Страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Упростите выражение:

а) $1 - \sin^2A$;

б) $1 + \sin^2A + \cos^2A$;

в) $\cos^2A + \operatorname{tg}^2A \cos^2A$.

а) Чтобы упростить выражение $1 - \sin^2 A$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Из этого тождества следует, что $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$. Таким образом, данное выражение равно $\cos^2 A$.

Ответ: $\cos^2 A$.

б) Рассмотрим выражение $1 + \sin^2 A + \cos^2 A$. Мы снова используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Заменим сумму $\sin^2 A + \cos^2 A$ в исходном выражении на 1. Получим: $1 + (\sin^2 A + \cos^2 A) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.

в) В выражении $\cos^2 A + \text{tg}^2 A \cos^2 A$ вынесем общий множитель $\cos^2 A$ за скобки: $\cos^2 A (1 + \text{tg}^2 A)$. Далее воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$. Для его доказательства можно использовать определение тангенса: $1 + \text{tg}^2 A = 1 + \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \frac{\cos^2 A + \sin^2 A}{\cos^2 A} = \frac{1}{\cos^2 A}$. Теперь подставим это обратно в наше выражение: $\cos^2 A \cdot (1 + \text{tg}^2 A) = \cos^2 A \cdot \frac{1}{\cos^2 A} = 1$ (при условии, что $\cos A \ne 0$, что необходимо для существования $\text{tg} A$).

Ответ: 1.

16. Упростите выражение $(1 - \cos A)(1 + \cos A)$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = 1$ и $b = \cos A$. Применим формулу:

$(1 - \cos A)(1 + \cos A) = 1^2 - (\cos A)^2 = 1 - \cos^2 A$.

Далее, используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.

Из этого тождества следует, что $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$.

Таким образом, исходное выражение равно $\sin^2 A$.

Ответ: $\sin^2 A$

17. Докажите, что для тупых углов A имеют место равенства: $ \text{tg } A = -\text{tg } (180^\circ - A)$; $ \text{ctg } A = -\text{ctg } (180^\circ - A)$.

tg A = -tg(180° - A)

Пусть $A$ — тупой угол, то есть $90^\circ < A < 180^\circ$.
По определению тангенса, $\text{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A}$.
Воспользуемся формулами приведения, которые связывают значения тригонометрических функций для углов $A$ и $180^\circ - A$ (смежных углов):
$\sin A = \sin(180^\circ - A)$
$\cos A = -\cos(180^\circ - A)$
Подставим эти выражения в определение тангенса для угла $A$:
$\text{tg} A = \frac{\sin(180^\circ - A)}{-\cos(180^\circ - A)} = - \frac{\sin(180^\circ - A)}{\cos(180^\circ - A)}$.
Поскольку отношение синуса угла к его косинусу равно тангенсу этого угла, то есть $\frac{\sin(180^\circ - A)}{\cos(180^\circ - A)} = \text{tg}(180^\circ - A)$, мы получаем искомое равенство:
$\text{tg} A = -\text{tg}(180^\circ - A)$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

ctg A = -ctg(180° - A)

Доказательство для котангенса проводится аналогично. Пусть $A$ — тупой угол.
По определению котангенса, $\text{ctg} A = \frac{\cos A}{\sin A}$.
Используем те же самые формулы приведения для смежных углов:
$\cos A = -\cos(180^\circ - A)$
$\sin A = \sin(180^\circ - A)$
Подставим эти выражения в определение котангенса для угла $A$:
$\text{ctg} A = \frac{-\cos(180^\circ - A)}{\sin(180^\circ - A)} = - \frac{\cos(180^\circ - A)}{\sin(180^\circ - A)}$.
Так как отношение косинуса угла к его синусу равно котангенсу этого угла, то есть $\frac{\cos(180^\circ - A)}{\sin(180^\circ - A)} = \text{ctg}(180^\circ - A)$, мы приходим к доказываемому равенству:
$\text{ctg} A = -\text{ctg}(180^\circ - A)$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

18. Докажите, что для острых углов A имеют место равенства: $\sin (90^\circ + A) = \cos A, \cos (90^\circ + A) = - \sin A.$

Для доказательства данных равенств, которые являются формулами приведения, воспользуемся формулами сложения для синуса и косинуса. Условие, что угол A острый ($0^\circ < A < 90^\circ$), гарантирует, что все тригонометрические функции для него определены.

