Номер 16, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 19.13.

а)

б)

в)

Рис. 19.13

а) Фигура представляет собой большой прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, из которого вырезан меньший прямоугольник. Площадь большого прямоугольника равна $S_{большой} = ab$. Найдем размеры вырезанного прямоугольника. Его ширина равна $a - c - c = a - 2c$. Его высота равна $b - d - d = b - 2d$. Площадь вырезанного прямоугольника равна $S_{малый} = (a - 2c)(b - 2d)$. Площадь искомой фигуры является разностью площадей большого и малого прямоугольников: $S = S_{большой} - S_{малый} = ab - (a - 2c)(b - 2d)$. Раскроем скобки и упростим выражение: $S = ab - (ab - 2ad - 2bc + 4cd) = ab - ab + 2ad + 2bc - 4cd = 2ad + 2bc - 4cd$.
Ответ: $S = 2ad + 2bc - 4cd$.

б) L-образную фигуру можно представить как сумму двух прямоугольников. Разобьем ее на нижний прямоугольник со сторонами $a$ и $d$ и левый вертикальный прямоугольник. Стороны левого прямоугольника будут $e$ (ширина) и $b - d$ (высота). Площадь нижнего прямоугольника: $S_1 = ad$. Площадь левого прямоугольника: $S_2 = e(b - d) = eb - ed$. Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих двух частей: $S = S_1 + S_2 = ad + eb - ed$. Другой способ - это вычесть из большого прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ площадь правого верхнего вырезанного прямоугольника со сторонами $a-e$ и $b-d$: $S = ab - (a-e)(b-d) = ab - (ab - ad - eb + ed) = ad + eb - ed$.
Ответ: $S = ad + be - ed$.

в) Данная фигура является прямоугольником со сторонами $a$ и $b$, из которого снизу вырезана прямоугольная часть. Площадь всего прямоугольника (если бы он был целым) равна $S_{большой} = ab$. Размеры вырезанной части: высота $d$ и ширина $a - c - c = a - 2c$. Площадь выреза равна $S_{вырез} = d(a - 2c)$. Площадь искомой фигуры равна разности площадей: $S = S_{большой} - S_{вырез} = ab - d(a - 2c) = ab - ad + 2cd$. Также можно разбить фигуру на три части: верхний прямоугольник со сторонами $a$ и $b-d$ и два боковых прямоугольника со сторонами $c$ и $d$. Тогда площадь будет $S = a(b-d) + 2cd = ab - ad + 2cd$.
Ответ: $S = ab - ad + 2cd$.