Страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Найдите площадь фигуры на рисунке 19.16. Стороны квадратных клеток равны 1.

Рис. 19.16

Для нахождения площади данной фигуры разобьем ее на более простые геометрические части: центральный многоугольник (в виде креста), четыре полукруга и четыре сегмента в углах.

1. Центральная часть

В центре фигуры можно выделить крестообразный многоугольник, который состоит из 12 квадратных клеток. Его можно представить как центральный квадрат размером $2 \times 2$ (4 клетки) и четыре примыкающих к его сторонам прямоугольника размером $2 \times 1$ (каждый по 2 клетки).Площадь центрального квадрата: $S_{центр} = 2 \times 2 = 4$.Площадь четырех прямоугольников: $S_{прямоуг} = 4 \times (2 \times 1) = 8$.Общая площадь крестообразного многоугольника: $S_{крест} = S_{центр} + S_{прямоуг} = 4 + 8 = 12$ квадратных единиц.

2. Внешние части (выступы)

Фигура имеет четыре выступа по краям. Каждый выступ представляет собой полукруг. Диаметр каждого полукруга равен стороне прямоугольника, к которому он примыкает, и составляет 2 клетки. Следовательно, радиус каждого полукруга равен $r = 1$.Площадь одного полукруга: $S_{полукруг} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (1)^2 = \frac{\pi}{2}$.Так как таких полукругов четыре, их общая площадь составляет: $S_{выступы} = 4 \times \frac{\pi}{2} = 2\pi$.Эти полукруги добавляются к площади центрального креста.

3. Внутренние части (впадины)

Фигура имеет четыре впадины во внутренних углах креста. Рассмотрим одну из них, например, в левом верхнем углу. Эта впадина находится в квадрате с вершинами в точках (2,5), (3,5), (3,6), (2,6). Граница фигуры в этом квадрате — это дуга, соединяющая точки (2,5) и (3,6). Эта дуга является четвертью окружности с центром в точке (2,6) и радиусом $r=1$.Центральный крестообразный многоугольник полностью занимает этот квадрат, его площадь здесь равна 1. Площадь фигуры внутри этого квадрата равна площади квадрата за вычетом площади "отрезанного" сегмента (который является четвертью круга с центром в углу квадрата). То есть, площадь фигуры в этом квадрате равна $1^2 - \frac{1}{4}\pi r^2 = 1 - \frac{\pi}{4}$.Разница в площади между крестом и фигурой в этом угловом квадрате составляет $1 - (1 - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, из площади креста нужно вычесть $\frac{\pi}{4}$ для каждого из четырех углов.Общая площадь, которую нужно вычесть для четырех впадин: $S_{впадины} = 4 \times \frac{\pi}{4} = \pi$.

4. Итоговая площадь

Теперь мы можем вычислить общую площадь фигуры, сложив площадь центрального креста и добавленных полукругов, и вычтя площадь, соответствующую впадинам.$S_{фигуры} = S_{крест} + S_{выступы} - S_{впадины}$$S_{фигуры} = 12 + 2\pi - \pi = 12 + \pi$.

Ответ: Площадь фигуры равна $12 + \pi$.

22. Пол комнаты имеет форму прямоугольника $4 \cdot 6$ (м). Сколько прямоугольных плиток $10 \cdot 20$ (см) потребуется для настила ими пола этой комнаты?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько раз площадь одной плитки помещается в общую площадь пола. Для этого сначала нужно привести все размеры к единой системе измерений. Удобнее всего перевести размеры комнаты из метров в сантиметры.

1. Перевод единиц измерения.
В одном метре содержится 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).
Размеры комнаты в сантиметрах будут равны:
Длина комнаты: $6 \text{ м} = 6 \times 100 \text{ см} = 600 \text{ см}$.
Ширина комнаты: $4 \text{ м} = 4 \times 100 \text{ см} = 400 \text{ см}$.
Размеры плитки: $10 \text{ см} \times 20 \text{ см}$.

2. Вычисление площадей.
Площадь пола комнаты ($S_{пола}$) вычисляется как произведение ее длины на ширину:
$S_{пола} = 600 \text{ см} \times 400 \text{ см} = 240000 \text{ см}^2$.
Площадь одной плитки ($S_{плитки}$) также вычисляется как произведение ее сторон:
$S_{плитки} = 10 \text{ см} \times 20 \text{ см} = 200 \text{ см}^2$.

3. Расчет количества плиток.
Чтобы найти необходимое количество плиток, нужно разделить площадь пола на площадь одной плитки:
Количество плиток $N = \frac{S_{пола}}{S_{плитки}} = \frac{240000 \text{ см}^2}{200 \text{ см}^2} = 1200$.
Поскольку размеры пола ($600$ см и $400$ см) кратны размерам плитки ($10$ см и $20$ см), это означает, что плитки можно уложить без подрезки, и расчет через площади является точным.

Ответ: 1200 плиток.

23. Пол комнаты имеет форму прямоугольника $4 \cdot 6 \, (м)$. Высота потолка $3 \, м$, площадь двери $2 \, м^2$, площадь окна $3 \, м^2$. Сколько рулонов обоев $0.5 \cdot 10 \, (м)$ потребуется для оклейки ими стен этой комнаты?

Для решения этой задачи необходимо последовательно рассчитать общую площадь стен, площадь под оклейку, площадь одного рулона обоев и, наконец, необходимое количество рулонов.

1. Расчет общей площади стен.

Сначала найдем периметр комнаты. Пол комнаты — это прямоугольник со сторонами 4 м и 6 м. Периметр (P) вычисляется по формуле:

$P = 2 \cdot (длина + ширина) = 2 \cdot (6 \text{ м} + 4 \text{ м}) = 2 \cdot 10 \text{ м} = 20 \text{ м}$.

