Номер 30, страница 77 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

30. В треугольнике ABC угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $AB = 5$, $\sin A = 0.6$. Найдите $BH$.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = 5$ и $\sin A = 0.6$. $CH$ — это высота, опущенная на гипотенузу. Требуется найти длину отрезка $BH$.

Сначала рассмотрим большой прямоугольный треугольник $ABC$. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, $\sin A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$. Мы можем использовать это для нахождения длины катета $BC$: $BC = AB \cdot \sin A = 5 \cdot 0.6 = 3$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCH$. Поскольку $CH$ является высотой, она перпендикулярна гипотенузе $AB$, поэтому угол $\angle CHB$ равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $BCH$ также является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов $\angle A$ и $\angle B$ равна $90^\circ$, то есть $\angle B = 90^\circ - \angle A$. В свою очередь, в прямоугольном треугольнике $BCH$ сумма острых углов $\angle B$ и $\angle BCH$ также равна $90^\circ$, откуда $\angle BCH = 90^\circ - \angle B$. Подставив в это равенство выражение для угла $B$ из треугольника $ABC$, получаем: $\angle BCH = 90^\circ - (90^\circ - \angle A) = \angle A$.

В прямоугольном треугольнике $BCH$ катет $BH$ является противолежащим углу $\angle BCH$, а сторона $BC$ — гипотенузой. По определению синуса: $\sin(\angle BCH) = \frac{BH}{BC}$. Так как мы установили, что $\angle BCH = \angle A$, мы можем записать: $\sin A = \frac{BH}{BC}$. Подставим известные нам значения: $0.6 = \frac{BH}{3}$.

Из этого уравнения находим искомую длину отрезка $BH$: $BH = 3 \cdot 0.6 = 1.8$.

Ответ: 1.8