Страница 99 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В треугольнике проведены все средние линии (рис. 21.6). Какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника, образованного этими линиями?

Пусть дан треугольник $ABC$. Точки $D$, $E$ и $F$ — середины сторон $AC$, $BC$ и $AB$ соответственно, как показано на рисунке. Отрезки $DE$, $EF$ и $DF$ являются средними линиями треугольника $ABC$. Эти средние линии образуют треугольник $DEF$. Нам нужно найти, какую часть площади треугольника $ABC$ составляет площадь треугольника $DEF$.

Воспользуемся свойством средней линии треугольника: средняя линия, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.
Следовательно, мы имеем:
$DE \parallel AB$ и $DE = \frac{1}{2}AB$
$EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2}AC$
$DF \parallel BC$ и $DF = \frac{1}{2}BC$

Рассмотрим треугольник $CDE$ и исходный треугольник $CBA$.
1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.
2. Поскольку $DE \parallel AB$, то углы $\angle CDE$ и $\angle CAB$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AB$ и секущей $AC$.
Таким образом, треугольник $CDE$ подобен треугольнику $CBA$ по двум углам.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон:
$k = \frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.
$\frac{S_{CDE}}{S_{CBA}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
Отсюда следует, что площадь треугольника $CDE$ составляет одну четвертую от площади треугольника $ABC$: $S_{CDE} = \frac{1}{4}S_{ABC}$.

Аналогично, можно доказать, что треугольники $ADF$ и $BFE$ также подобны треугольнику $ABC$ с тем же коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$. Поэтому их площади также равны $\frac{1}{4}$ площади треугольника $ABC$:
$S_{ADF} = \frac{1}{4}S_{ABC}$
$S_{BFE} = \frac{1}{4}S_{ABC}$

Три средние линии разделяют исходный треугольник $ABC$ на четыре меньших треугольника: $ADF$, $BFE$, $CDE$ и $DEF$. Сумма их площадей равна площади исходного треугольника:
$S_{ABC} = S_{ADF} + S_{BFE} + S_{CDE} + S_{DEF}$

Теперь подставим найденные значения площадей в это равенство:
$S_{ABC} = \frac{1}{4}S_{ABC} + \frac{1}{4}S_{ABC} + \frac{1}{4}S_{ABC} + S_{DEF}$
$S_{ABC} = \frac{3}{4}S_{ABC} + S_{DEF}$

Из этого уравнения выразим площадь центрального треугольника $DEF$:
$S_{DEF} = S_{ABC} - \frac{3}{4}S_{ABC} = \frac{1}{4}S_{ABC}$

Таким образом, площадь треугольника, образованного средними линиями, составляет одну четвертую часть от площади данного треугольника.

Ответ: Площадь треугольника, образованного этими линиями, составляет $\frac{1}{4}$ площади данного треугольника.

11. Две стороны треугольника равны 6 см и 5 см. Может ли его площадь быть равна:
а) $10 \text{ см}^2$;
б) $15 \text{ см}^2$;
в) $20 \text{ см}^2$?

Пусть две известные стороны треугольника равны $a = 6$ см и $b = 5$ см, а угол между ними равен $\gamma$. Площадь треугольника $S$ можно вычислить по формуле:$S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$Подставим в формулу известные значения сторон:$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin\gamma = 15 \sin\gamma$Значение синуса угла в треугольнике ($0^\circ < \gamma < 180^\circ$) находится в пределах $0 < \sin\gamma \le 1$.Площадь треугольника будет максимальной, когда $\sin\gamma$ будет максимальным, то есть когда $\sin\gamma = 1$. Это соответствует углу $\gamma = 90^\circ$.Найдем максимальную возможную площадь для треугольника с данными сторонами:$S_{max} = 15 \cdot 1 = 15$ см².Следовательно, площадь данного треугольника не может быть больше 15 см². Теперь рассмотрим каждый случай.

а) Может ли площадь быть равна 10 см²?Для этого должно выполняться равенство $10 = 15 \sin\gamma$. Отсюда находим $\sin\gamma$:$\sin\gamma = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$Так как $0 < \frac{2}{3} \le 1$, то такой угол $\gamma$ существует. Значит, площадь треугольника может быть равна 10 см².
Ответ: может.

б) Может ли площадь быть равна 15 см²?Для этого должно выполняться равенство $15 = 15 \sin\gamma$. Отсюда находим $\sin\gamma$:$\sin\gamma = \frac{15}{15} = 1$Такой угол $\gamma$ существует и равен $90^\circ$. Это случай, когда треугольник является прямоугольным, а данные стороны — его катетами. Значит, площадь треугольника может быть равна 15 см².
Ответ: может.

