Номер 21, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

21. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$, угол A равен $30^\circ$, $AB = 1$.

Найдите высоту $CH$.

В данном нам прямоугольном треугольнике $ABC$ известны: гипотенуза $AB = 1$, угол $\angle C = 90^\circ$ и угол $\angle A = 30^\circ$. Требуется найти длину высоты $CH$, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Один из способов решения этой задачи — через площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:
1. Как половина произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$.
2. Как половина произведения основания (гипотенузы) на высоту, проведенную к нему: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$.

Приравняв эти два выражения для площади, мы получим формулу для высоты: $\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$ $AC \cdot BC = AB \cdot CH$ $CH = \frac{AC \cdot BC}{AB}$

Чтобы воспользоваться этой формулой, нам необходимо найти длины катетов $AC$ и $BC$. Сделаем это, используя определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике $ABC$.

Катет $BC$ противолежит углу $A = 30^\circ$, поэтому его длина равна: $BC = AB \cdot \sin(\angle A) = 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Катет $AC$ прилежит к углу $A = 30^\circ$, поэтому его длина равна: $AC = AB \cdot \cos(\angle A) = 1 \cdot \cos(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь мы можем подставить найденные длины катетов и известную длину гипотенузы в нашу формулу для высоты $CH$: $CH = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.