Страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Найдите высоту равностороннего треугольника, стороны которого равны 2:

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

B. $\sqrt{2}$.

C. $\sqrt{3}$.

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для того чтобы найти высоту равностороннего треугольника, воспользуемся теоремой Пифагора. Пусть сторона треугольника равна $a$, а его высота — $h$.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Как медиана, она делит основание на два равных отрезка. Таким образом, высота $h$ образует прямоугольный треугольник, в котором:
• гипотенуза — это сторона исходного треугольника, равная $a$;
• один катет — это сама высота $h$;
• второй катет — это половина основания, то есть $\frac{a}{2}$.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $a^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$.

По условию задачи сторона треугольника $a = 2$. Следовательно, половина основания равна $\frac{2}{2} = 1$. Подставим эти значения в формулу:
$2^2 = h^2 + 1^2$
$4 = h^2 + 1$
Выразим $h^2$:
$h^2 = 4 - 1$
$h^2 = 3$
Отсюда находим высоту $h$:
$h = \sqrt{3}$

Также можно было использовать готовую формулу для высоты равностороннего треугольника со стороной $a$: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Подставив в нее $a = 2$, получим тот же результат:
$h = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

10. Найдите высоту $CD$ равнобедренного треугольника $ABC$, для которого $AC = BC = 10, AB = 16:$

A. 4.

B. 6.

C. 8.

D. 10.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$ высота $CD$, проведенная к основанию, по свойству равнобедренного треугольника является также и медианой. Это означает, что точка $D$ делит основание $AB$ на два равных отрезка.

Найдем длину отрезка $AD$. Поскольку $D$ — середина $AB$, то:$AD = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Высота $CD$ перпендикулярна основанию $AB$, следовательно, треугольник $ADC$ является прямоугольным. В этом треугольнике:

• $AC$ — гипотенуза (боковая сторона треугольника $ABC$, $AC = 10$);
• $AD$ — катет (половина основания, $AD = 8$);
• $CD$ — второй катет (искомая высота).

Для нахождения длины катета $CD$ воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:$AC^2 = AD^2 + CD^2$

Выразим из этой формулы $CD^2$:$CD^2 = AC^2 - AD^2$

Подставим известные значения и произведем вычисления:$CD^2 = 10^2 - 8^2$$CD^2 = 100 - 64$$CD^2 = 36$$CD = \sqrt{36}$$CD = 6$

Таким образом, высота $CD$ равнобедренного треугольника $ABC$ равна 6.

Ответ: 6

11. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $30^\circ$, $AC = 2$.

Найдите высоту $CH$:

A. 1.

B. $\sqrt{2}$.

C. 2.

D. $\sqrt{3}$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, это прямоугольный треугольник, так как $ \angle C = 90^\circ $. Также даны $ \angle A = 30^\circ $ и длина катета $ AC = 2 $.
Проведена высота $CH$ к гипотенузе $AB$. Высота $CH$ образует с гипотенузой $AB$ прямой угол, то есть $ \angle CHA = 90^\circ $.
Теперь рассмотрим треугольник $ACH$. Он также является прямоугольным, так как $ \angle CHA = 90^\circ $. В этом треугольнике:

• $AC$ — гипотенуза, $AC = 2$.
• $CH$ — катет, противолежащий углу $A$.
• $\angle CAH$ (или $\angle A$) равен $30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для треугольника $ACH$ можем записать:
$ \sin(\angle A) = \frac{CH}{AC} $
Подставим известные значения в формулу:
$ \sin(30^\circ) = \frac{CH}{2} $
Мы знаем, что синус $30^\circ$ равен $ \frac{1}{2} $.
$ \frac{1}{2} = \frac{CH}{2} $
Отсюда находим длину высоты $CH$:
$ CH = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $
Таким образом, длина высоты $CH$ равна 1. Сравнивая с предложенными вариантами, это соответствует варианту А.

Ответ: 1.

12. В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$, угол A равен $45^\circ$, $AC = 2$.

Найдите высоту $CH$:

A. 1.

B. $\sqrt{2}$.

C. 2.

D. $\sqrt{3}$.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Также известно, что $\angle A = 45^\circ$, а длина катета $AC$ равна 2. Необходимо найти длину высоты $CH$, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$.

