Номер 25, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Попробуйте найти формулу, выражающую площадь параллелограмма через его сторону и высоту, проведенную к этой стороне.

Для того чтобы вывести формулу площади параллелограмма, мы можем преобразовать его в прямоугольник, площадь которого нам известна. Этот метод называется методом перекраивания.

1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Пусть длина его основания (стороны) $AD$ равна $a$.

2. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на прямую, содержащую сторону $AD$. Длину этой высоты обозначим как $h$. Высота $BH$ образует с основанием прямой угол.

3. В результате проведения высоты мы получаем прямоугольный треугольник $ABH$ и трапецию $HBCD$. Площадь нашего параллелограмма $ABCD$ равна сумме площадей этих двух фигур: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABH} + S_{HBCD}$.

4. Теперь мысленно "отрежем" треугольник $ABH$ и переместим его к другой стороне параллелограмма так, чтобы сторона $AB$ совпала со стороной $DC$ (они равны и параллельны по свойству параллелограмма). Вершина $A$ совместится с вершиной $D$, а вершина $B$ — с вершиной $C$. Высота $BH$ при этом образует отрезок $CK$, где $K$ — точка на прямой $AD$. Мы получим новый треугольник $DCK$.

5. Треугольник $ABH$ равен (конгруэнтен) треугольнику $DCK$. Это можно доказать по гипотенузе и катету:
• $AB = DC$ (как противоположные стороны параллелограмма).
• $BH = CK$ (как расстояния между параллельными прямыми $BC$ и $AD$).
Следовательно, их площади равны: $S_{\triangle ABH} = S_{\triangle DCK}$.

6. После перемещения треугольника мы получили новую фигуру — прямоугольник $HBCK$. Его площадь равна сумме площадей трапеции $HBCD$ и треугольника $DCK$: $S_{HBCK} = S_{HBCD} + S_{\triangle DCK}$.

7. Сравнивая выражения для площадей, мы видим, что площадь исходного параллелограмма $ABCD$ равна площади полученного прямоугольника $HBCK$.

8. Площадь прямоугольника $HBCK$ вычисляется как произведение его смежных сторон: $S_{HBCK} = BH \cdot HK$.
• Мы знаем, что $BH = h$.
• Длина стороны $HK$ равна $HD + DK$. Поскольку $\triangle ABH \cong \triangle DCK$, то их катеты $AH$ и $DK$ равны. Значит, $HK = HD + AH = AD = a$.

9. Таким образом, площадь прямоугольника равна $h \cdot a$. А поскольку площадь параллелограмма равна площади этого прямоугольника, мы получаем искомую формулу.

Ответ: Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на длину высоты, проведенной к этой стороне. Если обозначить сторону как $a$, а высоту, проведенную к ней, как $h_a$, то формула площади $S$ будет: $S = a \cdot h_a$.