Теперь, зная периметр и высоту потолка (3 м), можно найти общую площадь всех стен (S_стен):

$S_{стен} = P \cdot высота = 20 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} = 60 \text{ м}^2$.

2. Расчет площади для оклейки обоями.

Из общей площади стен необходимо вычесть площади двери и окна, так как эти участки не оклеиваются обоями.

Площадь двери $S_{двери} = 2 \text{ м}^2$.

Площадь окна $S_{окна} = 3 \text{ м}^2$.

Площадь поверхности для оклейки (S_{оклейки}) равна:

$S_{оклейки} = S_{стен} - S_{двери} - S_{окна} = 60 \text{ м}^2 - 2 \text{ м}^2 - 3 \text{ м}^2 = 55 \text{ м}^2$.

3. Расчет площади одного рулона обоев.

Размеры одного рулона обоев — 0,5 м на 10 м. Его площадь (S_рулона) равна:

$S_{рулона} = 0,5 \text{ м} \cdot 10 \text{ м} = 5 \text{ м}^2$.

4. Расчет необходимого количества рулонов.

Чтобы найти количество рулонов, нужно площадь для оклейки разделить на площадь одного рулона:

Количество рулонов = $\frac{S_{оклейки}}{S_{рулона}} = \frac{55 \text{ м}^2}{5 \text{ м}^2} = 11$.

Поскольку результат получился целым числом, потребуется ровно 11 рулонов обоев.

Ответ: 11 рулонов.

24. Докажите, что из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Его периметр $P$ и площадь $S$ определяются формулами: $P = 2(a + b)$ и $S = a \cdot b$.
По условию задачи, периметр $P$ является постоянной величиной. Выразим одну сторону через другую и периметр. Из формулы периметра следует, что сумма сторон $a + b = \frac{P}{2}$ также является постоянной величиной. Обозначим полупериметр $p = \frac{P}{2}$. Тогда $a + b = p$, откуда можно выразить $b = p - a$.
Теперь подставим выражение для $b$ в формулу площади, чтобы получить зависимость площади от длины одной стороны $a$:
$S(a) = a \cdot (p - a) = pa - a^2$.
Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + pa$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ равен $-1$ (отрицательное число). Максимальное значение такой функции достигается в ее вершине.
Координата вершины параболы вида $y = kx^2 + lx + m$ по оси абсцисс находится по формуле $x_0 = -\frac{l}{2k}$. В нашем случае переменная — это $a$, а коэффициенты $k = -1$ и $l = p$.
Найдем значение $a$, при котором площадь $S$ будет максимальной:
$a_0 = -\frac{p}{2(-1)} = \frac{p}{2}$.
Теперь найдем соответствующее значение стороны $b$:
$b = p - a_0 = p - \frac{p}{2} = \frac{p}{2}$.
Таким образом, площадь прямоугольника максимальна, когда его стороны равны: $a = b$. Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом.
Ответ: Из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.

25. Попробуйте найти формулу, выражающую площадь параллелограмма через его сторону и высоту, проведенную к этой стороне.

Для того чтобы вывести формулу площади параллелограмма, мы можем преобразовать его в прямоугольник, площадь которого нам известна. Этот метод называется методом перекраивания.

1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Пусть длина его основания (стороны) $AD$ равна $a$.

2. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на прямую, содержащую сторону $AD$. Длину этой высоты обозначим как $h$. Высота $BH$ образует с основанием прямой угол.

3. В результате проведения высоты мы получаем прямоугольный треугольник $ABH$ и трапецию $HBCD$. Площадь нашего параллелограмма $ABCD$ равна сумме площадей этих двух фигур: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABH} + S_{HBCD}$.

4. Теперь мысленно "отрежем" треугольник $ABH$ и переместим его к другой стороне параллелограмма так, чтобы сторона $AB$ совпала со стороной $DC$ (они равны и параллельны по свойству параллелограмма). Вершина $A$ совместится с вершиной $D$, а вершина $B$ — с вершиной $C$. Высота $BH$ при этом образует отрезок $CK$, где $K$ — точка на прямой $AD$. Мы получим новый треугольник $DCK$.

5. Треугольник $ABH$ равен (конгруэнтен) треугольнику $DCK$. Это можно доказать по гипотенузе и катету:
• $AB = DC$ (как противоположные стороны параллелограмма).
• $BH = CK$ (как расстояния между параллельными прямыми $BC$ и $AD$).
Следовательно, их площади равны: $S_{\triangle ABH} = S_{\triangle DCK}$.

6. После перемещения треугольника мы получили новую фигуру — прямоугольник $HBCK$. Его площадь равна сумме площадей трапеции $HBCD$ и треугольника $DCK$: $S_{HBCK} = S_{HBCD} + S_{\triangle DCK}$.

7. Сравнивая выражения для площадей, мы видим, что площадь исходного параллелограмма $ABCD$ равна площади полученного прямоугольника $HBCK$.

8. Площадь прямоугольника $HBCK$ вычисляется как произведение его смежных сторон: $S_{HBCK} = BH \cdot HK$.
• Мы знаем, что $BH = h$.
• Длина стороны $HK$ равна $HD + DK$. Поскольку $\triangle ABH \cong \triangle DCK$, то их катеты $AH$ и $DK$ равны. Значит, $HK = HD + AH = AD = a$.

9. Таким образом, площадь прямоугольника равна $h \cdot a$. А поскольку площадь параллелограмма равна площади этого прямоугольника, мы получаем искомую формулу.

Ответ: Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на длину высоты, проведенной к этой стороне. Если обозначить сторону как $a$, а высоту, проведенную к ней, как $h_a$, то формула площади $S$ будет: $S = a \cdot h_a$.