Шаг 1: Определение свойств треугольника ABC.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем величину угла $B$:
$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Поскольку углы при основании $AB$ равны ($\angle A = \angle B = 45^\circ$), треугольник $ABC$ является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: $AC = BC = 2$.

Шаг 2: Рассмотрение треугольника ACH.
Высота $CH$ перпендикулярна гипотенузе $AB$, следовательно, $\angle AHC = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ACH$ является прямоугольным.
В треугольнике $ACH$ нам известны:

• гипотенуза $AC = 2$;
• острый угол $\angle A = 45^\circ$;
• катет $CH$, который нам нужно найти, лежит напротив угла $A$.

Шаг 3: Вычисление длины высоты CH.
В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Применим это определение для треугольника $ACH$:
$\sin(\angle A) = \frac{CH}{AC}$
Выразим отсюда искомую высоту $CH$:
$CH = AC \cdot \sin(\angle A)$
Подставим известные значения в формулу:
$CH = 2 \cdot \sin(45^\circ)$
Значение синуса $45^\circ$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$CH = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Длина высоты $CH$ равна $\sqrt{2}$. Сравнивая результат с вариантами ответов, мы видим, что это соответствует варианту B.

Ответ: $\sqrt{2}$.

13. $\sin A = \frac{3}{5}$. Найдите $\cos A$:

A. $\frac{3}{4}$.

B. $\frac{2}{3}$.

C. $\frac{3}{5}$.

D. $\frac{4}{5}$.

Для нахождения $cos A$ при известном $sin A$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$sin^2 A + cos^2 A = 1$

В условии дано, что $sin A = \frac{3}{5}$. Подставим это значение в уравнение:

$(\frac{3}{5})^2 + cos^2 A = 1$

Возведем дробь в квадрат:

$\frac{9}{25} + cos^2 A = 1$

Выразим из этого уравнения $cos^2 A$:

$cos^2 A = 1 - \frac{9}{25}$

Для вычитания представим 1 как дробь со знаменателем 25:

$cos^2 A = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

Теперь, чтобы найти $cos A$, извлечем квадратный корень. Поскольку все варианты ответа положительны, будем считать угол A острым, а значит, его косинус будет положительным.

$cos A = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

Полученный результат соответствует варианту ответа D.

Ответ: $\frac{4}{5}$

14. $ \sin A = \frac{4}{5} $. Найдите $ \operatorname{tg} A $:

A. $ \frac{3}{4} $.

B. $ \frac{3}{5} $.

C. $ \frac{4}{3} $.

D. $ \frac{4}{5} $.

Для нахождения тангенса угла $A$, зная его синус, воспользуемся основными тригонометрическими соотношениями.

Основное тригонометрическое тождество гласит: $sin^2 A + cos^2 A = 1$.

Подставим известное значение $sin A = \frac{4}{5}$ в это тождество, чтобы найти косинус угла $A$:

$(\frac{4}{5})^2 + cos^2 A = 1$

$\frac{16}{25} + cos^2 A = 1$

Выразим $cos^2 A$:

$cos^2 A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Извлекая квадратный корень, находим $cos A$:

$cos A = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$

Поскольку все предложенные варианты ответа для тангенса положительны, можно сделать вывод, что угол $A$ является острым (от 0° до 90°), а значит, его косинус также положителен. Таким образом, $cos A = \frac{3}{5}$.

Теперь мы можем найти тангенс угла $A$, используя его определение: $tg A = \frac{sin A}{cos A}$.

Подставим значения синуса и косинуса:

$tg A = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

15. tg A = $\frac{3}{4}$. Найдите sin A:
A. $\frac{3}{5}$.
B. $\frac{4}{5}$.
C. $\frac{4}{3}$.
D. $\frac{5}{4}$.

Для решения данной задачи можно использовать два основных способа.

Способ 1: Использование тригонометрических тождеств

Мы знаем тригонометрическое тождество, которое связывает тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$.

