Номер 24, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Докажите, что из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Его периметр $P$ и площадь $S$ определяются формулами: $P = 2(a + b)$ и $S = a \cdot b$.
По условию задачи, периметр $P$ является постоянной величиной. Выразим одну сторону через другую и периметр. Из формулы периметра следует, что сумма сторон $a + b = \frac{P}{2}$ также является постоянной величиной. Обозначим полупериметр $p = \frac{P}{2}$. Тогда $a + b = p$, откуда можно выразить $b = p - a$.
Теперь подставим выражение для $b$ в формулу площади, чтобы получить зависимость площади от длины одной стороны $a$:
$S(a) = a \cdot (p - a) = pa - a^2$.
Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + pa$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ равен $-1$ (отрицательное число). Максимальное значение такой функции достигается в ее вершине.
Координата вершины параболы вида $y = kx^2 + lx + m$ по оси абсцисс находится по формуле $x_0 = -\frac{l}{2k}$. В нашем случае переменная — это $a$, а коэффициенты $k = -1$ и $l = p$.
Найдем значение $a$, при котором площадь $S$ будет максимальной:
$a_0 = -\frac{p}{2(-1)} = \frac{p}{2}$.
Теперь найдем соответствующее значение стороны $b$:
$b = p - a_0 = p - \frac{p}{2} = \frac{p}{2}$.
Таким образом, площадь прямоугольника максимальна, когда его стороны равны: $a = b$. Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом.
Ответ: Из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.