Формулы сложения имеют следующий вид:

$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$

$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$

Также нам потребуются значения тригонометрических функций для угла $90^\circ$:

$sin(90^\circ) = 1$

$cos(90^\circ) = 0$

sin(90° + A) = cos A

Применим формулу синуса суммы, подставив в нее $\alpha = 90^\circ$ и $\beta = A$:

$sin(90^\circ + A) = sin(90^\circ)cos(A) + cos(90^\circ)sin(A)$

Теперь подставим известные значения $sin(90^\circ) = 1$ и $cos(90^\circ) = 0$ в правую часть выражения:

$sin(90^\circ + A) = (1) \cdot cos(A) + (0) \cdot sin(A)$

Упрощая, получаем:

$sin(90^\circ + A) = cos(A) + 0 = cos(A)$

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $sin(90^\circ + A) = cos A$ доказано.

cos(90° + A) = -sin A

Применим формулу косинуса суммы, подставив в нее $\alpha = 90^\circ$ и $\beta = A$:

$cos(90^\circ + A) = cos(90^\circ)cos(A) - sin(90^\circ)sin(A)$

Подставим известные значения $sin(90^\circ) = 1$ и $cos(90^\circ) = 0$ в правую часть выражения:

$cos(90^\circ + A) = (0) \cdot cos(A) - (1) \cdot sin(A)$

Упрощая, получаем:

$cos(90^\circ + A) = 0 - sin(A) = -sin(A)$

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $cos(90^\circ + A) = -sin A$ доказано.

19. Используя таблицу приближенных значений тригонометрических функций, найдите приближенное значение:

а) $ \sin 140^\circ $;

б) $ \cos 145^\circ $;

в) $ \operatorname{tg} 150^\circ $;

г) $ \operatorname{ctg} 160^\circ $.

Для нахождения приближенных значений тригонометрических функций для углов больше $90^\circ$ используются формулы приведения, которые позволяют свести вычисления к углам в первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$). Значения для углов первой четверти берутся из таблиц приближенных значений (например, таблицы Брадиса).

а) $\sin 140^\circ$

Для угла $140^\circ$ (вторая четверть) используем формулу приведения: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.

$\sin 140^\circ = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$.

Из таблицы приближенных значений тригонометрических функций находим, что $\sin 40^\circ \approx 0.6428$.

Ответ: $\sin 140^\circ \approx 0.6428$.

б) $\cos 145^\circ$

Для угла $145^\circ$ (вторая четверть) используем формулу приведения: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$.

$\cos 145^\circ = \cos(180^\circ - 35^\circ) = -\cos 35^\circ$.

Из таблицы приближенных значений находим, что $\cos 35^\circ \approx 0.8192$.

Ответ: $\cos 145^\circ \approx -0.8192$.

в) $\text{tg} 150^\circ$

Для угла $150^\circ$ (вторая четверть) используем формулу приведения: $\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg} \alpha$.

$\text{tg} 150^\circ = \text{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{tg} 30^\circ$.

Значение для $\text{tg} 30^\circ$ является известным точным значением $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Его приближенное значение, которое можно найти в таблице, равно $0.5774$.

Ответ: $\text{tg} 150^\circ \approx -0.5774$.

г) $\text{ctg} 160^\circ$

Для угла $160^\circ$ (вторая четверть) используем формулу приведения: $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg} \alpha$.

$\text{ctg} 160^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 20^\circ) = -\text{ctg} 20^\circ$.

Из таблицы приближенных значений находим, что $\text{ctg} 20^\circ \approx 2.7475$.

Ответ: $\text{ctg} 160^\circ \approx -2.7475$.

1. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 400 м, затем повернул на север и прошел 300 м (рис. 18.1). Под каким углом к направлению на запад он должен идти, чтобы вернуться домой? (В ответе укажите целое число градусов.)

Путь мальчика можно представить в виде прямоугольного треугольника. Пусть начальная точка (дом) — это вершина А, точка после движения на восток — вершина В, а конечная точка после движения на север — вершина С. Таким образом, получается прямоугольный треугольник АВС с прямым углом в точке В.
Длины катетов этого треугольника равны:
$AB = 400$ м
$BC = 300$ м
Чтобы вернуться домой, мальчику нужно двигаться из точки С в точку А по гипотенузе СА. Требуется найти угол, который образует его путь (отрезок СА) с направлением на запад.
В точке С направление на запад параллельно отрезку АВ (который соответствует направлению восток-запад). Обозначим искомый угол как $\alpha$. Этот угол (между направлением на запад и гипотенузой СА) является внутренним накрест лежащим с углом $\angle BAC$ при параллельных прямых (прямая, содержащая АВ, и прямая, проходящая через С параллельно АВ) и секущей СА. Следовательно, $\alpha = \angle BAC$.
Найдем тангенс угла $\angle BAC$ в прямоугольном треугольнике АВС:
$\tan(\alpha) = \tan(\angle BAC) = \frac{противолежащий\ катет}{прилежащий\ катет} = \frac{BC}{AB} = \frac{300}{400} = \frac{3}{4} = 0.75$
Теперь вычислим значение самого угла $\alpha$ с помощью функции арктангенса:
$\alpha = \arctan(0.75) \approx 36.87^\circ$
В условии задачи требуется указать ответ в виде целого числа градусов. Округляем полученное значение до ближайшего целого:
$\alpha \approx 37^\circ$
Ответ: 37

2. Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м, затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м (рис. 18.2). Под каким углом к направлению на восток она должна идти, чтобы вернуться домой? (В ответе укажите целое число градусов.)