Подставим в это тождество известное значение $\text{tg} A = \frac{3}{4}$:

$1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 A}$

Выполним вычисления:

$1 + \frac{9}{16} = \frac{1}{\cos^2 A}$

$\frac{16}{16} + \frac{9}{16} = \frac{1}{\cos^2 A}$

$\frac{25}{16} = \frac{1}{\cos^2 A}$

Из этого уравнения находим $\cos^2 A$:

$\cos^2 A = \frac{16}{25}$

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.

Выразим из него $\sin^2 A$ и подставим найденное значение $\cos^2 A$:

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

Теперь найдем $\sin A$, извлекая квадратный корень:

$\sin A = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$

Поскольку значение $\text{tg} A = \frac{3}{4}$ положительно, угол $A$ находится либо в I, либо в III координатной четверти. В школьном курсе геометрии углы в треугольнике острые, поэтому их тригонометрические функции положительны. Следовательно, мы выбираем положительное значение.

$\sin A = \frac{3}{5}$

Способ 2: Через прямоугольный треугольник

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где $A$ — один из острых углов.

По определению, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

$\text{tg} A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{3}{4}$

Пусть длина противолежащего катета равна 3, а длина прилежащего катета равна 4.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы:

$\text{гипотенуза}^2 = (\text{противолежащий катет})^2 + (\text{прилежащий катет})^2$

$\text{гипотенуза}^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$\text{гипотенуза} = \sqrt{25} = 5$

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{3}{5}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату, который соответствует варианту A.

Ответ: $\frac{3}{5}$

16. $\text{ctg A} = \frac{3}{4}$. Найдите $\cos A$:

A. $\frac{3}{5}$.

B. $\frac{4}{5}$.

C. $\frac{4}{3}$.

D. $\frac{5}{4}$.

Для того чтобы найти $\cos A$, зная значение $\mathrm{ctg} A$, удобно воспользоваться определением тригонометрических функций через стороны прямоугольного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где $A$ — один из острых углов.

По определению, котангенс угла — это отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета. Из условия задачи имеем:

$\mathrm{ctg} A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{3}{4}$

Пусть длина прилежащего катета равна 3 условным единицам, а длина противолежащего катета — 4 условным единицам.

Теперь найдем длину гипотенузы, используя теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза):

$(\text{гипотенуза})^2 = (\text{прилежащий катет})^2 + (\text{противолежащий катет})^2$

$(\text{гипотенуза})^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Гипотенуза = $\sqrt{25} = 5$

Теперь мы знаем длины всех трех сторон треугольника: прилежащий катет = 3, противолежащий катет = 4, гипотенуза = 5.

Косинус угла по определению — это отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы:

$\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$

17. В треугольнике $ABC$ $AC = BC$, угол $C$ равен $120^\circ$, $AC = 2$. Найдите $AB$:

A. $\sqrt{2}$.

B. $2\sqrt{2}$.

C. $\sqrt{3}$.

D. $2\sqrt{3}$.

По условию задачи, мы имеем треугольник $ABC$, в котором две стороны равны: $AC = BC = 2$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. Угол при вершине $C$, между равными сторонами, составляет $\angle C = 120^\circ$. Требуется найти длину основания $AB$.

Для решения этой задачи наиболее удобно использовать теорему косинусов. Теорема косинусов устанавливает связь между тремя сторонами треугольника и косинусом одного из его углов. Формула теоремы косинусов для стороны $AB$ выглядит следующим образом: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$

Подставим известные значения в эту формулу: $AC = 2$ $BC = 2$ $\angle C = 120^\circ$

Получаем: $AB^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ)$

Вычислим значение $\cos(120^\circ)$. Используя формулу приведения, получаем: $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим значение косинуса в наше уравнение: $AB^2 = 4 + 4 - 8 \cdot (-\frac{1}{2})$ $AB^2 = 8 + \frac{8}{2}$ $AB^2 = 8 + 4$ $AB^2 = 12$

Чтобы найти длину $AB$, извлечем квадратный корень из полученного значения: $AB = \sqrt{12}$

Упростим корень, разложив подкоренное выражение на множители: $AB = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Таким образом, длина стороны $AB$ равна $2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$

18. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 2$, угол $C$ равен $120^\circ$. Найдите высоту $AH$:

