Номер 19, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

19. Найдите площадь многоугольника на рисунке 19.14. Стороны квадратных клеток равны 1.

Рис. 19.14

Способ 1: Метод разбиения на простые фигуры
Площадь многоугольника на клетчатой бумаге можно найти, посчитав количество единичных клеток, из которых он состоит. Данный многоугольник можно мысленно разбить на целые квадратные клетки и треугольные части клеток.
1. Целые клетки: Сначала посчитаем количество полных квадратных клеток (со стороной 1), которые целиком помещаются внутри фигуры. Внимательно изучив рисунок, можно насчитать 9 таких квадратов. Общая площадь этих квадратов составляет $9 \times 1 = 9$ квадратных единиц.
2. Части клеток (треугольники): Оставшиеся части многоугольника представляют собой 4 треугольника. Каждый из этих треугольников является прямоугольным и занимает ровно половину единичной клетки, поэтому площадь каждого из них равна $0.5$ квадратных единиц. Их общая площадь составляет $4 \times 0.5 = 2$ квадратные единицы.
3. Общая площадь: Чтобы найти общую площадь многоугольника, сложим площади целых клеток и треугольных частей:
$S_{общая} = S_{квадратов} + S_{треугольников} = 9 + 2 = 11$.
Ответ: 11.

Способ 2: Формула Пика
Поскольку все вершины многоугольника расположены в узлах сетки, его площадь можно вычислить с помощью формулы Пика:
$S = I + \frac{B}{2} - 1$
где $I$ — это количество узлов сетки (целочисленных точек), находящихся строго внутри многоугольника, а $B$ — количество узлов сетки, лежащих на его границе.
1. Подсчет граничных точек (B): Посчитаем все узлы сетки, через которые проходит граница многоугольника. Если обойти контур фигуры, можно насчитать 12 таких точек. Вот их координаты, если принять левый нижний угол сетки за (0,0): (0,3), (1,1), (1,2), (1,4), (2,0), (2,4), (3,0), (3,1), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3). Таким образом, $B = 12$.
2. Подсчет внутренних точек (I): Теперь посчитаем количество узлов сетки, которые лежат строго внутри многоугольника, не касаясь его границ. Это точки с координатами: (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3). Всего таких точек 6. Таким образом, $I = 6$.
3. Вычисление площади: Подставим найденные значения $I$ и $B$ в формулу Пика:
$S = 6 + \frac{12}{2} - 1 = 6 + 6 - 1 = 11$.
Ответ: 11.