Номер 21, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Найдите площадь фигуры на рисунке 19.16. Стороны квадратных клеток равны 1.

Рис. 19.16

Для нахождения площади данной фигуры разобьем ее на более простые геометрические части: центральный многоугольник (в виде креста), четыре полукруга и четыре сегмента в углах.

1. Центральная часть

В центре фигуры можно выделить крестообразный многоугольник, который состоит из 12 квадратных клеток. Его можно представить как центральный квадрат размером $2 \times 2$ (4 клетки) и четыре примыкающих к его сторонам прямоугольника размером $2 \times 1$ (каждый по 2 клетки).Площадь центрального квадрата: $S_{центр} = 2 \times 2 = 4$.Площадь четырех прямоугольников: $S_{прямоуг} = 4 \times (2 \times 1) = 8$.Общая площадь крестообразного многоугольника: $S_{крест} = S_{центр} + S_{прямоуг} = 4 + 8 = 12$ квадратных единиц.

2. Внешние части (выступы)

Фигура имеет четыре выступа по краям. Каждый выступ представляет собой полукруг. Диаметр каждого полукруга равен стороне прямоугольника, к которому он примыкает, и составляет 2 клетки. Следовательно, радиус каждого полукруга равен $r = 1$.Площадь одного полукруга: $S_{полукруг} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (1)^2 = \frac{\pi}{2}$.Так как таких полукругов четыре, их общая площадь составляет: $S_{выступы} = 4 \times \frac{\pi}{2} = 2\pi$.Эти полукруги добавляются к площади центрального креста.

3. Внутренние части (впадины)

Фигура имеет четыре впадины во внутренних углах креста. Рассмотрим одну из них, например, в левом верхнем углу. Эта впадина находится в квадрате с вершинами в точках (2,5), (3,5), (3,6), (2,6). Граница фигуры в этом квадрате — это дуга, соединяющая точки (2,5) и (3,6). Эта дуга является четвертью окружности с центром в точке (2,6) и радиусом $r=1$.Центральный крестообразный многоугольник полностью занимает этот квадрат, его площадь здесь равна 1. Площадь фигуры внутри этого квадрата равна площади квадрата за вычетом площади "отрезанного" сегмента (который является четвертью круга с центром в углу квадрата). То есть, площадь фигуры в этом квадрате равна $1^2 - \frac{1}{4}\pi r^2 = 1 - \frac{\pi}{4}$.Разница в площади между крестом и фигурой в этом угловом квадрате составляет $1 - (1 - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, из площади креста нужно вычесть $\frac{\pi}{4}$ для каждого из четырех углов.Общая площадь, которую нужно вычесть для четырех впадин: $S_{впадины} = 4 \times \frac{\pi}{4} = \pi$.

4. Итоговая площадь

Теперь мы можем вычислить общую площадь фигуры, сложив площадь центрального креста и добавленных полукругов, и вычтя площадь, соответствующую впадинам.$S_{фигуры} = S_{крест} + S_{выступы} - S_{впадины}$$S_{фигуры} = 12 + 2\pi - \pi = 12 + \pi$.

Ответ: Площадь фигуры равна $12 + \pi$.