A. $\sqrt{2}$.

B. $2\sqrt{2}$.

C. $\sqrt{3}$.

D. $2\sqrt{3}$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны ($AC = BC = 2$), данный треугольник является равнобедренным.
Высота $AH$ опускается из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$. Так как угол $C$ является тупым ($120^\circ > 90^\circ$), основание высоты $H$ будет лежать на продолжении стороны $BC$ за точку $C$.
Рассмотрим треугольник $AHC$. Он является прямоугольным, так как $AH$ — высота, следовательно, $\angle AHC = 90^\circ$.
В этом треугольнике гипотенузой является сторона $AC$, длина которой по условию равна 2.
Угол $\angle ACH$ является смежным с углом $\angle BCA$ (углом $C$ треугольника $ABC$). Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
$\angle ACH = 180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Теперь в прямоугольном треугольнике $AHC$ мы знаем гипотенузу $AC=2$ и острый угол $\angle ACH = 60^\circ$. Искомая высота $AH$ является катетом, противолежащим этому углу.
Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$
Отсюда выражаем $AH$:
$AH = AC \cdot \sin(\angle ACH)$
Подставляем известные значения:
$AH = 2 \cdot \sin(60^\circ)$
Значение синуса $60^\circ$ является табличным: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$AH = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

19. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 2$, угол $C$ равен $135^\circ$. Найдите высоту $AH$:

A. $\sqrt{2}$. B. $2\sqrt{2}$. C. $\sqrt{3}$. D. $2\sqrt{3}$.

Решение:

Поскольку угол $C$ в треугольнике $ABC$ является тупым ($135^\circ > 90^\circ$), высота $AH$, опущенная из вершины $A$ на прямую, содержащую сторону $BC$, упадет на продолжение этой стороны за точку $C$. Таким образом, у нас образуется прямоугольный треугольник $ACH$.

В этом новом треугольнике $ACH$:

• Угол $\angle AHC = 90^\circ$ по определению высоты.
• Угол $\angle ACH$ является смежным с углом $\angle ACB$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle ACH = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
• Сторона $AC$ является гипотенузой, и по условию $AC = 2$.

Искомая высота $AH$ является катетом в прямоугольном треугольнике $ACH$, противолежащим углу $\angle ACH$. Для ее нахождения воспользуемся определением синуса: $sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$

Подставим известные значения: $sin(45^\circ) = \frac{AH}{2}$

Мы знаем, что значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в уравнение: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{AH}{2}$

Домножив обе части уравнения на 2, получим длину высоты $AH$: $AH = \sqrt{2}$

Ответ: A. $\sqrt{2}$

20. В треугольнике $ABC$ $AC = BC = 2$, угол $C$ равен $150^\circ$. Найдите высоту $AH$:

A. 1.

B. $\sqrt{2}$.

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

D. $\sqrt{3}$.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ стороны $AC = BC = 2$, а угол $\angle C = 150^\circ$. Необходимо найти длину высоты $AH$.

Поскольку угол $C$ является тупым ($150^\circ > 90^\circ$), высота $AH$, проведенная из вершины $A$, будет опущена на продолжение стороны $BC$ за точку $C$. Таким образом, у нас образуется прямоугольный треугольник $AHC$.

Рассмотрим этот прямоугольный треугольник $AHC$. В нем:
- $\angle AHC = 90^\circ$ по определению высоты.
- Гипотенуза $AC = 2$ по условию задачи.
- Катет $AH$ — это искомая высота.

Угол $\angle ACH$ является смежным с углом $\angle ACB$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно, мы можем вычислить величину угла $\angle ACH$:
$\angle ACH = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $AHC$ мы знаем гипотенузу и угол, противолежащий искомому катету $AH$. Мы можем использовать тригонометрическую функцию синус:
$\sin(\angle ACH) = \frac{AH}{AC}$

Выразим из этой формулы $AH$:
$AH = AC \cdot \sin(\angle ACH)$

Подставим известные значения $AC = 2$ и $\angle ACH = 30^\circ$:
$AH = 2 \cdot \sin(30^\circ)$

Мы знаем, что значение $\sin(30^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$.
$AH = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Таким образом, длина высоты $AH$ равна 1.

Ответ: 1.