Номер 8, страница 76 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $45^\circ$, $AC = 1$.
Найдите $AB$.

В данном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90°$, следовательно, треугольник является прямоугольным. Стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а $AB$ — гипотенузой.

Способ 1: Использование свойств равнобедренного треугольника и теоремы Пифагора.
Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Найдем угол $B$:
$\angle B = 180° - \angle C - \angle A = 180° - 90° - 45° = 45°$.
Поскольку $\angle A = \angle B = 45°$, треугольник $ABC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, катет $BC$ равен катету $AC$.
Так как по условию $AC = 1$, то и $BC = 1$.
Теперь для нахождения гипотенузы $AB$ воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
Подставим известные значения:
$AB^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$
$AB = \sqrt{2}$

Способ 2: Использование тригонометрических функций.
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $A$ имеем:
$\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB}$
Выразим из этого соотношения гипотенузу $AB$:
$AB = \frac{AC}{\cos(\angle A)}$
Подставим известные значения $AC = 1$ и $\angle A = 45°$:
$AB = \frac{1}{\cos(45°)}$
Значение косинуса $45°$ является табличным: $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставим это значение в нашу формулу:
$AB = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$AB = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$