Номер 18, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен $10 \text{ м}$, а площадь — $6 \text{ м}^2$.

Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ находится по формуле $P = 2(a+b)$. По условию задачи, $P = 10$ м. Составим первое уравнение:
$2(a+b) = 10$
$a+b = 5$

Площадь прямоугольника $S$ находится по формуле $S = a \cdot b$. По условию, $S = 6$ м². Составим второе уравнение:
$a \cdot b = 6$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} a+b=5 \\ a \cdot b=6 \end{cases} $

Для решения системы выразим переменную $a$ из первого уравнения: $a = 5 - b$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(5 - b) \cdot b = 6$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$5b - b^2 = 6$
$b^2 - 5b + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета, согласно которой сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Корнями являются числа 2 и 3.
Либо найдем корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
$b_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$
$b_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Мы получили два возможных значения для одной из сторон. Найдем вторую сторону для каждого случая:
1. Если сторона $b = 3$ м, то сторона $a = 5 - 3 = 2$ м.
2. Если сторона $b = 2$ м, то сторона $a = 5 - 2 = 3$ м.
В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 2 м и 3 м.

Ответ: стороны прямоугольника равны 2 м и 3 м.