Страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 19.13.

а)

б)

в)

Рис. 19.13

а) Фигура представляет собой большой прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, из которого вырезан меньший прямоугольник. Площадь большого прямоугольника равна $S_{большой} = ab$. Найдем размеры вырезанного прямоугольника. Его ширина равна $a - c - c = a - 2c$. Его высота равна $b - d - d = b - 2d$. Площадь вырезанного прямоугольника равна $S_{малый} = (a - 2c)(b - 2d)$. Площадь искомой фигуры является разностью площадей большого и малого прямоугольников: $S = S_{большой} - S_{малый} = ab - (a - 2c)(b - 2d)$. Раскроем скобки и упростим выражение: $S = ab - (ab - 2ad - 2bc + 4cd) = ab - ab + 2ad + 2bc - 4cd = 2ad + 2bc - 4cd$.
Ответ: $S = 2ad + 2bc - 4cd$.

б) L-образную фигуру можно представить как сумму двух прямоугольников. Разобьем ее на нижний прямоугольник со сторонами $a$ и $d$ и левый вертикальный прямоугольник. Стороны левого прямоугольника будут $e$ (ширина) и $b - d$ (высота). Площадь нижнего прямоугольника: $S_1 = ad$. Площадь левого прямоугольника: $S_2 = e(b - d) = eb - ed$. Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих двух частей: $S = S_1 + S_2 = ad + eb - ed$. Другой способ - это вычесть из большого прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ площадь правого верхнего вырезанного прямоугольника со сторонами $a-e$ и $b-d$: $S = ab - (a-e)(b-d) = ab - (ab - ad - eb + ed) = ad + eb - ed$.
Ответ: $S = ad + be - ed$.

в) Данная фигура является прямоугольником со сторонами $a$ и $b$, из которого снизу вырезана прямоугольная часть. Площадь всего прямоугольника (если бы он был целым) равна $S_{большой} = ab$. Размеры вырезанной части: высота $d$ и ширина $a - c - c = a - 2c$. Площадь выреза равна $S_{вырез} = d(a - 2c)$. Площадь искомой фигуры равна разности площадей: $S = S_{большой} - S_{вырез} = ab - d(a - 2c) = ab - ad + 2cd$. Также можно разбить фигуру на три части: верхний прямоугольник со сторонами $a$ и $b-d$ и два боковых прямоугольника со сторонами $c$ и $d$. Тогда площадь будет $S = a(b-d) + 2cd = ab - ad + 2cd$.
Ответ: $S = ab - ad + 2cd$.

17. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна $72 \text{ см}^2$, а отношение соседних сторон равно 1 : 2.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

По условию, отношение соседних сторон равно $1:2$. Это значит, что одну сторону можно обозначить как $x$, а другую как $2x$. То есть, $a = x$, а $b = 2x$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его соседних сторон: $S = a \cdot b$. Нам известно, что $S = 72$ см². Составим уравнение, подставив выражения для сторон:

$x \cdot (2x) = 72$

$2x^2 = 72$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$x^2 = \frac{72}{2}$

$x^2 = 36$

$x = \sqrt{36}$

$x = 6$ см (длина стороны может быть только положительным числом).

Теперь мы можем найти длины сторон прямоугольника:

Меньшая сторона $a = x = 6$ см.

Большая сторона $b = 2x = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Периметр прямоугольника $P$ находится по формуле $P = 2(a + b)$. Подставим найденные значения сторон:

$P = 2(6 + 12)$

$P = 2(18)$

$P = 36$ см.

Ответ: 36 см.

18. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен $10 \text{ м}$, а площадь — $6 \text{ м}^2$.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ находится по формуле $P = 2(a+b)$. По условию задачи, $P = 10$ м. Составим первое уравнение:
$2(a+b) = 10$
$a+b = 5$

Площадь прямоугольника $S$ находится по формуле $S = a \cdot b$. По условию, $S = 6$ м². Составим второе уравнение:
$a \cdot b = 6$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} a+b=5 \\ a \cdot b=6 \end{cases} $

Для решения системы выразим переменную $a$ из первого уравнения: $a = 5 - b$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(5 - b) \cdot b = 6$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$5b - b^2 = 6$
$b^2 - 5b + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета, согласно которой сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Корнями являются числа 2 и 3.
Либо найдем корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
$b_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$
$b_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Мы получили два возможных значения для одной из сторон. Найдем вторую сторону для каждого случая:
1. Если сторона $b = 3$ м, то сторона $a = 5 - 3 = 2$ м.
2. Если сторона $b = 2$ м, то сторона $a = 5 - 2 = 3$ м.
В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 2 м и 3 м.

Ответ: стороны прямоугольника равны 2 м и 3 м.

19. Найдите площадь многоугольника на рисунке 19.14. Стороны квадратных клеток равны 1.

Рис. 19.14

Способ 1: Метод разбиения на простые фигуры
Площадь многоугольника на клетчатой бумаге можно найти, посчитав количество единичных клеток, из которых он состоит. Данный многоугольник можно мысленно разбить на целые квадратные клетки и треугольные части клеток.
1. Целые клетки: Сначала посчитаем количество полных квадратных клеток (со стороной 1), которые целиком помещаются внутри фигуры. Внимательно изучив рисунок, можно насчитать 9 таких квадратов. Общая площадь этих квадратов составляет $9 \times 1 = 9$ квадратных единиц.
2. Части клеток (треугольники): Оставшиеся части многоугольника представляют собой 4 треугольника. Каждый из этих треугольников является прямоугольным и занимает ровно половину единичной клетки, поэтому площадь каждого из них равна $0.5$ квадратных единиц. Их общая площадь составляет $4 \times 0.5 = 2$ квадратные единицы.
3. Общая площадь: Чтобы найти общую площадь многоугольника, сложим площади целых клеток и треугольных частей:
$S_{общая} = S_{квадратов} + S_{треугольников} = 9 + 2 = 11$.
Ответ: 11.

