известен угол $\angle B = 60^\circ$ и длина катета $CH = \frac{1}{2}$. Искомый отрезок $BH$ является вторым катетом этого треугольника. Чтобы найти $BH$, мы можем использовать тангенс угла $\angle BCH$. Найдем сначала этот угол: $\angle BCH = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Теперь, зная катет $CH$ и прилежащий к нему угол $\angle BCH$, мы можем найти противолежащий катет $BH$ с помощью определения тангенса: $\tan(\angle BCH) = \frac{BH}{CH}$ Выражаем отсюда $BH$: $BH = CH \cdot \tan(\angle BCH) = \frac{1}{2} \cdot \tan(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$