Номер 14, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на рисунке 19.11 (стороны квадратных клеток равны 1).

Рис. 19.11

Для нахождения площади фигуры на клетчатой бумаге, когда её вершины находятся в узлах сетки, удобно использовать метод «достраивания до прямоугольника» или формулу Пика. Рассмотрим метод достраивания.

1. Мысленно достроим вокруг данного наклонного прямоугольника большой прямоугольник, стороны которого параллельны линиям сетки. По рисунку видно, что вершины этого большого прямоугольника будут иметь координаты, например, (0, 1), (4, 1), (4, 4) и (0, 4), если принять левый нижний угол сетки за (0, 0). Ширина этого прямоугольника составит $4 - 0 = 4$ клетки, а высота $4 - 1 = 3$ клетки.Площадь большого прямоугольника ($S_{большой}$) равна произведению его сторон:$S_{большой} = 4 \times 3 = 12$ квадратных единиц.

2. Искомая площадь нашего прямоугольника может быть найдена как разность площади большого прямоугольника и суммарной площади четырех прямоугольных треугольников, которые остались «по углам».Найдем площади этих треугольников. Длины их катетов легко определить по клеткам:

• Площадь левого нижнего треугольника ($S_1$) с катетами 1 и 2:$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$

• Площадь правого нижнего треугольника ($S_2$) с катетами 3 и 1:$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1,5$

• Площадь правого верхнего треугольника ($S_3$) с катетами 1 и 2:$S_3 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$

• Площадь левого верхнего треугольника ($S_4$) с катетами 3 и 1:$S_4 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1,5$

3. Теперь найдем суммарную площадь этих четырех треугольников ($S_{треуг}$):$S_{треуг} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 1 + 1,5 + 1 + 1,5 = 5$

4. Вычтем из площади большого прямоугольника суммарную площадь треугольников, чтобы найти площадь искомого прямоугольника ($S$):$S = S_{большой} - S_{треуг} = 12 - 5 = 7$

Таким образом, площадь прямоугольника равна 7 квадратных единиц.

Ответ: 7