Номер 15, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, угол $A$ равен $45^\circ$, $AB = 1$. Найдите $BH$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, он является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$. Также известно, что $\angle A = 45^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем величину угла $B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку $\angle A = \angle B = 45^\circ$, треугольник $ABC$ является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: $AC = BC$.

Рассмотрим треугольник $BCH$. Так как $CH$ — высота, проведенная к стороне $AB$, то угол $\angle CHB$ является прямым, $\angle CHB = 90^\circ$. Треугольник $BCH$ — прямоугольный.

В треугольнике $BCH$ мы знаем два угла: $\angle B = 45^\circ$ и $\angle CHB = 90^\circ$. Найдем третий угол $\angle BCH$:

$\angle BCH = 180^\circ - \angle CHB - \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как в треугольнике $BCH$ два угла равны ($\angle B = \angle BCH = 45^\circ$), он также является равнобедренным, и его катеты $BH$ и $CH$ равны: $BH = CH$.

Теперь воспользуемся тригонометрическими соотношениями. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $BC$ связан с гипотенузой $AB$ через косинус прилежащего угла $B$:

$BC = AB \cdot \cos(\angle B)$

Подставим известные значения $AB = 1$ и $\angle B = 45^\circ$:

$BC = 1 \cdot \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $BCH$. В нем катет $BH$ связан с гипотенузой $BC$ через косинус прилежащего угла $B$:

$BH = BC \cdot \cos(\angle B)$

Подставим найденное значение $BC = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и известный угол $\angle B = 45^\circ$:

$BH = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: $0.5$