Страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Маятник в виде груза, подвешенного на нитке, отклонили от положения равновесия на угол $60^\circ$. Длина AC маятника равна $20 \text{ см}$ (рис. 18.4). На сколько изменилась высота груза по сравнению с положением равновесия?

Рис. 18.4

Для решения задачи воспользуемся геометрическим подходом. Пусть $L$ — это длина нити маятника, которая является постоянной величиной. В положении равновесия (точка B) и в отклоненном положении (точка C) длина нити одинакова: $AB = AC = L = 20$ см. Угол отклонения от вертикали составляет $α = 60°$.

Изменение высоты груза $h$ — это вертикальное смещение, равное разности высот точек B и C. На схеме это соответствует длине отрезка DB. Чтобы найти $h$, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник ADC, образованный нитью маятника AC (гипотенуза), вертикалью AD и горизонтальным отрезком CD. Угол при вершине A в этом треугольнике равен углу отклонения $α$.

Высота $h$ может быть вычислена как разность между полной длиной нити $AB$ и длиной вертикальной проекции нити $AD$:

$h = DB = AB - AD$

Длину катета $AD$ можно найти из треугольника ADC, используя тригонометрическую функцию косинуса, так как $AD$ является катетом, прилежащим к углу $α$:

$cos(α) = \frac{AD}{AC}$

Отсюда выражаем $AD$:

$AD = AC \cdot cos(α)$

Подставим известные значения в формулу: $AC = 20$ см и $α = 60°$.

$AD = 20 \text{ см} \cdot cos(60°)$

Зная, что $cos(60°) = \frac{1}{2} = 0.5$, получаем:

$AD = 20 \cdot 0.5 = 10$ см.

Теперь мы можем найти искомое изменение высоты $h$:

$h = AB - AD = 20 \text{ см} - 10 \text{ см} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

5. Маятник в виде груза, подвешенного на нитке, отклонили от положения равновесия на угол $60^\circ$. Длина $AB$ маятника равна $20$ см (рис. $18.5$). Найдите расстояние $CD$ от груза $C$ до прямой $AB$, проходящей через начальное положение маятника.

Рис. 18.5

Согласно условию задачи, маятник представляет собой груз, подвешенный на нитке. В положении равновесия нить занимает вертикальное положение $AB$. Маятник отклоняют на угол $60^\circ$, и он занимает положение $AC$. Длина нити маятника не изменяется, поэтому $AC = AB = 20$ см.

Требуется найти расстояние от точки $C$ до прямой $AB$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. На рисунке этот перпендикуляр обозначен отрезком $CD$. Таким образом, $\angle ADC = 90^\circ$, и треугольник $ADC$ является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике $ADC$ нам известны:

• Гипотенуза $AC$, которая равна длине нити маятника: $AC = 20$ см.
• Острый угол $\angle CAD$, который равен углу отклонения маятника: $\angle CAD = 60^\circ$.

Искомая величина — это длина катета $CD$, который является противолежащим углу $\angle CAD$.

Для нахождения противолежащего катета в прямоугольном треугольнике можно использовать синус угла. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы:

$\sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AC}$

Выразим из этой формулы искомую длину $CD$:

$CD = AC \cdot \sin(\angle CAD)$

Подставим известные значения в формулу:

$AC = 20$ см

$\angle CAD = 60^\circ$

$CD = 20 \cdot \sin(60^\circ)$

Значение синуса $60^\circ$ является табличным: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Выполним вычисления:

$CD = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.

6. Маятник AB длиной 50 см отклонили от положения равновесия на расстояние CD, равное 12 см (рис. 18.6). Найдите угол, который образует новое положение AC маятника с положением равновесия AB. (В ответе укажите приближенное значение, выражаемое целым числом градусов.)

Для решения задачи рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный положением маятника в равновесии (AB), его отклоненным положением (AC) и горизонтальным смещением (CD). В данном контексте, точка D лежит на вертикальной линии AB, так что CD перпендикулярно AD.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник ADC, где:

• Гипотенуза AC равна длине маятника, то есть $AC = 50$ см.
• Катет CD, противолежащий искомому углу, равен горизонтальному отклонению, то есть $CD = 12$ см.
• Угол CAD (обозначим его как $\alpha$) - это угол, который образует новое положение маятника с положением равновесия.

Синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

Запишем формулу для синуса угла $\alpha$:

$sin(\alpha) = \frac{CD}{AC}$

Подставим известные значения:

$sin(\alpha) = \frac{12}{50} = 0.24$

Чтобы найти величину угла $\alpha$, необходимо вычислить арксинус от полученного значения:

$\alpha = arcsin(0.24)$

Используя калькулятор, находим значение угла в градусах:

$\alpha \approx 13.886^\circ$

Согласно условию, ответ нужно дать в виде приближенного значения, выраженного целым числом градусов. Округлим полученное значение до ближайшего целого:

$\alpha \approx 14^\circ$

Ответ: 14

7. Горная железная дорога поднимается на 1 м на каждые 30 м пути (рис. 18.7). Найдите угол подъема в градусах. (В ответе укажите приближенное значение, выражаемое целым числом градусов.)

Рис. 18.7

Данную ситуацию можно смоделировать с помощью прямоугольного треугольника $ABC$, изображенного на рисунке. В этом треугольнике угол $C$ является прямым ($90^\circ$), а угол $A$ представляет собой искомый угол подъема. Обозначим его как $\alpha$.

Согласно данным из условия и рисунка:
- Катет $BC$, который является противолежащим углу $\alpha$, равен высоте подъема: $BC = 1$ м.
- Катет $AC$, который является прилежащим к углу $\alpha$, равен горизонтальному расстоянию: $AC = 30$ м.

Для нахождения угла по двум катетам используется тригонометрическая функция тангенс. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC}$

Подставим в формулу известные значения:
$\tan(\alpha) = \frac{1}{30}$

Теперь, чтобы найти сам угол $\alpha$, необходимо вычислить арктангенс полученного значения:
$\alpha = \arctan\left(\frac{1}{30}\right)$

Вычислим приближенное значение дроби и угла:
$\frac{1}{30} \approx 0.0333...$
$\alpha \approx \arctan(0.0333...) \approx 1.908^\circ$

По условию задачи требуется указать приближенное значение угла, выраженное целым числом градусов. Для этого округлим полученный результат до ближайшего целого числа.
$1.908^\circ \approx 2^\circ$

Ответ: $2^\circ$