Рис. 18.2

Для решения задачи представим путь девочки в виде последовательных перемещений в прямоугольной системе координат. Пусть дом находится в начале координат, точка (0, 0). Направим ось X на восток, а ось Y — на север. Тогда запад будет соответствовать отрицательному направлению оси X, а юг — отрицательному направлению оси Y.

1. Первое перемещение: 500 м на запад. Координаты девочки изменяются на (-500, 0). Ее текущее положение: $(-500, 0)$.

2. Второе перемещение: 300 м на север. Координаты изменяются на (0, 300). Ее новое положение: $(-500, 0 + 300) = (-500, 300)$.

3. Третье перемещение: 100 м на восток. Координаты изменяются на (100, 0). Конечное положение девочки: $(-500 + 100, 300) = (-400, 300)$.

Теперь девочке нужно вернуться из точки $(-400, 300)$ в точку $(0, 0)$. Для этого ей необходимо сместиться на вектор с координатами $(0 - (-400), 0 - 300) = (400, -300)$. Это означает, что она должна пройти 400 м на восток и 300 м на юг.

Ее путь домой образует гипотенузу в прямоугольном треугольнике. Катетами этого треугольника являются смещения на восток и на юг.

• Катет, направленный на восток (прилежащий к искомому углу), равен 400 м.

• Катет, направленный на юг (противолежащий искомому углу), равен 300 м.

Искомый угол $ \alpha $ — это угол между направлением на восток и направлением ее движения домой. Мы можем найти этот угол с помощью тангенса, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

$ \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{300 \text{ м}}{400 \text{ м}} = 0.75 $

Чтобы найти сам угол $ \alpha $, вычислим арктангенс от 0.75:

$ \alpha = \arctan(0.75) \approx 36.87^{\circ} $

В задаче требуется указать целое число градусов. Округляем полученное значение до ближайшего целого:

$ 37^{\circ} $

Ответ: 37

3. Грибник, войдя в лес, в течение двух часов шел в направлении на север, затем с той же скоростью в течение полутора часов — на восток (рис. 18.3). Под каким углом к направлению на юг он должен идти, чтобы вернуться к месту, где он вошел в лес? (В ответе укажите целое число градусов.)

Рис. 18.3

3. Для решения задачи представим путь грибника в виде последовательных перемещений, которые можно изобразить на координатной плоскости. Пусть начальная точка (вход в лес) находится в начале координат O(0,0).

1. Грибник шел на север в течение 2 часов. Пусть его скорость равна $v$. Тогда он прошел расстояние $s_1 = 2 \cdot v$. Это перемещение можно представить как вектор, направленный вдоль оси Y, от точки O до точки A. Координаты точки A будут $(0, 2v)$.

2. Затем он шел на восток в течение 1,5 часов с той же скоростью $v$. Расстояние, которое он прошел, равно $s_2 = 1.5 \cdot v$. Это перемещение можно представить как вектор, направленный от точки A параллельно оси X, до точки B. Координаты точки B будут $(1.5v, 2v)$.

Путь грибника (отрезки OA и AB) и путь для возвращения (отрезок BO) образуют прямоугольный треугольник OAB, где $\angle A = 90^\circ$, так как направления на север и на восток перпендикулярны. Длины катетов этого треугольника пропорциональны времени движения: $OA = 2v$ и $AB = 1.5v$.

Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти угол, под которым грибник должен идти из точки B, чтобы вернуться в точку O, относительно направления на юг. Направление на юг из любой точки параллельно оси Y и направлено в отрицательную сторону.

Искомый угол $\gamma$ (как показано на рисунке в условии) — это угол между вектором возвращения $\vec{BO}$ и направлением на юг.

Рассмотрим треугольник OAB. Прямая, соответствующая направлению на юг из точки B, параллельна катету OA (который лежит на оси север-юг). Прямая BO является секущей для этих двух параллельных линий. Следовательно, искомый угол $\gamma$ и угол при вершине O треугольника OAB ($\angle AOB$) являются накрест лежащими углами, а значит, они равны: $\gamma = \angle AOB$.

Мы можем найти тангенс угла $\angle AOB$ в прямоугольном треугольнике OAB:$ \tan(\angle AOB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AB}{OA} $

Подставим длины катетов (скорость $v$ сокращается):$ \tan(\gamma) = \tan(\angle AOB) = \frac{1.5v}{2v} = \frac{1.5}{2} = 0.75 $

Чтобы найти величину угла $\gamma$ в градусах, вычислим арктангенс этого значения:$ \gamma = \arctan(0.75) \approx 36.8698...^\circ $

В условии требуется указать целое число градусов, поэтому округлим полученное значение до ближайшего целого:$ 36.87^\circ \approx 37^\circ $

Ответ: 37