Номер 20, страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Найдите площадь фигуры на рисунке 19.15.

Стороны квадратных клеток равны 1.

Рис. 19.15

Для нахождения площади фигуры на клетчатой бумаге, где сторона одной клетки равна 1, можно воспользоваться несколькими способами. Площадь одной клетки равна $1 \times 1 = 1$ квадратной единице.

Способ 1: Разложение на простые фигуры

Этот метод заключается в том, чтобы разбить исходную сложную фигуру на несколько простых, площади которых легко вычислить.
1. Фигуру можно представить как композицию из центрального квадрата и четырех одинаковых треугольников, примыкающих к его сторонам.
2. Центральный квадрат имеет вершины в узлах сетки с координатами (2, 2), (4, 2), (4, 4) и (2, 4), если принять левый нижний угол сетки за точку (0,0). Сторона такого квадрата равна 2 клеткам. Его площадь составляет $S_{квадрата} = 2 \times 2 = 4$ кв. ед.
3. К каждой из четырех сторон квадрата примыкает треугольник. Основание каждого треугольника равно стороне квадрата, то есть 2. Высота каждого треугольника, проведенная к этому основанию, равна 1 клетке. Площадь одного такого треугольника вычисляется по формуле: $S_{треуг.} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ кв. ед.
4. Поскольку таких треугольников четыре, их общая площадь равна $4 \times 1 = 4$ кв. ед.
5. Общая площадь фигуры равна сумме площади центрального квадрата и площадей четырех треугольников: $S_{общая} = S_{квадрата} + 4 \times S_{треуг.} = 4 + 4 = 8$ кв. ед.

Способ 2: Метод вычитания

Можно вписать фигуру в большой квадрат и вычесть из его площади площади тех частей, которые не принадлежат фигуре.
1. Вся фигура целиком помещается в квадрат размером 4x4 клетки. Вершины этого большого квадрата находятся в точках (1, 1), (5, 1), (5, 5) и (1, 5). Его площадь равна $S_{большого\_кв.} = 4 \times 4 = 16$ кв. ед.
2. Чтобы из этого большого квадрата получить исходную фигуру, нужно "отрезать" четыре одинаковых прямоугольных треугольника по углам.
3. Каждый из этих угловых треугольников является прямоугольным с катетами длиной 2 клетки. Площадь одного такого треугольника равна $S_{угл.\_треуг.} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ кв. ед.
4. Общая площадь четырех отрезаемых треугольников составляет $4 \times 2 = 8$ кв. ед.
5. Площадь искомой фигуры равна разности площадей большого квадрата и четырех угловых треугольников: $S_{фигуры} = S_{большого\_кв.} - 4 \times S_{угл.\_треуг.} = 16 - 8 = 8$ кв. ед.

Способ 3: Использование формулы Пика

Поскольку все вершины многоугольника находятся в узлах сетки, его площадь можно вычислить с помощью формулы Пика: $A = I + \frac{B}{2} - 1$, где $I$ — количество узлов сетки внутри многоугольника, а $B$ — количество узлов на его границе.
1. Посчитаем внутренние узлы ($I$): это точки с целочисленными координатами, лежащие строго внутри фигуры. Таких точек 5: (2,3), (3,2), (3,3), (3,4), (4,3). Следовательно, $I = 5$.
2. Посчитаем узлы на границе ($B$): это точки с целочисленными координатами, лежащие на сторонах фигуры. Таких точек 8: (1,3), (2,2), (3,1), (4,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,4). Следовательно, $B = 8$.
3. Подставим найденные значения в формулу: $A = 5 + \frac{8}{2} - 1 = 5 + 4 - 1 = 9 - 1 = 8$ кв. ед.

Все три способа приводят к одному и тому же результату, что подтверждает правильность решения.
Ответ: 8.