Номер 13, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Найдите площадь квадрата, изображенного на рисунке 19.10 (стороны квадратных клеток равны 1).

Рис. 19.10

Для нахождения площади квадрата, изображенного на клетчатой бумаге, можно использовать несколько способов.

Способ 1: Через диагонали

Квадрат является частным случаем ромба, а площадь ромба можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей. На рисунке видно, что диагонали квадрата лежат на линиях сетки. Длина каждой диагонали равна 4 клеткам. Поскольку по условию сторона одной клетки равна 1, то $d_1 = 4$ и $d_2 = 4$.

Подставим эти значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{2} = 8$

Ответ: 8

Способ 2: По теореме Пифагора

Площадь квадрата равна квадрату его стороны ($S = a^2$). Найдем длину стороны $a$. Каждая сторона квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого можно построить по линиям сетки. Длины катетов такого треугольника равны 2. По теореме Пифагора найдем квадрат гипотенузы (который и будет являться площадью нашего квадрата):

$a^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

Таким образом, площадь квадрата $S = a^2$ равна 8.

Ответ: 8

Способ 3: Метод вычитания

Можно достроить фигуру до большего квадрата, стороны которого будут параллельны линиям сетки. Этот большой квадрат будет иметь размер 4x4 клетки, и его площадь составит $S_{большого} = 4 \cdot 4 = 16$. Исходный квадрат находится внутри большого, а по углам остаются четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Катеты каждого такого треугольника равны 2. Площадь одного треугольника равна $S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.

Общая площадь четырех треугольников равна $4 \cdot 2 = 8$.

Чтобы найти площадь искомого квадрата, вычтем из площади большого квадрата суммарную площадь четырех треугольников:

$S = S_{большого} - 4 \cdot S_{треуг.} = 16 - 8 = 8$

Ответ: 8