в) Может ли площадь быть равна 20 см²?Для этого должно выполняться равенство $20 = 15 \sin\gamma$. Отсюда находим $\sin\gamma$:$\sin\gamma = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$Так как $\frac{4}{3} > 1$, а синус угла не может быть больше 1, то такого угла $\gamma$ не существует. Значит, площадь треугольника не может быть равна 20 см², потому что это больше максимально возможной площади (15 см²).
Ответ: не может.

12. Найдите площади треугольников, изображенных на рисунке 21.7.

Стороны квадратных клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 21.7

а)

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. В качестве основания выберем вертикальную сторону треугольника. Поскольку сторона одной клетки равна 1, длина этой стороны (основания) составляет 3 единицы. Таким образом, $a = 3$. Высота, проведенная к этому основанию, — это перпендикуляр от третьей вершины до прямой, содержащей основание. Длина этого перпендикуляра (высоты) равна 3 единицам. Таким образом, $h = 3$. Теперь вычислим площадь:

$S_a = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5$.

Ответ: 4,5.

б)

Для нахождения площади этого треугольника удобно использовать метод "дополнения до прямоугольника". Опишем вокруг треугольника прямоугольник так, чтобы его стороны были параллельны линиям сетки, а вершины треугольника лежали на сторонах или в вершинах этого прямоугольника. Минимальная x-координата вершин треугольника равна 1, максимальная — 4. Минимальная y-координата — 1, максимальная — 4. Таким образом, мы получаем прямоугольник (в данном случае квадрат) со сторонами $4-1=3$ и $4-1=3$. Площадь этого квадрата равна $S_{кв} = 3 \cdot 3 = 9$.

Чтобы найти площадь исходного треугольника, нужно из площади квадрата вычесть площади трех прямоугольных треугольников, которые образуются в углах квадрата:

1. Верхний левый треугольник имеет катеты длиной $3-1=2$ и $4-1=3$. Его площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$.

2. Верхний правый треугольник имеет катеты длиной $4-3=1$ и $4-2=2$. Его площадь $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

3. Нижний треугольник имеет катеты длиной $4-1=3$ и $2-1=1$. Его площадь $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = 1,5$.

Теперь найдем площадь искомого треугольника, вычитая площади этих трех треугольников из площади квадрата:

$S_б = S_{кв} - (S_1 + S_2 + S_3) = 9 - (3 + 1 + 1,5) = 9 - 5,5 = 3,5$.

Ответ: 3,5.

13. Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и проведём в нём медиану $BM$ к стороне $AC$. По определению, медиана делит сторону, к которой она проведена, на два равных отрезка. Следовательно, $AM = MC$.

Наша задача — доказать, что треугольники $ABM$ и $CBM$, на которые медиана $BM$ разбивает треугольник $ABC$, являются равновеликими. Равновеликие фигуры — это фигуры, имеющие равные площади. Таким образом, нам нужно доказать, что $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание треугольника, а $h$ — высота, проведённая к этому основанию.

Проведём из вершины $B$ высоту $BH$ к стороне $AC$. Эта высота будет общей для треугольников $ABM$ и $CBM$, так как их основания $AM$ и $CM$ лежат на одной прямой.

Найдём площадь треугольника $ABM$, используя $AM$ в качестве основания: $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH$.

Найдём площадь треугольника $CBM$, используя $CM$ в качестве основания: $S_{\triangle CBM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot BH$.

Теперь сравним площади этих двух треугольников. Мы знаем, что $AM = MC$ (так как $BM$ — медиана) и высота $BH$ у них общая. Поскольку правые части формул для площадей состоят из одинаковых множителей ($\frac{1}{2}$, равные основания и общая высота), то они равны. Следовательно, равны и сами площади: $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$.

Это доказывает, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.

Ответ: Что и требовалось доказать.

14. Площадь равнобедренного треугольника равна 48, а основание равно 16. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник с основанием $a$ и боковой стороной $b$. По условию, площадь треугольника $S = 48$, а основание $a = 16$.

Формула площади треугольника через основание и высоту, проведенную к нему, выглядит так: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$.

Мы можем найти высоту $h$, подставив известные значения в эту формулу:

$48 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot h$

$48 = 8 \cdot h$

$h = \frac{48}{8} = 6$

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Это значит, что она делит основание на два равных отрезка. Эта высота также делит равнобедренный треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Катетами одного из таких прямоугольных треугольников являются высота $h$ и половина основания $\frac{a}{2}$, а гипотенузой — боковая сторона $b$.