Способ 2: Формула Пика
Поскольку все вершины многоугольника расположены в узлах сетки, его площадь можно вычислить с помощью формулы Пика:
$S = I + \frac{B}{2} - 1$
где $I$ — это количество узлов сетки (целочисленных точек), находящихся строго внутри многоугольника, а $B$ — количество узлов сетки, лежащих на его границе.
1. Подсчет граничных точек (B): Посчитаем все узлы сетки, через которые проходит граница многоугольника. Если обойти контур фигуры, можно насчитать 12 таких точек. Вот их координаты, если принять левый нижний угол сетки за (0,0): (0,3), (1,1), (1,2), (1,4), (2,0), (2,4), (3,0), (3,1), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3). Таким образом, $B = 12$.
2. Подсчет внутренних точек (I): Теперь посчитаем количество узлов сетки, которые лежат строго внутри многоугольника, не касаясь его границ. Это точки с координатами: (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3). Всего таких точек 6. Таким образом, $I = 6$.
3. Вычисление площади: Подставим найденные значения $I$ и $B$ в формулу Пика:
$S = 6 + \frac{12}{2} - 1 = 6 + 6 - 1 = 11$.
Ответ: 11.

20. Найдите площадь фигуры на рисунке 19.15.

Стороны квадратных клеток равны 1.

Рис. 19.15

Для нахождения площади фигуры на клетчатой бумаге, где сторона одной клетки равна 1, можно воспользоваться несколькими способами. Площадь одной клетки равна $1 \times 1 = 1$ квадратной единице.

Способ 1: Разложение на простые фигуры

Этот метод заключается в том, чтобы разбить исходную сложную фигуру на несколько простых, площади которых легко вычислить.
1. Фигуру можно представить как композицию из центрального квадрата и четырех одинаковых треугольников, примыкающих к его сторонам.
2. Центральный квадрат имеет вершины в узлах сетки с координатами (2, 2), (4, 2), (4, 4) и (2, 4), если принять левый нижний угол сетки за точку (0,0). Сторона такого квадрата равна 2 клеткам. Его площадь составляет $S_{квадрата} = 2 \times 2 = 4$ кв. ед.
3. К каждой из четырех сторон квадрата примыкает треугольник. Основание каждого треугольника равно стороне квадрата, то есть 2. Высота каждого треугольника, проведенная к этому основанию, равна 1 клетке. Площадь одного такого треугольника вычисляется по формуле: $S_{треуг.} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ кв. ед.
4. Поскольку таких треугольников четыре, их общая площадь равна $4 \times 1 = 4$ кв. ед.
5. Общая площадь фигуры равна сумме площади центрального квадрата и площадей четырех треугольников: $S_{общая} = S_{квадрата} + 4 \times S_{треуг.} = 4 + 4 = 8$ кв. ед.

Способ 2: Метод вычитания

Можно вписать фигуру в большой квадрат и вычесть из его площади площади тех частей, которые не принадлежат фигуре.
1. Вся фигура целиком помещается в квадрат размером 4x4 клетки. Вершины этого большого квадрата находятся в точках (1, 1), (5, 1), (5, 5) и (1, 5). Его площадь равна $S_{большого\_кв.} = 4 \times 4 = 16$ кв. ед.
2. Чтобы из этого большого квадрата получить исходную фигуру, нужно "отрезать" четыре одинаковых прямоугольных треугольника по углам.
3. Каждый из этих угловых треугольников является прямоугольным с катетами длиной 2 клетки. Площадь одного такого треугольника равна $S_{угл.\_треуг.} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ кв. ед.
4. Общая площадь четырех отрезаемых треугольников составляет $4 \times 2 = 8$ кв. ед.
5. Площадь искомой фигуры равна разности площадей большого квадрата и четырех угловых треугольников: $S_{фигуры} = S_{большого\_кв.} - 4 \times S_{угл.\_треуг.} = 16 - 8 = 8$ кв. ед.

Способ 3: Использование формулы Пика

Поскольку все вершины многоугольника находятся в узлах сетки, его площадь можно вычислить с помощью формулы Пика: $A = I + \frac{B}{2} - 1$, где $I$ — количество узлов сетки внутри многоугольника, а $B$ — количество узлов на его границе.
1. Посчитаем внутренние узлы ($I$): это точки с целочисленными координатами, лежащие строго внутри фигуры. Таких точек 5: (2,3), (3,2), (3,3), (3,4), (4,3). Следовательно, $I = 5$.
2. Посчитаем узлы на границе ($B$): это точки с целочисленными координатами, лежащие на сторонах фигуры. Таких точек 8: (1,3), (2,2), (3,1), (4,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,4). Следовательно, $B = 8$.
3. Подставим найденные значения в формулу: $A = 5 + \frac{8}{2} - 1 = 5 + 4 - 1 = 9 - 1 = 8$ кв. ед.

Все три способа приводят к одному и тому же результату, что подтверждает правильность решения.
Ответ: 8.