Найдем длину катета, который является половиной основания:

$\frac{a}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Теперь по теореме Пифагора найдем гипотенузу $b$ (боковую сторону):

$b^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$

$b^2 = 6^2 + 8^2$

$b^2 = 36 + 64$

$b^2 = 100$

$b = \sqrt{100} = 10$

Таким образом, боковая сторона треугольника равна 10.

Ответ: 10

15. В треугольнике ABC две стороны равны $a$ и $b$. При каком угле между ними площадь треугольника будет наибольшей?

Для нахождения площади треугольника, зная две его стороны и угол между ними, используется формула:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$

где a и b — длины известных сторон, а γ — угол между этими сторонами.

В нашей задаче длины сторон a и b являются заданными постоянными величинами. Это означает, что значение площади S зависит только от величины $\sin(\gamma)$.

Чтобы площадь S была наибольшей, необходимо, чтобы множитель $\sin(\gamma)$ принимал свое максимально возможное значение.

Рассмотрим функцию $y = \sin(\gamma)$. Угол в треугольнике должен быть больше 0° и меньше 180°. В этом диапазоне, $0° < \gamma < 180°$, функция синуса принимает положительные значения. Максимальное значение синуса равно 1.

Это максимальное значение достигается, когда угол $\gamma$ равен 90°.

$\sin(90°) = 1$

Следовательно, площадь треугольника будет наибольшей, когда угол между сторонами a и b будет прямым. Геометрически это означает, что треугольник является прямоугольным, а стороны a и b — его катетами. Максимальная площадь при этом будет равна $S_{max} = \frac{1}{2}ab$.

Ответ: Наибольшая площадь треугольника будет при угле между сторонами, равном 90°.

16. Середины сторон параллелограмма последовательно соединены между собой (рис. 21.8). Какой получился четырехугольник и какова его площадь, если площадь данного параллелограмма равна 16?

Рис. 21.8

Какой получился четырехугольник

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Точки $E$, $F$, $G$, $H$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно. Четырехугольник, образованный последовательным соединением середин сторон произвольного четырехугольника, всегда является параллелограммом (теорема Вариньона). Докажем это для нашего случая.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$ и отрезок $EF$. Так как $E$ — середина $AB$, а $F$ — середина $BC$, то $EF$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне ($AC$) и равна ее половине:
$EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2}AC$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$ и отрезок $HG$. Так как $H$ — середина $AD$, а $G$ — середина $CD$, то $HG$ является средней линией треугольника $ADC$. Следовательно:
$HG \parallel AC$ и $HG = \frac{1}{2}AC$.

3. Из полученных соотношений следует, что отрезки $EF$ и $HG$ параллельны друг другу (поскольку оба параллельны $AC$) и равны по длине (поскольку оба равны половине $AC$):
$EF \parallel HG$ и $EF = HG$.

В четырехугольнике $EFGH$ противоположные стороны $EF$ и $HG$ равны и параллельны. По признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: получившийся четырехугольник является параллелограммом.

Какова его площадь

Площадь внутреннего параллелограмма $EFGH$ можно вычислить, отняв от площади исходного параллелограмма $ABCD$ площади четырех угловых треугольников: $\triangle HAE$, $\triangle EBF$, $\triangle FCG$ и $\triangle GDH$. Площадь $S_{ABCD}$ нам дана и равна 16.

1. Выразим площадь треугольника $HAE$ через площадь параллелограмма $ABCD$.
Площадь параллелограмма $ABCD$ можно вычислить по формуле $S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A)$.
По условию $AE = \frac{1}{2}AB$ и $AH = \frac{1}{2}AD$.
Площадь треугольника $HAE$ равна:
$S_{HAE} = \frac{1}{2} AH \cdot AE \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}AD) \cdot (\frac{1}{2}AB) \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{8} (AB \cdot AD \cdot \sin(\angle A)) = \frac{1}{8} S_{ABCD}$.

2. Аналогично, все четыре угловых треугольника имеют площадь, равную $\frac{1}{8}$ площади исходного параллелограмма. Например, для $\triangle EBF$:
$S_{EBF} = \frac{1}{2} EB \cdot BF \cdot \sin(\angle B)$. Учитывая, что $EB = \frac{1}{2}AB$, $BF = \frac{1}{2}BC$, $BC=AD$ и $\sin(\angle B) = \sin(180^\circ - \angle A) = \sin(\angle A)$, получаем:
$S_{EBF} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}AB) \cdot (\frac{1}{2}AD) \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{8} S_{ABCD}$.
Точно так же $S_{FCG} = \frac{1}{8} S_{ABCD}$ и $S_{GDH} = \frac{1}{8} S_{ABCD}$.

3. Суммарная площадь всех четырех угловых треугольников составляет:
$S_{\text{углов}} = S_{HAE} + S_{EBF} + S_{FCG} + S_{GDH} = 4 \cdot (\frac{1}{8} S_{ABCD}) = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

4. Площадь искомого четырехугольника $EFGH$ равна разности площадей $S_{ABCD}$ и $S_{\text{углов}}$:
$S_{EFGH} = S_{ABCD} - S_{\text{углов}} = S_{ABCD} - \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

5. Подставляем известное значение площади $S_{ABCD} = 16$:
$S_{EFGH} = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.

Ответ: площадь получившегося четырехугольника равна 8.

17. Докажите, что медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников (рис. 21.9).

Рис. 21.9

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены медианы, пересекающиеся в точке $M$. Обозначим медианы как $AD, BE$ и $CF$, где $D, E, F$ — середины сторон $BC, AC$ и $AB$ соответственно (используем стандартные обозначения для ясности, которые могут отличаться от маркировки на рисунке). Необходимо доказать, что эти медианы делят треугольник $ABC$ на шесть треугольников с равными площадями (равновеликих): $\triangle AME, \triangle CME, \triangle CMD, \triangle BMD, \triangle BMF, \triangle AMF$.

Доказательство основано на двух ключевых свойствах:
1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
2. Площадь фигуры можно найти как сумму или разность площадей ее частей.

Рассмотрим медиану $AD$ треугольника $ABC$. Она делит его на два треугольника с равной площадью: $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$.

Теперь рассмотрим треугольник $MBC$. Отрезок $MD$ является его медианой, так как $D$ — середина стороны $BC$. Следовательно, площади треугольников, на которые $MD$ делит $\triangle MBC$, также равны: $S_{\triangle MBD} = S_{\triangle MCD}$.

Площадь треугольника $AMB$ можно представить как разность площадей треугольников $ABD$ и $MBD$:$S_{\triangle AMB} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle MBD}$.

Аналогично, площадь треугольника $AMC$ можно представить как разность площадей треугольников $ACD$ и $MCD$:$S_{\triangle AMC} = S_{\triangle ACD} - S_{\triangle MCD}$.

Поскольку $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$ и $S_{\triangle MBD} = S_{\triangle MCD}$, то из двух предыдущих выражений следует, что $S_{\triangle AMB} = S_{\triangle AMC}$.

Проведя те же рассуждения для медианы $BE$, можно аналогично доказать, что $S_{\triangle AMB} = S_{\triangle CMB}$.

Таким образом, мы установили, что площади трех треугольников, образованных вершинами исходного треугольника и точкой пересечения медиан, равны между собой:$S_{\triangle AMB} = S_{\triangle AMC} = S_{\triangle CMB}$.

Каждый из этих трех треугольников, в свою очередь, делится соответствующей медианой на два равновеликих треугольника:
- В $\triangle AMB$ отрезок $MF$ является медианой, поэтому $S_{\triangle AMF} = S_{\triangle BMF}$. Значит, $S_{\triangle AMF} = S_{\triangle BMF} = \frac{1}{2} S_{\triangle AMB}$.
- В $\triangle BMC$ отрезок $MD$ является медианой, поэтому $S_{\triangle BMD} = S_{\triangle CMD}$. Значит, $S_{\triangle BMD} = S_{\triangle CMD} = \frac{1}{2} S_{\triangle BMC}$.
- В $\triangle AMC$ отрезок $ME$ является медианой, поэтому $S_{\triangle AME} = S_{\triangle CME}$. Значит, $S_{\triangle AME} = S_{\triangle CME} = \frac{1}{2} S_{\triangle AMC}$.

Так как $S_{\triangle AMB} = S_{\triangle AMC} = S_{\triangle CMB}$, то и половины этих площадей равны. Следовательно, все шесть малых треугольников имеют равные площади:$S_{\triangle AMF} = S_{\triangle BMF} = S_{\triangle BMD} = S_{\triangle CMD} = S_{\triangle AME} = S_{\triangle CME}$.

Ответ: Утверждение доказано. Медианы треугольника делят его на шесть треугольников равной площади.